九下第一章《三角函数》-解析版

一、三角函数的定义1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·1）（3分）若锐角满足，则的度数是A． B． C． D．【考点】特殊角的三角函数值【专题】实数；符号意识【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．【解答】解：，．故选：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·2）（3分）在中，，，，则的长为A． B．6 C．8 D．10【考点】：锐角三角函数的定义【专题】：解直角三角形及其应用；66：运算能力【分析】设，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设，，，，由勾股定理得，，即，解得，，，故选：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·1）（3分）sin30°的值是（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：sin30°＝，故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．4．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·2）（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝【分析】利用三角函数的定义解答即可．【解答】解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，故选：B．【点评】此题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．5．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·12）（4分）在正方形网格中，三角形ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则tan∠B的值为．【分析】连接CD，根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．【解答】解：连接CD，如图，由图可知，D为AB的中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，Rt△BDC中，CD＝＝，BD＝＝2，∴tan∠B＝＝＝．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．二、解直角三角形1．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·7）（3分）如图，是放置在正方形网格中的一个角，则A． B． C．1 D．【考点】：解直角三角形【专题】：解直角三角形及其应用；69：应用意识【分析】利用等腰直角三角形的性质即可解问题即可．【解答】解：如图，连接．观察图象可知是等腰直角三角形，，，，故选：．【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·10）（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据图形得出AD的长，进而利用三角函数解答即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∴DC＝1，AD＝3，∴AC＝，∴cos∠ACB＝，故选：D．【点评】此题考查解直角三角形，关键是利用三角函数解答．3．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·10）（3分）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，则与轴正方向所夹锐角的正弦值是A． B． C． D．【考点】坐标与图形性质；解直角三角形【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】如图作轴于，利用勾股定理求出，根据正弦定义计算即可．【解答】解：作轴于，如右图．，，，，．故选：．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·11）（4分）某斜坡的坡度i＝，则该斜坡的坡角为°．【分析】根据坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．【解答】解：∵斜坡的坡度i＝，∴该斜坡的坡角为：60°．故答案为：60．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解及掌握坡度及坡角的定义是解题关键．5．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·14）（4分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若，AD＝5，则AB的长为．【分析】根据余角的性质得到∠ACD＝∠ADE，根据矩形的性质得到AB∥CD，BC＝AD＝5，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∴∠BAC＝∠ACD，∵，∴＝，∴AC＝＝，由勾股定理得，AB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．6．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·23）（4分）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高米．（结果保留根号）【分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴BC＝＝，同理：BD＝，∵两次测量的影长相差8米，∴﹣＝8，∴x＝4故答案为4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．7．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·22）（3分）如图，在中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则．【方程思想】【考点】：线段垂直平分线的性质；：解直角三角形【专题】：解直角三角形及其应用；1：常规题型【分析】由设、，据此得出、，由勾股定理可得，解之求得的值可得答案．【解答】解：在中，，设、，则，，在中，由勾股定理可得，解得：或（舍，则，故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．8．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·23）（4分）如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度为；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为米．【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】过点作于，交的延长线于，根据坡度的概念分别求出、，根据题意求出，进而求出．【解答】解：过点作于，交的延长线于，则四边形为矩形，，，在中，的坡度为，设米，则米，由勾股定理得：，解得：，（舍去），米，米，米，由题意得：米，米，故答案为：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．三、三角函数的应用1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·17）（8分）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）．参考数据：，，．【考点】解直角三角形的应用【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．【解答】解：如图，过点作，垂足为，在中，，，设，在中，，，又，，又，即，，解得，，答：的长约为．【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·18）（8分）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于，两点，灯臂与支架交于点，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，【考点】解直角三角形的应用【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】如图2，过作于，则，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图2，过作于，则，，，，，，，答：支架的长约为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·18）（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，则AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（m），在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15m，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（m），在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（m），∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30（m）．答：居民楼AB的高度约为30m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·7）（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．【解答】解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，∴△ACB∽△AEM，∴，∴，∴EM＝12.5（米），∵四边形ADNE是矩形，∴AD＝EN＝1.5（米），∴MN＝ME+EN＝12.5+1.5＝14（米）．【点评】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·16）（6分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝12.4，∴AC＝14，∴＝，∴CD＝10.5．答：楼高CD是10.5m．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．6．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·19）（10分）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．【解答】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，＝，即：＝，∴BN＝20（m），∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）答：楼高为21.2m．【点评】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．7．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·19）（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝33m，求这座古塔的高度．【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH＝DG＝EF＝1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．【解答】解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB∴BH＝DG＝EF＝1.6m，EG＝DF，GH＝DB，∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.6＝0.8m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA，DF＝2m，DB＝33m，∴＝，即＝，解得AH＝14m．∴AB＝AH+BH＝14+1.6＝15.6m．答：古塔的高度是15.6米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．8．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·18）（8分）随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．【分析】（1）作EH⊥AC于H，分别在Rt△A