高二第二学期期末模拟卷02（范围集合与逻辑用语函数性质选择性）

高二第二学期期末模拟卷02（范围：集合与逻辑用语+函数性质+选择性必修第二册）题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，那么集合（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，，所以.故选：B.2．已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】因为，所以，两式相除可得：，所以，所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，当，则，，所以数列为公比为的等比数列，所以“”能推出“数列为等比数列”，若数列为等比数列，则公比为2，故，所以“数列为等比数列”能推出“”.故“”是“数列为等比数列”的充要条件.故选：C.3．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（

）A． B． C． D．4【答案】A【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得.故选：A.4．已知函数则下列说法正确的是（

）A．是上的增函数B．的值域为C．“”是“”的充要条件D．若关于的方程恰有一个实根，则【答案】D【详解】A:因为和都是增函数，但是当时，,,可知,故A是错误的；B:由,故B是错误的；C:因为时，,解得：，则反向必要性不成立，故C是错误的；D:方程可化为：,构造函数与,由数形结合可得：当时，它们有两个交点，所以当,它们只有一个交点，故D是符合题意的；故选：D.5．如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，所以，所以，即.故选：C6．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（

）A．18种 B．30种 C．42种 D．60种【答案】B【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能，故共有种可能.故选：B.7．已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（

）A．的一个周期是2B．是奇函数C．不一定是偶函数D．的图象关于点中心对称【答案】D【详解】对于A，因为定义在上的函数满足，所以，所以，所以，所以的一个周期是4，所以A错误，对于BC，因为，所以，因为函数为奇函数，所以，所以，所以的图象关于点对称，所以，所以，所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称，即的图象关于点中心对称，所以D正确，故选：D8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为1”，表示事件“第二次正面朝上的点数为3”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为8”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（

）A．与相互独立 B．与互斥C． D．【答案】D【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：，共36个．依题意，易得，事件包括，共5个，，事件包括，共6个，，对于A，事件只有结果，则，A与D相互独立，故A正确；对于B，由事件的基本事件可知，其中不包含“第一次正面朝上的点数为1”的事件，故与互斥，故B正确；对于C，事件表示“第二次正面朝上的点数不为3”，事件同时发生的有，共4件，所以，，故C正确；对于D，事件同时发生的有，共1件，所以，，故D错误.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用古典概型的概率公式求得各事件的概率，从而得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则（

）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：①，②当时，.A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为C．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试；男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85D．根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关【答案】BD【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；对于C：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、，又男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故C错误；对于D：因为，所以根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关，故D正确；故选：BD.10．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】由已知有，故，.所以.对于A，取得，取得，所以，A错误；对于B，对求导得，取得，B正确；对于C，在中用替换，得.所以，特别地对有，C错误；对于D，由有.在中取得，所以，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果.11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（

）

A．B．直线到平面的距离为2C．平面截正方体的截面的面积为D．直线与平面所成角的余弦值为【答案】ABC【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，

，对于A，，则，故A正确；对于B，易得平面的法向量为，而，所以，又平面，所以平面，所以点到平面的距离即直线到平面的距离，即，故B正确；对于C，记的中点为，连接，则，所以，显然，即，所以四点共面，即平行四边形为平面截正方体的截面，由勾股定理易得，故平行四边形是菱形，又，所以，，所以，故C正确；对于D，设的法向量为，，，所以，令，则，即，因为，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则．【答案】0.86/【详解】因为，所以，因为，所以，即又，所以，，所以，所以.故答案为：0.8613．为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则.x46810z2c56【答案】3【详解】，，依题意，，而回归直线方程过点，故，解得.故答案为：314．已知，，则．【答案】【详解】令，，则，，由题可得，，所以，.因为函数在上单调递减，所以.由，得，得，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97．(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中所有的有理项．【答案】(1)(2)(3)，，，，【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为，可得展开式的前3项的系数分别为，因为前3项的系数和为，可得，且，解得或（舍去），即的值为.（2）解：由，当时，二项式系数最大，即二项式系数最大项为．（3）解：由，可得，所以展开式的有理项为．16．某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到不喜欢游泳的学生的概率为．(1)请将上述列联表补充完整，并依据独立性检验，判断能否有认为喜欢游泳与性别有关联；(2)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列联表见解析，没有(2)分布列见解析，【详解】（1）根据100人中随机抽取1人，抽到不喜欢游泳的学生的概率为,得不喜欢游泳的学生人数为40人，喜欢游泳的学生人数为60人，则喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100根据独立性检验卡方计算公式得，故没有的把握认为喜欢游泳与性别有关联．（2）的可能取值为0，1，2，3，．,,,.所以的分布列为0123数学期望为．17．如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）取线段的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，且；又是的中点，所以，且；所以，且，故四边形为平行四边形；所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）因为是的中点，所以，所以；因为平面平面，平面平面，所以平面.以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则即，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角为.18．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值.【答案】(1)分布列见解析，期望为(2)【详解】（1）由频率分布直方图得:解得这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，的分布列为:0123则其期望为（2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率所以依题意，即，即，解得因为为非负整数，所以，即当最大时，19．如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.(1)当时，