2025年高考数学一轮复习：球的切、接问题【原卷版】

第2课时球的切、接问题【原卷版】

几何体的外接球

【例1】(1)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4百，其顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为()

A.100兀B.128兀

C.144兀D.192兀

(2)已知点S,A,B,。均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA_L平面ABC,则SA

0训练

1.已知三棱锥尸-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且尸4=1,PB=2,PC=3,则三棱锥PABC的外接球的表面积

为（）

A7m

A.-------71B.14兀

3

C.56兀D.V14n

2.已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，S.AC1BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为

()

V3

V2一

一B.12

AC.12

V-2V-3

44

几何体的内切球

【例2】(1)在正方体ABCDAiBCiA中，E,尸分别为AB,GA的中点.以EE为直径的球的球面与该正方体

的棱共有个公共点；

(2)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

0训练

1.如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCDAiBiCYDi的内切球，则平面AC/九截球。的截面面积为()

A.也B.-

3

D.—

3

2.已知三棱锥P-ABC中，E4,底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,则该三棱锥的内切球的体积

为.

与球切、接有关的最值问题

【例3】（1）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的

体积最大时，其高为（）

A.iB.-

32

C.如D0

32

（2）在正方体ABCZKA/iCbDi中，AB=4,。为AG的中点，若该正方体的棱与球。的球面有公共点，则球。的

半径的取值范围是.

0训练

1.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△A8C为等边三角形且其面积为98，则三棱锥。-A8C

体积的最大值为（）

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

2.在封闭的直三棱柱ABC-AiBiCi内有一个体积为V的球.若AB=6,8C=8,AAi=3,则V的最大值

是.

A级•基础达标

1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）

A.V3B.3V3

1

C.3D二

3

2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A.兀B.—

4

C.-D：

24

3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（）

A.16兀B.20兀

C.24兀D.3271

4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的樽卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其

上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。樟卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形

的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保

留无）（）

A.96兀

C.42兀

5.（多选）已知球。的半径为手，则下列结论正确的是（）

A.球O的表面积为6兀

B.球。的内接正方体的棱长为1

C.球。的外切正方体的棱长为:

D.球。的内接正四面体的棱长为2

6.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半

球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则半球的说法正确的是（）

A.半径是3B.体积为18兀

C.表面积为27兀D.表面积为18兀

7.已知三棱锥S-A8C的三条侧棱两两垂直，且SA=1,SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的半径是.

8.已知正三棱台A8C-A1B1G的上、下底面面积分别为竽，9V3,若AAi=闻，求该正三棱台的外接球的表面积.

B级•综合应用

9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与

圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球

的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（）

A.体积之比|B.体积之比|

C.表面积之比:D.表面积之比2

10.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为等，两个圆锥的高之比为1：3,则这两

个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4兀

C.9兀D.12兀

11.已知A,B,。为球O的球面上的三个点，OOi为△A3C的外接圆.若OOi的面积为4兀，AB=BC=AC=OOi,

则球O的表面积为（）

A.64兀B.48兀

C.36兀D.32兀

12.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点N,若线段的最小值为8一1,则下列说法中正

确的是（）

A.正方体的外接球的表面积为12兀

B.正方体的内切球的体积为詈

C.正方体的棱长为2

D.线段MN的最大值为2次

13.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的

体积为底面周长为3,则这个球的体积为.

14.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为手，当该圆锥体积取最小值时，求该圆锥的表

面积.

C级•能力提升

15.如图，在底面边长为4,高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方

且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_______.

16.如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5cm,该纸片上的等边三角形A8C的中心为0.0,E,尸为圆。上的点，

4DBC,AECA,AHAB分别是以8C,CA,A2为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕

折起△DBGAECA,AFAB,使得。，E,尸重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，求所得三棱锥体积（单

位：cn?）的最大值.

第2课时球的切、接问题【解析版】

几何体的外接球

【例1】（1）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4百，其顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为（）

A.lOOnB.128兀

C.144nD.192?1

（2）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形，SAL平面ABC,贝USA

答案：（1）A（2）2

解析：（1）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|><f*3百=3,|XfX4b=4.设该棱台上、

下底面的外接圆的圆心分别为。1,。2,连接则。1。2=1,其外接球的球心O在直线0102上.设球。的半径

为R,当球心O在线段上时，7?2=32+OOf=42+（l-OOi）2,解得。。尸4（舍去）；当球心。不在线段

。。2上时，7?2=42+OOj=32+（I+OO2）2,解得。。2=3,所以灭2=25,所以该球的表面积为4成2=100兀.故选

A.

