人教A版2019必修第一册专题1.1集合的概念【九大题型】(原卷版+解析)

专题1.1集合的概念【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1集合概念的理解】 1【题型2判断是否为同一集合】 2【题型3集合中元素特性的求参问题】 3【题型4判断元素与集合的关系】 3【题型5根据元素与集合的关系求参数】 4【题型6确定集合中的元素】 4【题型7用列举法表示集合】 5【题型8用描述法表示集合】 6【题型9集合中的新定义问题】 7【知识点1集合的概念】1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【题型1集合概念的理解】【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程x2+2x+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（

）①2的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【题型2判断是否为同一集合】【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)}B．M={2,3}，N={3,2}C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M={2,3}，N={(2,3)}【变式2-1】（2023·高三课时练习）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．M=−1,3，B．M=−1,3，C．M=x,yy=D．M=∅，【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合xy=x2D．集合xx2+5x+6=0【题型3集合中元素特性的求参问题】【例3】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．−1 B．1 C．3 D．2【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集1，2，x2A．2，5 B．−2，−5 【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合A=1,a2−a−1,aA．0 B．1 C．2 D．1或2【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=BA．{−1,0,2} B．{−2,2} C．−1,0,2 D．{−2,1,2}【知识点2元素与集合的关系】1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（）①12∈R；②5∉QA．1个 B．2个C．3个 D．4个【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=x|xx−1=0A．0∈M B．1∉M C．−1∈M D．0∉M【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4A．4 B．2 C．3 D．5【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合S=y|y=x2A．−2∈S B．2,−2∉T C．−1∉S D．【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=12,a2+4a,a−2，A．−1 B．−3或1 C．3 D．−3【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若a∈{1,3,a2}，则aA．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2∉A，则实数A．aa≤4 B．aa≥4 C．aa≤−4【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2A．0 B．2 C．−1 D．−2【题型6确定集合中的元素】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中所含元素个数为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x2−mx+m2−3=0A．2 B．−2 C．±2 D．不存在【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉AA．0 B．1 C．－1 D．2【知识点3集合的表示法】1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型7用列举法表示集合】【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−2=1有唯一实数解【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k【题型8用描述法表示集合】【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：(1)奇数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程2x−1+(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数y=x【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【题型9集合中的新定义问题】【例9】（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A．14 B．15 C．16 D．18【变式9-1】（2023·江苏·高一假期作业）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M=(a,b)a※b=8中的元素个数是（A．10 B．9 C．8 D．7【变式9-2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义A⊗B=x|x=mn,m∈A,n∈B,若A=A．1 B．2 C．4 D．5【变式9-3】（2022·上海·高一专题练习）已知集合A=0,0,0,1,1,0,0,−1,−1,0A．77 B．49 C．45 D．30

专题1.1集合的概念【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1集合概念的理解】 1【题型2判断是否为同一集合】 3【题型3集合中元素特性的求参问题】 4【题型4判断元素与集合的关系】 6【题型5根据元素与集合的关系求参数】 7【题型6确定集合中的元素】 8【题型7用列举法表示集合】 10【题型8用描述法表示集合】 12【题型9集合中的新定义问题】 13【知识点1集合的概念】1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【题型1集合概念的理解】【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流【解题思路】根据集合的知识可选出答案.【解答过程】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；故选：A.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程x2+2x+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【解题思路】根据集合的概念及性质依次判断即可得到答案.【解答过程】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.对②，充分接近2的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，对③，方程x2+2x+2=0，对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B.【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（

