2024春九年级数学下册第1章解直角三角形达标测试卷新版浙教版

Page1第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．cos30°的值为()A.eq\f(1,2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°3．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶eq\r(3)，则顶角为()A．60°B．90°C．120°D．150°4．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，依据实际状况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能依据所测数据，求出A，B两点之间距离的有()A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连结BD，若cos∠BDC＝eq\f(5,7)，则BC的长是()A．10 B．8 C．4eq\r(3) D．2eq\r(6)6．如图①，将一个Rt△ABC形态的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩竖直向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm(如图②)，则木桩大约上升了(结果保留一位小数．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)()A．2.9cmB．2.2cmC．2.7cmD．7.5cm7．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为()A.eq\f(8\r(6),3)B．4eq\r(3)C.eq\f(8\r(2),3)D．4eq\r(2)8．李红同学遇到了这样一道题：求eq\r(3)tan(α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是()A．40° B．30°C．20° D．10°9．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20nmile.客轮以60nmile/h的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到达B处，那么tan∠ABP的值等于()A.eq\f(1,2) B．2 C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于()A．asinx＋bsinx B．acosx＋bcosxC．asinx＋bcosx D．acosx＋bsinx二、填空题(每题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为________．12．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD＝________.13．已知传送带的坡度i＝1∶2.4，假如它把物体送到离地面10m高的地方，那么物体所经过的路程为________.14．如图，某校教学楼AC与试验楼BD的水平间距CD＝15eq\r(3)米，在试验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是____________米(结果保留根号)．

15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝eq\f(3,5)，则AB边的长为________．17．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25min后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__________．18．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港动身，沿北偏东60°的方向以40nmile/h的速度航行，同时乙货船从B港动身，沿西北方向航行，2h后两船在点P处相遇，则乙货船的速度为____________．

三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)2－1－eq\r(3)tan60°＋(π－2021)0＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))；(2)(π－eq\r(5))0＋eq\r(4)＋(－1)2021－eq\r(3)tan60°.20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物方向前进了100m到达B处，此时测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度(结果精确到1m．参考数据：eq\r(3)≈1.732)．

21．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河流河面的宽度．22．为了缓解交通拥堵，便利行人，市政府安排在某街道修建一座横断面为四边形ABCD的过街天桥(如图)，BC∥AD，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，BC＝10m，天桥高度CE＝5m，求AD的长度(结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．23．如图是由6个形态、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连结CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的条件下，连结AD，求tan∠BAD的值．

24．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm(参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求证：AC∥BD；(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)；(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会遇到地面？请通过计算说明理由．

答案一、1.D2.D3.A4．C点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝eq\f(AB,tan∠ACB)，BD＝eq\f(AB,tan∠ADB)，BD－BC＝CD，可求出A，B两点间的距离；对于③，易知△DEF∽△DBA，则eq\f(DE,EF)＝eq\f(BD,AB)，可求出A，B两点间的距离；对于④无法求得A，B两点间的距离，故有①②③共3组，故选C.5．D6.A7．A点拨：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4eq\r(2)，易证DF＝AE，∴DF＝4eq\r(2)，再解Rt△DCF即可求出CD.8．D9.A10．D点拨：如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x.∴∠FBA＝x.∵AB＝a，BC＝AD＝b，∴FO＝FB＋BO＝acosx＋bsinx.二、11.312.eq\f(4,5)13.26m14．(15eq\r(3)＋15)15.eq\f(4,3)16.eq\f(16,5)点拨：如图，作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cosC＝eq\f(3,5)，∴eq\f(CH,AC)＝eq\f(3,5).∴CH＝eq\f(6,5).∴AH＝eq\r(AC2－CH2)＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))\s\up12(2))＝eq\f(8,5).在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝eq\f(16,5).17．750eq\r(2)m点拨：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(m)，∴AD＝AC·sin45°＝375eq\r(2)(m)．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750eq\r(2)(m)．即小山东西两侧A，B两点间的距离为750eq\r(2)m.18．20eq\r(2)nmile/h点拨：如图，作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港动身，沿北偏东60°的方向以40nmile/h的速度航行，∴∠PAC＝30°，AP＝40×2＝80(nmile)．∴PC＝AP·sin30°＝80×eq\f(1,2)＝40(nmile)．∵乙货船从B港动身，沿西北方向航行，∴∠PBC＝45°.∴PB＝PC÷eq\f(\r(2),2)＝40eq\r(2)(nmile)．∴乙货船的速度为40eq\r(2)÷2＝20eq\r(2)(nmile/h)．三、19.解：(1)2－1－eq\r(3)tan60°＋(π－2021)0＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)－3＋1＋eq\f(1,2)＝－1.(2)(π－eq\r(5))0＋eq\r(4)＋(－1)2021－eq\r(3)tan60°＝1＋2－1－3＝－1.20．解：设CE＝xm．由题意可知，△BCE为等腰直角三角形．∴BE＝CE＝xm.在Rt△AEC中，tan∠CAE＝eq\f(CE,AE)，即tan30°＝eq\f(x,x＋100)，∴eq\f(x,x＋100)＝eq\f(\r(3),3).解得x≈136.6.∴CD＝CE＋ED≈138m.故该建筑物的高度约为138m.21．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.由题意可知BC＝1.5×40＝60(米)，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°.∴∠ABC＝∠BAC.∴AC＝BC＝60米．在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝AC·sin60°＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3)(米)．答：此段河流河面的宽度为30eq\r(3)米．22．解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，∴BF＝CE＝5m，EF＝BC＝10m.在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝eq\f(BF,AF)，∴AF＝eq\f(BF,tan35°)≈eq\f(5,0.70)≈7.14(m)．∵斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，∴eq\f(CE,ED)＝eq\f(1,1.2).∴ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．∴AD＝AF＋FE＋ED≈7.14＋10＋6≈23.1(m)．故AD的长度约为23.1m.23．解：(1)如图．(2)如图，连结BD，∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝eq\r(BE2＋DE2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝eq\r(BF2＋AF2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2).24．(1)证明：∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，∴OB＝OD＝85cm.∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(3,5).又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD.∴∠OAC＝∠OBD.∴AC∥BD.(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34cm，EF