二项展开式中系数最大值问题的探究学习

PAGEPAGE1二项展开式中系数最大值问题的探究学习浙江省诸暨市草塔中学何勇鲁芝珍311812倡导“积极主动、勇于探索的学习方式”是新课程所提出的一项基本理念，二项式定理中经常出现一类求二项式系数最大值的问题,除了要求搞清楚某一项的二项式系数与系数的区别以外,还要对一些常见的系数最大值问题进行探求分析。笔者对二项展开式中系数最大值问题进行了探究教学的尝试。问题、求（+）10展开式中系数最大的项。师：本题小括号内的项看似复杂,既有三次和五次根式,又在分母中含有变量,请思考展开式中各项系数与二项式系数的关系。生：因为小括内的两个项和本身的系数为1,所以展开式中每一项的系数都等于该项的二项式系数,而展开式中中间项的二项式系数最大,故只需求二项式系数最大项即可。解：由题，二项展开式的系数即该项的二项式系数，所以系数最大的项为第6项，即T6==252。探究1、求（）9展开式中系数最小的项。师：本题小括号的项的系数与上题有何区别？生：本题小括号的两项的系数分别为1和，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数。即每一项的系数与该项的二项式系数的绝对值相等。解：由题，二项展开式的系数与该项的二项式系数的绝对值相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数最小的项为第6项，即T6==。探究2、求（1+2x）4展开式中系数最大的项。师：可以发现，本题中小括号内两项的系数与二项式系数既不相等也不相反，该如何来求系数最大的项？生：……师：该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，我们可以尝试应用“夹逼法”求解。解：设展开式中的第r+1项为Tr+1=(r=0,1,…4)，令——①即得，故r=3，即第四项的系数最大，T4==。探究3、：由①式求解系数的最大值时的r一定有解吗？如果有解，会有几个解？你能证明吗？生1：可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大……生2：可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这样的r就不存在。师：那我们不妨对一般结论加以证明，例如求（1+ax）n展开式中系数最大的项(其中a>0).请同学们按照夹逼法的思想进行探求。下面由同学们自己思考。解：设展开式中的第r+1项为Tr+1=令，展开得，即a>0,>,故，又=1，上述方程组必有解，且当和都为整数时，r有两解：、，否则r有且只有一解。探究4、求（）10展开式中系数最大的项。师:本题小括号中第二项的系数为,所以各项的系数与二项式系数不同且展开式的项呈正负相间变化，与上题又有区别，又该如何求解呢？生一：用“夹逼法”。设展开式中的第r+1项为Tr+1=令,即……师：若将此式展开化简，则由于r的奇偶性不确定，所以、等的正负性不定，而且由于项的正负相间，会有多个满足条件的r，故此法不可取。生二：既然根据思路一直接用“夹逼法”不可行，是因为项正负相间。因为展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数。设r为偶数，令，即，即……师：上述不等式组中的两个不等式都是二次不等式，虽然理论上可以求出满足条件的r,但求解过程较繁。生三：由变式1想到项r与项的绝对值之间的关系，于是不妨先求绝对值最大的项。解：Tr+1=，令ar=，令ar+1>ar,即>,rN,r6,即r1<r2<r3<r4<r5<r6<r7>r8>r9>r10,又r=7时系数小于0，故只要比较和的大小，求得<，故第7项的系数最大T7=210。小结：①对二项式(ax+by)n展开式中系数的最大值问题，当a=b=1时可直接转化到二项式系数求解，反之，可以直接用“夹逼法”思想或