（2）法一如图，设△ABC的外接圆圆心为彷，连接。1A,因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接

圆半径r=Oi4=|x?X3=g.将三棱锥S-ABC补形为正三棱柱S81G-A8C,由题意知SA为侧棱，设球心为O,

连接。Oi,0A,贝!|平面ABC,且0。1=为4又球的半径R=0A=2,OA2=O0^+O1A2,所以4=二&42+3,

得SA=2.

C,

法二如图，设AABC的外接圆圆心为Q,连接0自，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径

厂=03="当X3=V5.设三棱锥S-ABC的外接球球心为。，连接。5,则00」平面ABC.又SA_L平面A2C,所

以。0i〃S4,连接OS,OA,由题意知0S=0A=2.过。作S4的垂线，设垂足为H,则四边形A。。”为矩形，所

以。。尸AH,由0s=。4可知〃为SA的中点，则OOi=A〃=裁A.所以在R3OOiA中，由勾股定理可得。屋二

OOf+OiA2,即4=*屋+3,得&4=2.

6训练

1.己知三棱锥A4BC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P4BC的外接球的表面积

为()

A.吗tB.14兀

3

C.56nD.V1471

解析：B以线段PA,PB,PC为相邻三条棱的长方体PAB3-C4PC被平面ABC所截的三棱锥P-A2C符合要

求，如图，长方体PAB3-C4PC与三棱锥尸-42C有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP,设外接

球的半径为R,则(2R)2=PPa=PAi+PB2+PC2=12+22+32=14,则所求表面积5=4成2=兀.(2R)2=14TI.

2.已知A,B,C是半径为1的球0的球面上的三个点，S.AC1BC,AC=BC=1,则三棱锥。-ABC的体积为

()

ARV3

V-2一

12

c12

V-2

4DVT3

解析：A如图所示，因为AC_LBC,所以AB为截面圆,且连接0。1,贝！10。」面ABC,001

==

=J]-(3)=J1-0^-=今所以三棱锭O-ABC的体积V=|SAABC^00I|X|X1X1^~~-

©

几何体的内切球

【例2】（1）在正方体ABCZX4181cld中，E,尸分别为AB,GA的中点.以EE为直径的球的球面与该正方体

的棱共有个公共点；

（2）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

答案：（1）12（2）今

解析：（1）不妨设正方体棱长为2,所中点为0,取CD,2S中点G,M,侧面BB1GC的中心N,连接FG,

EG,0M,ON,MN,如图，由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=JFG2+EG2=JZ2+22=2V2,即R=

V2,则球心。到的距离为。M=JON?+MN2=/2+12=e,所以球。与棱881相切，球面与棱8田只有1

个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以为直径的球与每一条棱都相

切，所以共有12个公共点.

EB

（2）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球。如图所示，设内切球的半径为R,则sin

所以0P=3R,所以PE=4R=JPB2~BE2=J32-12=2V2,所以R=乎，所以内切球的体

积丫即该圆锥内半径最大的球的体积为多.

E训练

1.如图，已知球。是棱长为1的正方体48co-A向GA的内切球，则平面ACA截球。的截面面积为（）

解析：C平面AC。截球。的截面为AACDi的内切圆，：正方体棱长为1,.•.AC=Cr>i=A5=VI..,.内切圆半

径r=tan30°-AE—^-X—S—nr2—nX---,故选C.

32666

A么C

2.已知三棱锥P-ABC中，E4,底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,则该三棱锥的内切球的体积

为.

兹塞­—

口木.81

解析：因为AC=4,BC=3,AB=5,所以AC2+8C2=AB2,所以△ABC为直角三角形.因为PA_L底面ABC,所以

PALAC,PALAB,PA±BC,所以PC=[242+402=5.因为BC_LPA,BCLAC,PADAC^A,所以BC_L平面

PAC,所以BC_LPC.所以三棱锥尸-ABC的表面积S=ix4X3+|x4X3+1x5X3+|x5X3=27,且三棱锥P-ABC

的体积"ABC=[W><4X3X3=6.设三棱锥尸-ABC的内切球的半径为R,则由心.=翔?=9尺=6,解得R=g,

所以三棱锥P-ABC的内切球的体积丫=驾?3=如义（^）332JT

333=81

与球切、接有关的最值问题

【例3】（1）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的

体积最大时，其高为（）

A.iB.i

32

C.-

32

（2）在正方体ABCD-AiBiG。中，AB=4,。为AG的中点，若该正方体的棱与球。的球面有公共点，则球。的

半径的取值范围是.

