(完整版)医科高等数学知识点

1.极限存在条件limf(x)Af(x0)f(x0)Axx02.法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数f1(x)、f2(x)及f(x)有如下关系:f(x1)f(x)f(x2)且limf(x1)limf(x2)A则limf(x)A3. 法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限4.无穷小定理limf(x)Alim[f(x)A]0以~-A为无穷小，则以A为极限。性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.5.高阶同低阶无穷小，假设,是同一变化过程中的两个无穷小,且0.(1)如果lim0,就说是比较高阶的无穷小,记作o()(2)如果lim,就说是比较低阶的无穷小,或者说是比较高阶的无穷小;(3)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;C=1时，为等价无穷小。(4)如果lim C(C0,k0),就说是的k阶的k无穷小6.若limf(x)A,limg(x)B,则有(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB(2)lim[f(x)•g(x)]limf(x)•g(x)A•B(3)limf(x)g(x)limf(x)A(B0)limg(x)B推论若limf(x)存在,而c为常数,则limcf(x)climf(x)若limf(x)存在,而n为正整数,则lim[f(x)]n[limf(x)]n x1例题limx2x1 limx1limx1limx2

x2x1 x2limx113x27.所以当a00,b00,m和n为非负整数时有lima0xma1xm1amxbxnbxn1b0 1 na

b,当nm,

00,当nm,,当nm,8.例题求limx(x2x)limx(x2x)limx(x22x)(x22x)x2xxxxlim2xlim12

2

x21=1x22xxx9.两个重要的极限limsinx1 limxsin1=1x0 x x x例题求limsinmx limsinmxlimmsinmxnxx0sinnx x0sinnx x0n mx sinnxm sinmx nx mlimlimnx0 mx x0sinnx n1 1 1 sint求limxsin 令t,则当x时,t0.所以limxsinlim1x x x x x t0 tlim(11)xe lim(1x)e

1x x x02 2 2 x 2 2 x例题求lim(1)3x lim(1)3x lim[(1)2](x)(3x) lim[(1)2]6 e6x x x x x x x x例题2求lim(x1)x lim(x1)lim(12)lim[(1

2)x2

1]2(12)

xx1 xx1 x x1 x x1 x1 e2•1e2解法2lim(11)xx 1

lim(1)xx x 1

lim[(1)x]1x x e

e1e2(11)xxx10.函数在一点连续的充分必要条件是(1)f(x)在点x0处有定义;(2)limf(x)存在;(3)limf(x)f(x0).xx0 xx011. 函数f(x)在x0处连续是函数f(x)在x0处既左连续又右连续.12.满足下列三个条件之一的点x0为函数f(x)的间断点.(1)f(x)在点x0没有定义;(2)limf(x)不存在;(3)limf(x)存在,但limf(x)f(x0).xx0 xx0 xx0跳跃间断点如果f(x)在点x0处左,右极限都存在,但limxx0

f(x)limxx0 f(x),则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点.可去间断点如果f(x)在点x0处的极限存在,但limf(x)Af(x0),或f(x)在点x0处无定义,则xx0称点x0为函数f(x)的可去间断点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点为左右极限都存在 第二类间断点左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）震荡间断点（limsin1）1原式limln(1x)xlne=1xx013.例题求limln(1x) x0 x.x014.（最值定理）若函数yf(x)闭区间[a,b]上连续，则yf(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值．（有界性定理） 若函数yf(x)闭区间[a,b]上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理） 若函数yf(x)闭区间[a,b]上连续，则对介于f(a)和f(b)之间的任何数C，至少存在一个(a,b)，使得f()c根的存在定理两侧异号至少有一根。15.函数在一点可导的充分必要条件为：f(x0)f(x0)16.可导的函数一定是连续的连续不一定可导17.导数(C)0.常数的导数是零. (xn)nxn1. (sinx)cosx (cosx)sinx(logax)xlna

1 (lnx)1x

(cotx)cscx. (tanx)secx.(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx. (ax)axlna (ex)ex(arcsinx) 1. (arccosx) 1. (arctanx)1;1x2 1x2 1x2(cotx)1.反函数的导数等于直接函数导数的倒数1x2(1)[u(x)v(x)]u(x)v(x);(2)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x);(3)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x) (v(x)0)(1) (u1u2un)u1 u2un (2) (Cu)Cu(3) (u1u2un)u1 u2unu1u2unu1u2un因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)yf(u)(v)(x)x2 y2隐函数求导法则两边对X求导例题已知函数y是由椭圆方程a2b21所确定的求y方程两边分别关于 x求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有2xa2

2yb2y0解得yb2x 例题2eyxye eyyyxy yyay ex对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.例 题 y3 (x3)(x4) (x1)(x2) lny13

[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]1 1 1 1 1 1y()y 3x1 x2 x3 x4y133 (x3)(x4)x1

