人教版初中八年级数学上册同步讲义-等腰三角形（原卷版）

第03讲等腰三角形

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。

①等腰三角形的性质

2.掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟

②等腰三角形的判定

练判定等腰三角形。

思维导图

知识点01等腰三角形的性质

i.等腰三角形的概念:

有两条边的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的，所对的角

叫做等腰三角形的,另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的。

2.等腰三角形的性质：如图

①等腰三角形的两腰-即AB/C。

②等腰三角形的两个底角0即48/C。【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互。【简

称底边上三线合一】即//8DACAD,BDCD,ADBC.""

题型考点：①熟练性质。②利用性质计算。

【即学即练1】

1.下列说法错误的是（）

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

C.等腰三角形的两个底角相等

D.等腰三角形顶角的外角是底角的二倍

【即学即练2】

2.已知等腰三角形的一个顶角为120°,则这个等腰三角形的底角为（)

A.30°B.60°C.80°D.120°

【即学即练3】

3.如果一个等腰三角形的两边长分别为2c冽和5°加，那么它的周长是（)

A.9cmB.12cm

C.9cm或12。冽D.以上答案都不对

【即学即练4】

4.如图，在△45C中，AB=AC,BD平分NABC,BD=BE,ZA=100°,则NQ£C=()

C.105°D.110°

【即学即练5】

5.在等腰△45C中，AB=AC,其周长为16c冽，则力5边的取值范围是（)

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB<8cmD.5cm<AB<10cm

知识点02等腰三角形的判定

1.利用等角对等边判定：

一个三角形中如有两个角，则这两个角所对的两条边也O（等角对等边）则这个

三角形是等边三角形。

2.利用三线合一性质判定：

若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线,则这个三角形是等腰三角形。

题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。

②利用多边形的内外角关系计算。

【即学即练11

6.在△/BC中，与//相邻的外角是130°,要使△/BC为等腰三角形，则的度数是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【即学即练2】

7.下列能确定△NBC为等腰三角形的是（)

A.//=50°、48=80°B.N/=42°、ZB=48°

C./A=2/B=10°D.AB=4,BC=5,周长为15

【即学即练3】

8.如图，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=36°,8。平分交/C于点。，过点/作/£〃8C,交,BD

的延长线于点E.

（1）求/ADB的度数；

（2）求证：△/£>£是等腰三角形.

【即学即练4】

9.如图，在△/3C中，点。为N/2C的平分线AD上的一点，过点。作斯〃交AB于点E,交/C于

点、F,连接CD,若BE+CF=EF.求证：△□明是等腰三角形.

B

题型精讲

题型01等腰三角形与周长

【典例1】

若等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）

A.9B.7C.12D.9或12

【典例2】

一个等腰三角形的两边长为8和10,则它的周长m的取值为（）

A.26或28B.26C.28D.26cm<28

【典例3】

已知等腰三角形的两边a,6满足心工+|b-8|=0,则等腰三角形的周长为（）

A.12B.16C.20D.16或20

【典例4】

已知实数x,>满足归-3|+^/?7=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（

A.10B.11

C.10或11D.以上答案均不对

题型02等腰三角形的性质求线段长度

【典例1】

如图，△/8C中，4B=AC,ZA=45,/C的垂直平分线分别交/2、/C于。、E,若CD=1,则AD等

典例1典例2

A.1B.V3C.&D.V2-1

【典例2】

如图，在△48C中，AB=AC=6,点£在NC上，M垂直平分/C,交AB于F,BF=1,则EF的长为

()

A.4B.3C.AlD.西

34

【典例3】

如图，在△/2C中，AB=AC,/O_L3C于点。，于点E,AF_L/C于点尸，DE=5cm,则B/

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

【典例4】

如图，在△NBC中，AC=1Scm,8c=20cm,点"从点/出发以每秒2c〃z的速度向点C运动，点N从点C

出发以每秒1.6cm的速度向点3运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当丛CMN

是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）

C.7cmD.8cm

题型03等腰三角形的性质求角度

【典例1】

等腰三角形的一个底角是/,它的顶角是（）

A.aB.90°-aC.180°-la

【典例2】

如图，直线a〃6,点/和点8分别在直线a和6上，点C在直线a、6之间，且3c=/C,ZACB=120°,

【典例3】

如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则/A4c的度数为（）

【典例4】

如图，在等腰△E3C中，EB=EC,AB=BC,Z£=40°,N/CD的度数为（）

【典例5】

定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值人称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△N3C

中，ZA=50°,则它的特征值人等于（）

A.」旦B.»C.空或旦D.也■或为

138108135

题型04等腰三角形的判定

【典例1】

如图，在△NBC中，AD平分/BAC,CE〃4D交R4的延长线于点E,求证：是等腰三角形.