答案：(1)C(2)[2A/2,2V3]

解析：（1）法一（特殊法）不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为。，底面正方形外接圆的半径为r,则r=

争，四棱锥的高1,所以四棱锥的体积1—三=寿.?0—9）甘丁十二‘一青

N」

=绊，当且仅当£=i—即层W时等号成立，此时四棱锥的高人1一：=白岩,故选C.

27423\2N33

法二（导数法）设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为广，四棱锥的高为〃，则，+〃2=1,r=

Jl-h2,正方形的边长为企厂=/Jl-h2,所以四棱锥的体积V=：S〃=|（1一*）//=|（—/z3+/z）.令于（h）=

一层+/7（0</z<l）,则了⑺=-3/I2+1,令f（h）=-3/I2+1=0,得//=?,所以/（%）在（0,空）上单调递

增，在（4，1）上单调递减，所以当〃=当时，/（〃）取得最大值，所以当四棱锥的体积最大时，其高为日，故选

C.

法三（转化法）该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为〃（0<

h<l）,底面半径为r,则圆锥的体积丫=//%=171（1—力2）%则V，=]（1—3/z2）,令—=）（1—3/z2）=0,

得〃=苧，所以丫=》（If）川在（0,当上单调递增，在g,1）上单调递减，所以当仁争出，四棱锥的体积

最大，故选C.

（2）当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含

正方体，导致球面和棱没有交点，设正方体的外接球直径为2R,则2R=AG=j42+42+42=4g,即R=2遍.分

别取侧棱A4i,BBi,CCi,的中点M,H,G,N,显然四边形仞VG"是边长为4的正方形，且。为正方形

MNGH的对角线交点，连接MG,则MG=4&,当球的一个大圆恰好是四边形MNG8的外接圆时，球的半径最

小，即夕=2近.综上，球。半径的取值范围为［2/，2V3J.

.、

G训练

1.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9次，则三棱锥。-ABC

体积的最大值为（）

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

解析：B由等边△ABC的面积为9次，可得当序=9百，所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=

争48=271设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=Jn2~r2=J16—12=2.所以三

棱锥。-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-A8C体积的最大值为:X9gX6=18W.

2.在封闭的直三棱柱A8C-4B1C1内有一个体积为V的球.若A8LBC,AB=6,8c=8,AAi=3,则丫的最大值

是.

冬案.史

I—I•2

解析：易知AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,则（X6X8=：X（6+8+10）-r,所以r=2.因为2r=4>3,所

以球的最大直径2R=3,即氏=三，此时球的体积V=MR3=空.

232

A级•基础达标

L正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）

A.V3B.3V3

1

C.3D.-

3

解析：C设正方体的外接球的半径为几内切球的半径为广，棱长为1,则正方体的外接球的直径为正方体的体

对角线长，即2R=百，所以R=*正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r=1,即所以£=遮，正方

体的外接球与内切球的表面积之比为誓=与=3.

4nrzrz

2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

A.TtB.—

4

C.-D.-

24

解析：B如图，画出圆柱的轴截面A8CO,。为球心.球半径/?=。4=1,球心到底面圆的距离为OM=1.，底面

圆半径r=l0A2—0M2=—,故圆柱体积丫=兀户〃=兀•（立）2X1=—.

\224

3.已知各顶点都在一个球面上的正)四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为（

A.1671B.20兀

C.24KD.32兀

=

解析：A如图所示，在正四棱锥尸-ABCD中，01为底面对角线的交点，。为外接球的球心.VS正方衫

ABCDX3=6,所以S正方形ABCD=6,即.因为0C=?而不后=旧.设正四棱锥外接球的半径为R,贝［0C=R,

001=3-7?,所以（3-R）2+（V3）2=炉，解得R=2,所以外接球的表面积为4兀X22=16兀.

4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的樨卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其

上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。榨卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形

的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保

留兀）（）

A.96TIB.84n

C.42兀D.16兀

解析：B若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即

2Z?=J82+（2+2）2+22=2>/21,所以尺=低，球形容器的表面积5=4兀肥=84兀.故选B.