(x1)(x2)(1x2

1x3

1x4

1) 高阶导数ysinx y(n) sin(xn) (cosx)(n)cos(xn)2 218. 函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数f(x)在点x0处可导,且Af(x0).即可导可微. Af(x0).19. 基本初等函数的微分公式1 1d(arctanx)1x2dx d(arccotx)1x2dxd(C)0 d(x)x1dxd(sinx)cosxdx d(cosx)sinxdxd(tanx)secxdx d(cotx)cscxdxd(secx)secxtanxdx d(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadx d(ex)exdxd(logax) xlnadx 1 d(lnx)1x

dx1 1d(arcsinx) dx d(arccosx) dx1x2 1x220. 函数和、差、积、商的微分法则d(uv)dudv d(Cu)Cdud(uv)vduudv d()vduudvv v2例题设ye13xcosx,求dy. dycosxd(e13x)e13xd(cosx)(e13x)3e13x (cosx)sinx dycosx(3e13x)dxe13x(sinx)dxe13x(3cosxsinx)dx微分形式不变性微分形式始终为dyf(x)dx21. Lagrange中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,则在(a,b)内至少存在一点 ,使下面等式成立 f(b)f(a)f()(ba)推论 如果对于任意x(a,b),有f(x)0,则f(x)c(c为常数)如果对于任意x(a,b),有f(x)g(x),则f(x)g(x)c(c为常数)例题证明arcsinxarccosx 设f(x)arcsinxarccosx2f(x) 1(

1)0f(x)C 又f(0)arcsin0arccos01x2 1x2 0 22

即C2

arcsinxarccosx20 22. 型及型未定式解法:洛必达法则0 如果函数f(x)与g(x)满足下列三个条件0／0∞／∞，导数都存在且g(x)0，limf(x) g(x)存在或者无穷大则当xx0或x则有limg(x)limf(x)0,,00,1,0型未定式解法01或001.1100001lnxx00000 0ln01ln10.例题求lim(x) 0 0ln x1x 1

limxlimexx1 1

lim xx lnxlnxlim xx0lim(x)xexx 1 lim1lnxe01lim xx1x洛必达法则不是万能的求lim exex.洛必达不能求解xeex exexlim xeex 1e2xlim x1e2x1(两边同乘以ex)23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数若二阶导数为正值则为极小值负值则为极大值为零则不能判断24.二阶导数为正值则为凹的负值则为凸的分界点为拐点阶导数不存在在拐点处二阶导数为零或二函数作图 求定义域函数的奇偶性和周期性求一阶和二阶导数讨论极值点和拐点渐近线 列表25.kf(x)dxkf(x)dx基本积分公式[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx(1)xdxx1C(1);(2)dxxlnxC3adxlnaC14edxeC(5)cosxdxsinxC(6)sinxdxcosxC(7)

(9)sec2xtanxC(8)csc2xcotxC 1

1x2dxarctanxCarccotxC(10)1dxarcsinxCarccosxC1x226.第一类换元法(凑微分法)设f(u)具有原函数F(u),u(x)可导则有f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)F[(x)]Csecxdxln(secxtanx)C凑微分的集中常见形式cscxdxln(cscxcotx)C1.f(xn1)xdxf(xn1)d(xn1)n12.f(x) xdx2f(x)d(x)3.f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)4. 1

f()xdxf(1)d(1)、x2 x xx5.f(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)6.f(ex)exdxf(ex)dex7.f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanx 8. f(arctanx)dxf(arctanx)d(arctanx)1x227.第二类换元积分法f(x)dxf[(t)](t)dt（根式代换）例题求 1dx.令xtdx6tdt 1dx 6t5dtx(13x) x(13 x) t(1t)6t2dt6t2dt6t211dt6dt6 1dt6(tarctant)C1t2 1t2 1t2 1t26(6xarctan6x)C三角代换的形式 (1) a2x2 xasint;(2) a2x2 xatant;(3) x2a2 xasect. 倒数代换x1也为常用的形式u28.分部积分法udvuvvdu 使用时应注意的问题（1）v要容易求得；（2）vdu要比udv容易积出. 例题xarctanxdx. 令uarctanx,xdxd2x2dvxarctanxdx x22

arctanxx22

d(arctanx)x22

arctanx x221x2dx1x2arctanx1(1 1

1x2)dxx2arctanx1(xarctanx)C2222例题2lnxxdx.uxdx2udulnxxdx2lnudu2(ulnudu)2u(lnu1)C2x(lnx1)CA2

