2024年全国硕士研究生考试《数学一》真题及答案

2024年全国硕士研究生考试《数学一》真题及答案[单选题]1.已知函数，，则()。A.f（x）是奇函数，g（x）是偶函数B.f（x）是偶函数，g（x）是奇函数C.f（x）与g（x）均为奇函数D.f（x）与g（x）均为周期函数正确答案：C参考解析：由于ecost是偶函数，所以是奇函数，又是偶函数，所以g（x）是奇函数。故选择C项。[单选题]2.设P＝P（x，y，z），Q＝Q（x，y，z）均为连续函数，∑为曲面的上侧，则()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：根据转换投影法，，，。由此可得：故选择A项。[单选题]3.已知幂级数的和函数为ln（2＋x），则()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：方法一：所以，。当n＞0，。所以，。故选择A项。方法二：S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2所以，。所以，。故选择A项。[单选题]4.设函数f（x）在区间（－1，1）上有定义，且，则()。A.当时，f′（0）＝mB.当f′（0）＝m时，C.当时，f′（0）＝mD.当f′（0）＝m时，正确答案：B参考解析：因为f′（0）＝m，所以f（x）在x＝0处连续。从而，所以，故选择B项。对于A项，，推不出来f′（0）＝m。对于C项，f′（x）在x＝0处不一定连续。对于D项，f′（x）在x＝0处极限未必存在。[单选题]5.在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面πi：aix＋biy＋ciz＝di（i＝1，2，3）的位置关系如图所示，记αi＝（ai，bi，ci），βi＝（ai，bi，ci，di），若，，则()。A.m＝1，n＝2B.m＝n＝2C.m＝2，n＝3D.m＝n＝3正确答案：B参考解析：由题意知有无穷多解，故，又由于存在两平面的法向量不共线，即线性无关，故，则，故m＝n＝2，故选择B项。[单选题]6.设向量，，，若α1，α2，α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则()。A.a＝1，b≠－1B.a＝1，b＝－1C.a≠－2，b＝2D.a＝－2，b＝2正确答案：D参考解析：由于α1，α2，α3线性相关，故r（α1，α2，α3）＜3，故，得a＝1或－2，当a＝1时，α1，α3线性相关，与题意矛盾，故a＝－2，又由，得b＝2，故选择D项。[单选题]7.设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα＝0的非零向量，若对满足βTα＝0的3维列向量β，均有Aβ＝β，则()。A.A3的迹为2B.A3的迹为5C.A2的迹为8D.A2的迹为9正确答案：A参考解析：由Aα＝0且α≠0，故λ1＝0，设非零向量β1，β2线性无关（因为与α垂直的平面中一定存在两个线性无关的向量）且满足β1Tα＝β2Tα＝0，则Aβ1＝β1，Aβ2＝β2，又由β1，β2线性无关，故λ＝1至少为二重根，故λ1＝0，λ2＝λ3＝1，故A3的特征值为0，1，1，故tr（A3）＝0＋1＋1＝2，故选择A项。[单选题]8.设随机变量X、Y相互独立，且X服从正态分布N（0，2），Y服从正态分布N（－2，2），若P{2X＋Y＜a}＝P{X＞Y}，则a＝()。A.B.C.D.正确答案：B参考解析：2X＋Y～N（－2，10），Y－X～N（－2，22）。所以，。于是，，。故选择B项。[单选题]9.设随机变量X的概率密度为，在X＝x（0＜x＜1）的条件下，随机变量Y服从区间（x，1）上的均匀分布，则Cov（X，Y）＝()。A.B.C.D.正确答案：D参考解析：当0＜x＜1时，可得：所以，可得：故选择D项。[单选题]10.设随机变量X、Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z＝|X－Y|，则下列随机变量与Z同分布的是()。A.X＋YB.C.2XD.X正确答案：D参考解析：令Z＝|X－Y|，则FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{|X－Y|≤z}。当z＜0时，FZ（z）＝0。当z≥0时，所以，。显然Z＝|X－Y|与X同分布。故选择D项。[问答题]1.已知平面区域，计算。正确答案：详见解析参考解析：由于积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为偶函数，故可得：[问答题]2.已知函数f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，设T是曲面z＝f（x，y）在点（1，1，1）处的切平面，D为T与坐标平面所围成的有界区域在xOy平面上的投影。（1）求T的方程；（2）求f（x，y）在D上的最大值和最小值。正确答案：详见解析参考解析：（1）对于z＝f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，有zx′（1，1）＝－1，zy′（1，1）＝－1，从而曲面在点（1，1，1）处的一个法向量为n＝（－zx′，－zy′，1）＝（1，1，1），得该点处曲面的切平面方程为x＋y＋z＝3。（2）在xOy平面中，区域D：x＋y≤3，x≥0，y≥0，在D内部求驻点，解方程组得，有。在边界y＝0，0＜x＜3上，对于f（x，0）＝x3－x2＋3，解得其驻点，有。在边界x＝0，0＜y＜3上，对于f（0，y）＝y3－y2＋3，解得其驻点，有。在边界x＋y＝3，0＜x＜3上，对于f（x，3－x）＝x3＋（3－x）3－6，解得其驻点，有。在边界顶点，有f（0，0）＝3，f（3，0）＝f（0，3）＝21。综上，得f（x，y）在D上的最大值为f（3，0）＝f（0，3）＝21，最小值为。[问答题]3.设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，证明：（1）当x∈（0，1）时，；（2）。正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。所以。令。因为F（0）＝0，F（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0，（|f″（x）|≤1）。所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。所以。综上，。（2）由（1）中由第（1）中综上，。[问答题]4.已知有向曲线L的球面x2＋y2＋z2＝2x与平面2x－z－1＝0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分。正确答案：详见解析参考解析：[问答题]5.已知数列{xn}，{yn}，{zn}满足x0＝－1，y0＝0，z0＝2，且，记，写出满足的矩阵A，并求An及xn，yn，zn。正确答案：详见解析参考解析：由题设得，即，故。由，即，得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝－2。当λ1＝0时，Ax＝0，可得基础解系为：η1＝（1，－1，1）T。当λ2＝1时，（E－A）x＝0，可得基础解系为：η2＝（2，－2，3）T。当λ3＝－2时，（－2E－A）x＝0，可得基础解系为：η3＝（－1，2，0）T。故存在可逆矩阵，使，即，则由，得则xn＝8＋（－2）n，yn＝－8＋（－2）n＋1，znub>＝12。[问答题]6.设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，其中θ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，记X（n）＝max{X1，X2，…，Xn}，Tc＝cX（n）。（1）求c，使得Tc是θ的无偏估计；（2）记h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。正确答案：详见解析参考解析：（1）X的概率密度为，X的分布函数为。X（n）的分布函数为：FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）X（n）的概率密度为。，令，得。（2）令h′（c）＝0，得。，所以当时，h（c）最小。[填空题]1.若，则a＝()。正确答案：6参考解析：故可得：a＝6。[填空题]2.设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，且df|（1，1）＝3du＋4dv，令y＝f（cosx，1＋x2），则()。正确答案：5参考解析：df|（1，1）＝3du＋4dv，fu′（1，1）＝3，fv′（1，1）＝4，又，则有：因此，可得：[填空题]3.已知函数f（x）＝x＋1，若，则()。正确答案：参考解析：由题意可得，将f（x）在[0，π]展为余弦级数，由公式可得：[填空题]4.微分方程满足条件y（1）＝0的解为()。正确答案：参考解析：令x＋y＝u，等式两边同时对x求导，得到u′＝1＋y′，代入原式可得，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始条件代入可得，解得。[填空题]5.设实矩阵