5.（多选）已知球。的半径为当，则下列结论正确的是（）

A.球O的表面积为6兀

B.球0的内接正方体的棱长为1

C.球0的外切正方体的棱长为:

D.球。的内接正四面体的棱长为2

解析：AD球的表面积为47tx（―）2=4KX-=67T,A正确.正方体的体对角线长为2><渔=棱长为坐=夜，

242V3

B错误.球的外切正方体的棱长为24=瓜C错误.将正四面体A-SCQ1补形为正方体如图所示，正方体的体对

角线长为2%手=限棱长为雾=企，所以正四面体的棱长为/义鱼=2,D正确.故选A、D.

2V3

6.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半

球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则半球的说法正确的是（）

A.半径是3B.体积为18兀

C.表面积为27兀D.表面积为18兀

解析：ABC如图，APAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r,AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为

V2r,棱锥体积为V=|x（V2r）2Xr=|r3=18,r=3,半球体积为V=|7tr3=|7tX33=187t,表面积为5=2兀X3?+

7tX32=277i,故选A、B、C.

p

7.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=1,SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的半径是.

解析：如图所示，将三棱锥补为长方体，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R则

(2A)2=12+22+2』9,，4R2=9,R=*即三棱锥S-ABC的外接球的半径是|.

8.已知正三棱台ABC-AiSG的上、下底面面积分别为纱，9V3,若AAi=同，求该正三棱台的外接球的表面积.

4

解：若正三角形的边长为0,则其面积为：XaXaX在=£2,

224

结合题意，可得A3=3,A[B\=6.

如图，取△A3C,△481G外接圆的圆心0,。2,正三棱台ABGA1B1G外接球的球心01,

B

连接04,002,OiA,014,O2AI,设点A在底面上的射影为连接AM,

易知M在02Al上，OA=(hM=W,O2AI=2V3,贝！]MAI=遮，

由可得002=MA=^AA^MAl=36.

设正三棱台外接球的半径为R,则。3=。14=凡

(R2=0A2+00?=3+00?,(R=V15,

可得2解得L

2

R^02Al+020l=12+(38一。。1),(。。1=2百，

所以该正三棱台的外接球的表面积S=4兀叱=60兀.

B级•综合应用

9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与

圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球

的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是()

A.体积之比|B.体积之比|

C.表面积之比gD.表面积之比2

解析：A设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R高为2R,.•“四槎=成2*2/?=2比3,y球=i31H..•.①

3v球JR3

=-；S®栏=2兀RX2R+2X7tR2=6兀居，$球=4兀叱....迦=塔=三，故选A.

2S球4nRN2

10.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为詈，两个圆锥的高之比为1：3,则这两

个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4兀

C.9TID.1271

解析：B如图所示，由球的体积为等，可得该球的半径R=2,由题意得，两个圆锥的高OS,0P分别为1和

3,为球。的直径，.•.△PAS为直角三角形，又...可得截面圆半径04=百，.•.这两个圆锥的体

积之和为V=\-（V3）2.（3+1）=4兀，故选B.

11.已知A,B,C为球。的球面上的三个点，OOi为△ABC的外接圆.若OOi的面积为4兀，AB=BC=AC=OOi，

则球。的表面积为（）

A.64KB.48K

C.36兀D.32兀

解析：A如图所示，设球。的半径为七。01的半径为「，因为。。的面积为4兀，所以4兀=兀己解得厂=2,又

1

AB=BC=AC=OO\,所以-三=2r,解得45=2次，故0。1=2e，所以尺2=。。工+户=（2V3）2+22=16,所

sm60°x

以球0的表面积S=4做2=64兀.故选A.

12.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为8一1,则下列说法中正

确的是（）

A.正方体的外接球的表面积为12兀

B.正方体的内切球的体积为日

C.正方体的棱长为2

D.线段MN的最大值为2百

解析：ABC设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即内切球的半径为棱长的

一半，即N分别为外接球和内切球上的动点，.•.知咐产不一,与匕=百T,解得。=2,即正方体的

棱长为2,...正方体外接球的表面积为47tx（迎）2=12兀，内切球体积为詈，则A、B、C正确；线段MN的最大

值为百+1,则D错误.

13.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的

体积为［底面周长为3,则这个球的体积为.

O

兹空.空

1—4,3

解析：设正六棱柱底面边长为“，正六棱柱的高为九球的半径为七则a=；,底面积为S=6xfx（i）2=孚，

2428

V柱=S7z=迪解得力=w，.*.7?2=（―）2+（-）2=1,R=l,球的体积为丫=如.

88223

14.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为与，当该圆锥体积取最小值时，求该圆锥的表