(xa)k1Ak

xaA1,A2,,Ak待定29.有理函数的积分待定系数法分母中若有因式(xa)，则分解后为A1

(xa)k的常数分母中有(xpxq)分解后为M1xN1 M2xN2 MkxNk(xpxq)k (xpxq)k1 xpxq其中p4q0 Mi,Ni待定的常数例题 x26x13dx.分母实数范围内不能因式分解则用凑分法 2x2 2x2 dx 2x64dx d(x26x13) dx4 dxx26x13 x26x13 x26x13 (x3)222ln(x26x13)2arctan x3C230.定积分b f(x)dxlimf(i)xia 0i1相关性质bkf(x)dxkf(x)dxk为常数a a.[f(x)g(x)]dxb f(x)dxg(x)dx b f(x)dxf(x)dxf(x)dxa a a a a c[a,b]上f(x)g(x)f(x)dxg(x)dxa a设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则m(ba)f(x)dxM(ba)a定积分中值定理b f(x)dxf()(ba)(ab)a积分上限函数G(x)x f(t)dtx[a,b]有G(x)[f(t)dt]f(x)(axb)a a例题y1t1dt求导数先化为积分上限函数yx3t123 t 1 23 tdtx3视为yut1dtux的复合函数dydydududxd(ut11 23 tdt)(x)23tdxdu13x2(1x3)2x例题2[xx32et2dt][xx32et2dt][xa2et2dt][et2dt][et2dt][et2dt]aaaex4(x)ex(x3)2xex3x2ex6微积分基本定理bf(x)dxF(x)abF(b)F(a)a定积分的换元法bf(x)dxf[(t)](t)dta例题1x(x21)3dx设x21tx0t1;x1t20所以有1x(x21)3dx121(x1)d(x1)12tdt1t42115288001不换新变量就不要改变积分上下限1x(x1)dx(x1)3d(x21)12 0 8(x21)4101580例题21x21x2dx.设xsint,dxcostdt0x0t0;x1t1

x21xdx2sin2t1sin2tcostdt162002sintcostdt24 0sin2tdt1

2(1cos4t)dt1(t1sin4t)2 088400定积分的分部积分法budvuvbvduaaa例题xedx.xedxxdexxex10edxee0x10e(e1)1000e e

lnxdxxlnx1ex1dxex1e1x1131.用定积分求面积和旋转体的体积旋转体的体积V[f(x)]2dxy2dx（绕x轴形成的）a aVd[(y)]2dyx2dx(绕y轴形成的)c c例题yx2 x0 y1绕y轴形成的体积4用公式ba

x2dy Vx2dy4ydy2y20 0 10

232.无穷区间的广义积分a

f(x)dxlimbabf(x)dx极限存在则为广义积分存在或收敛 极限不存在则为广义积分不存在或发散相应的有形式b

f(x)dxlimaaf(x)dx b f(x)dxlimaaf(x)dx牛顿公式a

f(x)dxlimF(b)F(a)F(x)b a f(x)dxF(x)0F(x) b

f(x)dxF(b)limF(a)F(x)a

b例题(3)dx. dx0dxdx（原函数为正切函数） 1x2 1x2 1x2 0 1x2无界函数的广义积分a

b f(x)dxlim0a b f(x)dxba

f(x)dxf(x)dxf(x)dxlima c 10a c1 f(x)dxlim20c2 b f(x)dx(10,20) 若limf(x)只有当上式右端两个极限都存在时则称xc a

b f(x)dx收敛否则为发散。例题求1dx.lim

x11x1是无穷间断点21x21x201dxlim001dxlimarcsinx01 0limarcsin(1)001x21x20计算1 1dx.？

2x33.平面的一般方程AxByCzD0圆柱面xyR2椭圆抛物面zxy2双曲抛物面zx2

a2y2(a0,b0)b2圆锥面zxy（二元函数的图像通常为一张曲面）34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近35.偏导数同全微分fx(x0,y0)limx0f(x0x,yx

0)f(x0,y0)fy(x0,y0)limy0f(x0,y0y)f(xy

0,y0)二阶偏导数xx

z 2zx2fxx (x,y) yyzy2z2fyy(x,y)yx

z xy

2z

fxy(x,y), xy z yxf

2zyx

(x,y)（混合偏导数）混合偏导数并不都是都相等的.定理如果zf(x,y)得两个二阶混合偏导数2z2z在区域D内连续，那么有该区域xyyx内这两个二阶混合偏导数必相等。全微分dzAxBy如果函数zf(x,y)在点P(x,y)处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在该点处的全微分为dzzxzyx y一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在有偏导数存在且连续，全微分才存在偏导数在某点连续则在该点处可微(可微的充分条件)若函数在某点可微分则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件)例题zarctany的全微分zyzxdzydxxdyxxy2yx2y2x2y2x36.u(x,y)v(x,y)(x,y)点偏导数存在，zf(u,v)在对应点(u,v)可微，则复合函数在(x,y)存在对xy的偏导数。z zu

zvz

zu

zvx ux vx y uy vy x z z

例题zulnvu v3x2y求 y x yx

z

u

z

ux

v

z v2ulnvx1y

u2v

32xy2ln(3x2y)y(3x2y)