）①2的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.【解答过程】①2的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；②自然数集N中最小的元素是0，正确；③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z，整数的相反数还是整数，正确，④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，故选：C．【题型2判断是否为同一集合】【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)}B．M={2,3}，N={3,2}C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M={2,3}，N={(2,3)}【解题思路】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答过程】A.M、N都是点集，3,2与2,3是不同的点，则M、N是不同的集合，故错误；B.M=2,3，N=3,2，根据集合的无序性，集合M，C.M=(x,y)∣x+y=1，M集合的元素表示点的集合，N=y∣x+y=1，N表示直线D.M=2,3集合M的元素是两个数字2，3，N=(2,3)，集合N的元素是一个点故选：B.【变式2-1】（2023·高三课时练习）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】将x=a+b2分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断p,q与a,b【解答过程】对于（1），由2(a+b2)=p+q2，得对于（2），由a+b22=b+a对于（3），由1a+b2=a对于（4），−1−2∈X，但方程−1−2=x故选：B.【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．M=−1,3，B．M=−1,3，C．M=x,yy=D．M=∅，【解题思路】根据集合元素的性质可判断.【解答过程】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，M是以∅为元素的集合，N是空集，则D不正确．故选：B．【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合xy=x2D．集合xx2+5x+6=0【解题思路】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案【解答过程】集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，0是含有一个元素0的集合，故B错误；集合xy=x2集合xx2+5x+6=0=xx+2x+3故选：A.【题型3集合中元素特性的求参问题】【例3】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