【典例2】

如图，//CD是△/BC的一个外角，CE平分//CD,且CE1〃/2,求证：△/2C为等腰三角形.

【典例3】

如图，已知在△48C中，D、E是8c上两点，且N4DE=NAED,ZBAD=ZEAC,求证：4B=AC.

【典例4】

如图，在△/BC中，尸是8C边上的一点，过点P作8c的垂线，交N3于点Q,交C4的延长线于点凡若

AQ=AR,求证：△NBC是等腰三角形.

【典例5】

如图，在△/BC中，AB^AC,过点/作的平行线交N4BC的角平分线于点。，连接CD.求证：4ACD

为等腰三角形.

题型05等腰三角形的判定与性质

【典例1】

如图，在四边形48。中，AD//BC,4c平分/BCD.

(1)求证：AD=CD；

(2)若AC=BC,ZJD=120°,求的度数.

【典例2】A

如图,在△/BC中,/2=/C,48的垂直平分线MN交AC于点D,交.AB于点£.(1)/\

N

BC

求证：△/3D是等腰三角形；

(2)若/£=6,△C3D的周长为20,求△/8C的周长.

【典例3】

如图，已知点。，E分别是△43C的边R4和3c延长线上的点，作/D4C的平分线/R若AF〃BC.

(1)求证：△NBC是等腰三角形；D

(2)作的平分线交/斤于点G,若/8=40°,求NNGC的度数.

B乙------------CE

【典例4】

已知在△4SC中，AB=AC,点。是边上一点，ZBCD=ZA.

(1)如图1,试说明CD=CB的理由；

(2)如图2,过点3作垂足为点E,8E与CD相交于点尸.

①试说明的理由；

②如果△2DP是等腰三角形，求//的度数.

【典例5】

(1)如图1,己知：在△A5C中，4B=/C=10,BD平分/ABC,CD平分NACB,过点。作E尸〃3C,分

别交于£、/两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、C尸之间的数量关系是

△/£尸的周长是

(2)如图2,若将(1)中“△4BC中，/2=/。=10”改为“若△/8C为不等边三角形，48=8,AC

=10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、C尸之间的数量关系是什么？证明

你的结论，并求出的周长

(3)己知：如图3,。在△43C外，AB>AC,且AD平分//5C,CD平分△/8C的外角N/CG,过点

D作DEI/BC,分别交48、4c于E、下两点，则即与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论

不证明.

强化训练

1.等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.已知等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是()

A.17或22B.22C.17D.13

3.如图，在等腰△E8C中，EB=EC,AB=BC,48=70°,//CD的度数为()

4.“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”

游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.如图，“状元阁”的顶端可看作等腰

三角形4BC,4B=AC,。是边2。上的一点.下列条件不能说明4D是△/2C的角平分线的是()

5.如图，△/8C中，AB=AC,于。点，DELAB于点、E,由〈L/C于点/，DE=6,则3尸=()

A.8B.9C.12D.18

6.在平面直角坐标系中，已知点/(3,-3),在坐标轴上确定一点瓦使为等腰三角形，则符合条

件的点2共有()个.

A.5B.6C.7D.8

7.如图，在△/BC中，已知。和//C5的平分线相交于点尸，过点尸作。E〃8C,交4B于D,交NC

于£,若/8+/C=8,则△/£)£的周长为()

A

A.6B.8C.10D.12

8.如图，△A8C中，AB^AC,/B=40°,。为线段3C上一动点（不与点3,C重合），连接4D,作/

ADE=40°,交线段/C于E,以下四个结论：①NCDE=NB4D；②当。为BC中点时，DELAC-,

③当△/£>£为等腰三角形时，/BAD=20。；④当/24D=30°时，BD=CE.其中正确的结论的个数

是（）

9.在△/BC中，AB=AC,且过△/8C某一顶点的直线可将△NBC分成两个等腰三角形，则/A4c的度数

为.

10.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰△N3C

是倍长三角形，且一边长为6,则的底边长为.

11.如图，在△/BC中，。为边/C上一点，且8。平分//8C,过/作于点£.若//8C=64°,

ZC=29°,AB=4,BC=1Q,贝1]/£=.