【课件设计】两角和差的正弦、余弦公式-人教A版2019必修第一册

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两角和与差的正弦、余弦公式教材版本：人教2019A版学科年级：高中数学一年级所在单位：山东省泰安第一中学主讲教师：李宾5.5.1两角和与差的正弦、余弦公式任意角的三角函数的定义一、温故知新公式一

公式二

公式三

公式四

公式五

公式六一、温故知新利用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为内的角的三角函数，进一步转化为锐角的三角函数

问题1：在锐角范围内我们常用的特殊角有哪些？问题2：这些特殊角的三角函数值大家很熟悉了，问题3：。

问题4：那与的三角函数值有什么关系呢？问题5：更一般地与的三角函数值又有什么关系呢？但是如何计算？成立吗？大家可以验证吗？5.5.1两角和与差的正弦、余弦公式课标要求1.能经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。2.理能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。难点1、两角差的余弦公式的推导过程2、两角和差的正余弦公式的灵活运用重点两角和与差的正弦、余弦公式的应用

学习目标1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程2.熟记两角和差的正余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式解决求值、求角等问题学习目标及重难点xyOα终边A(1,0)A1P1Pβ终边α-βα-β

如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.

①不妨令α≠2kπ+β,k∈Z.二、探究新知P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，P(cos(α-β),sin(α-β)).根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而.连接A1P1，AP.所以AP=A1P1.研究与的三角函数值的关系。根据两点间的距离公式，得化简得②当α=β+2kπ,k∈Z时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角α，β有，AP=A1P1A(1,0)，P(cos(α-β),sin(α-β))，P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.C(α–β)cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ(C(α–β))平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：问题6：大家想一想，我们刚才得到了差角的余弦公式，那么两角和的余弦公式是否需要进行重复证明呢？至此，我们又得到了和角的余弦公式，对于任意角1.公式可简记为:余余正正号相反.问题8：我们刚才得到了两角和差的余弦公式，那么两角和差的正弦公式又是如何呢？即：与的三角函数值又有什么关系呢？2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合。问题7：两组公式的结构有什么特点呢？对于任意角α，β有，和角公式差角公式问题9：你能发现与余弦有关的诱导公式和两角差的余弦公式有什么关系吗？问题10：同角三角函数基本关系和两角差的余弦公式之间又有什么样的关系呢？1.公式可简记为:正余余正号相同.2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合(1)cos15°的值是（）√题型一给角求值(2)cos75°的值是（）√【例1】三、题型讲解公式的正用在锐角范围内我们常用的特殊角：③cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；④－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；法1：法2：方法总结：一看角、二看结构特征;注意名称的顺序和角的顺序法1：原式＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°法2：原式＝sin30°cos105°＋cos30°sin105°方法总结：将常数转化为特殊角的三角函数值后直接套用公式法3：

(3)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)](4)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°(4)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°cos47°＋cos13°sin47°③cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；④－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；公式的逆用规律方法

两角和差的正余弦公式常见题型及解法(1)对于两角和差的正余弦公式的正用和逆用要熟练。公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.(2)两特殊角和差的正余弦值,利用两角和差的正余弦公式直接展开求解.(3)含有常数的式子,先将常数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角和差的正余弦公式求解.（4）求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差或者和,然后利用两角差的余弦公式求解.√√跟踪训练1给值求值题型二[方法总结]解决此类问题的关键在于寻找已知角和所求角的关系，分析角与角之间的关系，合理拆、凑，用已知角表示所求角。规律方法

给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:(3)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.(1)解：注意角的范围跟踪训练2所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)给值求角题型三缩小角的范围给值求角题型三规律方法

解决三角函数给值求角问题的方法步骤四、课堂小结回忆本节课的内容，你的收获是什么？常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.4组公式：两角和差的正弦和余弦公式3种题型：给角求值,给值求值,给值求角.2种方法：整体法、构造法.1个推导：主要进行了两角差的余弦公式的推导.我爱学习3.若cos(α-β)=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=

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五、当堂检测挑战100分√六、布置作业2.思考如何求两角和差的正切公式呢？

完成课本P220