3x2zzuzv2ulnv(yx

y2)u2(2)2x2

y2ln(3x2y)2x2yuyvy(3x2y)v中间变量既有一元函数又有二元函数的情形zf(u,x,y)u(x,y)即zf[u(x,y),x,y]则有zxf uuxf,xzf uuyf.例题zu23xy,u2xy求zzyyxyzf uuxf2u23y4(2xy)3y8x7yxxzf uuyf2u13x2(2xy)3x7x2yyy中间变量均为一元函数设zf(u,v)可微且有uu(x),vv(x)有zf[u(x),v(x)]为x的一元函数有dzdxzduzdv例题zeu2vusinxvx3求dzudxvdxdx有dzdxzduzdveu2vcosx2eu2v3x2esinx2x(cosx6x2)udxvdx37.隐函数微分法一元隐函数求导设F(x,y)0确定的一元隐函数为yf(x)则有F[x,f(x)]0F Fdy F dy F则有x

y

dx

0若y 0则有dx Fxz例题yxex0所确定的函数yy(x)的导数dy.dxF F则有F(x,y)yxex0 x ey1,y1xey0dy ey1 ey1所以有dx 1xey

1xey二元隐函数的求导方法F(x,y,z)0所确定的函数为zf(x,y)（二元隐函数）F[x,y,z(x,y)]0两侧分别求导FxFzz x0,FFzz y0若F0则有yyzxFx

FzzFyFzy例题exyz0所确定的函数的偏导数F(x,y,z)exyzFxyz,Fyxz,Fzezxy0所以有x

zFF

xz

exy

yzy

z

FF

yz

exy

xz38.设函数zf(x,y)在点(x0,y0)处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在则必有fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0（极值点也可能不是驻点.）设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某临域内连续且有一阶及二阶连续偏导数。又有fx(x0,y0)0fy(x0,y0)0令fxx(x0,y0)Afxy(x0,y0)Bfyy(x0,y0)C当BAC0时该点为极值点（A<0则为极大值点A>0则为极小值点） BAC0时不为极值点39.条件极值BAC0时不能确定求zfx,y在约束条件gx,y0下的极值构造辅助函数(lagrange函数)Fx,y,fx,ygx,y（为常数）Fxfxx,ygxx,y0求F yfFgx,y0

yx,ygyx,y0解方程组若(x0,y0,0)为一解则(x0,y0)是可能的条件极值点（用题中所给条件判定）40.二重积分f(x,y)df(x,y)dxdyD D二重积分的相关性质kf(x,y)dkf(x,y)d[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)df(x,y)df(x,y)df(x,y)d（区域可加性）D D1 D2

1dd(为D的面积)若D上有f(x,y)g(x,y),则有f(x,y)dg(x,y)d.D Dmf(x,y)dM（Mm分别为最大值和最小值，为D的面积)f(x,y)df(,)（至少存在一点满足此式） D

二重积分可化为二次定积分计算dx2(x)f(x,y)dyddy2(y)f(x,y)dx(x-型先y后x，y-型先x后y) a

例题 1(x)

(xy)dxdyc1(y)xy为区域求面积yx2Dyx2(0,0),(1,1)（求两曲线的交点）xy2y3) 3x2dx 0x1X-型2xyx(x2y)dxdy[x0 x2(xy)dy]dx(xyD0(x2x(x)3xx6)dx( 32 7

x2 5

xx5x7)2110671535350积分区域是圆域或圆域的一部分时通常用极坐标积分

f(x,y)dxdyf(cos,sin)ddDexD例题2y2dxdy区域Dx2y2a2,x0,y0.D有02，0a所以有ex2y2dxdy2ded

2ed00D4ed()2

4(1ea)41.微分方程例题一曲线经过(1,2)，该曲线上任意一点的切线的斜率为2x，求该曲线方程。 设曲线为yf(x) dy2x（根据导数的几何意义）即dy2xdx dx

两边积分dy 2xdx得yxC（C为任意常数）根据点有yx1一阶微分方程yF(x,y)或dyF(x,y).高阶微分方程y(n)F(x,y,y,y(n1)) dx

微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.42.可分离变量的微分方程dyf(x)g(y)（等式右端的函数可分解成x的函数与y的函数 dx

相乘的形式.）一阶线性微分方程 dyP(x)yQ(x) 当Q(x)0,为其次的。不衡为零时，为非其次的。 dx

（线性指为微分方程仅有y得一阶导数，且y和y’都是一次幂dyP(x)y0的通解为yCeP(x)dxdxdydxP(x)yQ(x)的通解为y[Q(x)eP(x)dxdxC]eP(x)dxCeP(x)dxeP(x)dx