A．−1 B．1 C．3 D．2【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由a2，2−a，3组成的一个集合A，A因为a2=2−a=3无解，故由a2，2−a故a2≠2−a≠3，即a≠−2,a≠1,a≠−1,a≠±3即A，B，C错误，D正确，故选：D.【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集1，2，x2A．2，5 B．−2，−5 【解题思路】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合．【解答过程】由x2−3≠1解得x≠±2；由x2∴x不能取的值的集合为±2，故选：C．【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合A=1,a2−a−1,aA．0 B．1 C．2 D．1或2【解题思路】首先排除a不可以取的值，可得a=−1,1,2,3时不符题意，当a=0时满足题意，即可得解.【解答过程】首先确定a不可以取的值，由a2−a−1=1可得a=−1或由a2−2a+2=1可得当a2−a−1=a所以a的值不能取-1，1，2，3，当a=0时有A=1,−1,2故选：A.【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=BA．{−1,0,2} B．{−2,2} C．−1,0,2 D．{−2,1,2}【解题思路】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【解答过程】因为A=B，所以−2∈A.当x=−2时，2y=1−y，得y=1当2y=−2时，则x=2.故实数x的取值集合为−2,2.故选：B.【知识点2元素与集合的关系】1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法【题型4判断元素与集合的关系】【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（）①12∈R；②5∉QA．1个 B．2个C．3个 D．4个【解题思路】判断数所在数域，得到正确答案.【解答过程】12为实数，①正确；5是无理数，5−3=3是自然数，③正确；−故选：C.【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=x|xx−1=0A．0∈M B．1∉M C．−1∈M D．0∉M【解题思路】确定结合M=x|x【解答过程】由题意知集合M=x|x故0∈M，故A正确，D错误，1∈M，故B错误，−1∉M，故C错误，故选：A.【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4A．4 B．2 C．3 D．5【解题思路】根据数的分类一一判断即可.【解答过程】22为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以23是无理数，所以3∉0不是正整数，所以0∉N4=2∈π是无理数，所以π∉|−2|=2∈Z故选:A.【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合S=y|y=x2A．−2∈S B．2,−2∉T C．−1∉S D．【解题思路】根据元素与集合的关系求解.【解答过程】因为S=y|y=所以A、C错误，因为2+−2=0，所以又−1+1=0，所以−1,1∈T故选:D．【题型5根据元素与集合的关系求参数】【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=12,a2+4a,a−2，A．−1 B．−3或1 C．3 D．−3【解题思路】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.【解答过程】∵−3∈A，∴−3=a2+4a若−3=a2+4a，解得a=−1当a=−1时，a2当a=−3时，集合A=12,−3,−5，满足题意，故a=−3若−3=a−2，解得a=−1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a=−3．故选：D．【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若a∈{1,3,a2}，则aA．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【解题思路】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a的可能取值.【解答过程】a=0，则a∈{1,3,0}，符合题设；a=1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；a=3时，则a∈{1,3,9}，符合题设；∴a=0或a=3均可以.故选：C.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2∉A，则实数A．aa≤4 B．aa≥4 C．aa≤−4【解题思路】结合元素与集合的关系得到22【解答过程】由题意可得22+a≤0，解得故选：C.【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2A．0 B．2 C．−1 D．−2【解题思路】根据集合的定义求出集合B后可得结论．【解答过程】A=2,0,1,9，B=①当k2−2=2时，k=2时，k−2=0∈A，∴k≠2；k=−2时，k−2=−4∉A，满足条件；②当k2−2=0时，k=±2③当k2−2=1时，k=±3④当k2−2=9时，k=±11从而得到B=±所以集合B中所有元素之和为−2．故选：D．【题型6确定集合中的元素】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【解题思路】根据元素与集合的关系判断．【解答过程】集合A有两个元素：∅和∅，故选：B.【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中所含元素个数为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【解题思路】根据x−y的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数．【解答过程】当x−y=0时，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)，6个元素；当x−y=1时，有(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)，5个元素；当x−y=2时，有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)，4个元素；当x−y=3时，有(3,0),(4,1),(5,2)，3个元素；当x−y=4时，有(4,0),(5,1)，2个元素；当x−y=5时，有(5,0)，1个元素，综上，一共有21个元素．故选：B．【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x2−mx+m2−3=0A．2 B．−2 C．±2 D．不存在【解题思路】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.【解答过程】因为关于x的方程x2所以Δ=m2故选：C.【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉AA．0 B．1 C．－1 D．2【解题思路】根据题意列式求得m的值，即可得出答案.【解答过程】根据条件分别令m2−1=−1,0,1，解得又m−1∉A，所以m=−1,±2，B=所以集合B中所有元素之和是−1，故选：C．【知识点3集合的表示法】1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型7用列举法表示集合】【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【解题思路】（1）直接将大于1且小于6的整数，写出集合A；（2）求得方程x2－9＝0的实数根，得到集合B；（3）联立y＝x＋3与y＝－2x＋6，求得交点，得到集合D.【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.（2）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.（3）由y=x+3y=−2x+6,得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}.【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−2=1有唯一实数解【解题思路】当a≠±2时化方程x+ax2−2=1为x2−x−(a+2)=0【解答过程】当a≠±2时，化方程x+ax2∵方程有唯一实数根，∴由判别式为零可得1+4(a+2)=0，得a=−9此时的解为x=1当a=2时，x+ax2当a=−2时，x+ax2∴A={−94，−2【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.【解题思路】根据题意求得元素，在用列举法即可表示（1）（2）（3）.【解答过程】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}.（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}.【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k【解题思路】集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，即方程kx2−8x+16=0只有一个解，再讨论当【解答过程】解：由集合A={x∣kx即方程kx①当k=0时，方程为−8x+16=0，解得x=2，即A=2②当k≠0时，方程kx2−8x+16=0只有一个解，则Δ=即方程为x2−8x+16=0，解得x=4，即综合①②可得：实数k的值为0或1，当k=0时，A=2；当k=1，A=【题型8用描述法表示集合】【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：(1)奇数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．【解题思路】利用集合的描述法即得.【解答过程】（1）奇数组成的集合为xx=2k−1,k∈（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为x,yx>0,y>0【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【解题思路】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.【解答过程】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：{x|x=3n+1,n∈N}；（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：{(x,y)|x>0,y>0}；（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：{x|x=2n,n≥3,n∈Z}．【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程2x−1+(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数y=x【解题思路】根据题意逐项代入分析即可求解.【解答过程】（1）方程2x−1+|2y+1|=0的解集为{(（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0}.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为{x∈N+|x=5n+3（4）用描述法表示二次函数y=x2+2x−10【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公