广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年上学期九年级开学考数学试卷

南实集团南海中学2024-2025学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共24分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A． B． C． D．2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：工程队每天施工面积（单位：施工总面积（单位：施工时间（单位：天）甲1800两个工程队同时完成工作任务乙1200根据以上信息求的值，则下列方程正确的是A． B． C． D．5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为A．2 B．4 C．3 D．2.57．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为A．3 B．4 C．5 D．68．已知三个实数，，满足，，则A．， B．，C．， D．，二．填空题（每题3分，共15分）9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是．10．已知，是一元二次方程的两个根，则－．11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为．12．如图，，平分，于，交于．若，则，．13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为．三．解答题（共61分）14．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．15．（10分）计算：（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程．．16．（6分）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；（2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；（3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．17．（8分）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．（1）求证：；（2）过点作于点，若，求的面积．18．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．（1）求两种图书的单价分别为多少元；（2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．19．（10分）根据下列素材，探索完成任务．如何利用闲置纸板箱制作储物盒素材1如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．素材2如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．长方形纸板①长方形纸板②小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．长方形纸板①的制作方式长方形纸板②制作方式裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．目标1熟悉材料熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为．目标2利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．

20．（12分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程；（2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：由题意知，、选项中的图形是轴对称图形，选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，选项是中心对称图形，故选：．2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是A． B． C． D．【解答】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；、不是因式分解，故本选项不符合题意；、不是因式分解，故本选项不符合题意；、是因式分解，故本选项符合题意；故选：．3．一元二次方程的根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：△，方程有两个不相等的实数根．故选：．4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：工程队每天施工面积（单位：施工总面积（单位：施工时间（单位：天）甲1800两个工程队同时完成工作任务乙1200根据以上信息求的值，则下列方程正确的是A． B． C． D．【解答】解：依题意得，，故选：．5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：的对角线，交于点，，，，，，又△的周长为14，，，故选：．6．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为A．2 B．4 C．3 D．2.5【解答】解：为中线，，，在中，，，为的中点，，，为的中点，，故选：．7．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四边形是正方形，，，，又，，，△△，，又，，△中，．故选：．8．已知三个实数，，满足，，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，，，，．故选：．二．填空题（共5小题）9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是．【解答】解：种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，温箱里的温度应该设定的范围为：．故答案为：．10．已知，是一元二次方程的两个根，则－1．【解答】解：，是一元二次方程的两个根，，．∴－2-1=1．故答案为：1．11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为120．【解答】解：设这个多边形的边数为，则，解得：，则，即正多边形的每个内角的度数为，故答案为：120．12．如图，，平分，于，交于．若，则10，．【解答】解：平分，，，，，，，，过作于点，，平分，，，在△中，，，故答案为：10，5．13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为．【解答】解：如图，作交于点，由题意得：，，点在与平行，且距离为2的直线上运动，将绕点逆时针旋转得△，连接，则是等边三角形，，，当、、、共线，且时，最小，其值为的长，设交于点，，，，，最小值为，故答案为：．三．解答题（共8小题）14．解不等式组：，并写出它的正整数解．【解答】解：解不等式得，．解不等式得，，所以不等式组的解集为：．正整数解为：1，2，3．15．计算：（1）先化简，再求值：，其中．（2）解方程：．【解答】解：（1）原式；当时，原式．（2），去分母，得：，去括号，得：，移项、合并同类项，得：，经检验，是原方程的增根，故原方程无解．16．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；（2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；（3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．【解答】解：（1）如图，△即为所求；（2）如图，线段即为所求；（3）如图，直线即为所求．17．如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．（1）求证：；（2）过点作于点，若，求的面积．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，、分别平分、，，，，又，，；（2）解：如图，过点作于，平分，，，，平行四边形的周长为48，，．18．中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．（1）求两种图书的单价分别为多少元；（2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据题意得：，解得：．设购买这两种图书共花费元，则，，，随的增大而减小，又，且为正整数，当时，取得最小值，此时．答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少．19．如何利用闲置纸板箱制作储物盒素材1如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．素材2如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．长方形纸板①长方形纸板②小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．长方形纸板①的制作方式长方形纸板②制作方式裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．目标1熟悉材料熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为40．目标2利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．【解答】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，则图1中的四角裁去小正方形的边长为，则收纳盒的宽小正方形的边长，由图2知，设小正方形的边长为，由题意可得：，解得：，体积为，答：储物盒的容积为6552立方厘米；（2）设小长方形的宽为，，长为，由题意可得：，解得：小长方形的宽为当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，玩具机械狗也不能完全放入该储物；综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．答：玩具机械狗不能完全放入该储物．20．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证