2024-2025学年北师大版九年级数学上册 特殊平行四边形 单元综合测试卷（含答案）

第1章特殊平行四边形（单元培优卷北师大版）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题:共10题，每题3分，共30分。

1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.邻边相等B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形

2.已知是的对角线，要判定口ABCD为矩形，可添加的一个条件是（）.

A.AC=BDB.AB=BCC.AC±BDD.AB=CD

3.菱形ABCD的两条对角线长分别为4和6,则菱形ABCD的面积为（）

A.12B.18C.24D.30

4.如图，在矩形中,对角线AC,交于点O,若。4=3,则的长为（）

A.3B.6C.2V3D.373

5.如图，四边形4BCD是正方形，是对角线，以8c为边，在正方形的内部作等边三角形BCE,则

4DBE为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

6.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设AAED,4ABE,

△ACD的面积分别为S,&,S2,若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.△4BE的面积B.A4CD的面积C.△4BC的面积D.矩形BCDE的面积

7.下列说法正确的有（）

①一组对边平行的四边形是平行四边形;②有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;

•1•

③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;④两条对角线互相垂直的矩形是正方形;⑤三个角相

等的四边形是矩形;⑥对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;⑦无理数就是开方开不尽的数;⑧无

限小数是无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.如图，矩形4BCD的两条对角线相交于点O,CE//BD,DE〃AC,若AD=6,48=8,则四边形

CODE的面积是（）

A.24B.14C.48D.25

9.如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点人顺时针旋转45°,则

这两个正方形重叠部分的面积是（）

A.B.率C.1-乎D.V2-1

/JO

10.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点，则ON+的最小值

为（）

二、填空题:共6题，每题3分，共18分。

11.在矩形ABCD中,对角线AC、8。相交于点。，若人。=6,则OD的长度为

12.菱形ABCD的对角线入。与AD相交于点。，若人。=4,口。=8,则菱形的面积为

13.如图，四边形4BCD是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是

14.如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点、E、F分别在边AB.CD1.,将纸带沿班折叠，点人、。的对

•2•

应点分别为H、D，若N2=34°,则Z1的度数为

15.如图，依次连接第一个矩形各边上的中点,得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个

矩形,按照此方法继续下去苏，已知第一个-矩形的右面积是1,则f第n个询矩形的面一积是___….…

16.如图，菱形48co的对角线AC,AD相交于点O,过点。作OH,AB于点连接。H,若。4=

5,OH=3,则菱形ABCD的面积为.

三、解答题:共9题，共72分,其中第1778题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分,

第22-23题每小题10分，第24-25题每小题12分。

17.（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、相交于点O,AC=2BO,且BD为/ABC的

平分线，求证:平行四边形ABCD为正方形.

18.（4分）如图，四边形4BCD是矩形，AE〃m，交CB的延长线于点E,CFV/BD,交4B的延长线于

点连接班.

求证：四边形AEFC是菱形.

•3•

19.（6分）如图，在四边形4BCD中，4D〃8C,/BCD=90°,AB=AC,AE平分/A4c交8。于点

E.

（1）求证：四边形AECD是矩形；

⑵连接座,若Z.CAE=30°,AE=K,则Z2E的长为

20.（6分）如图,在菱形ABCD中，对角线人C,BD相交于点O,延长CB到点E,使得BE=BC.连接

AE.过点口作班V/AC,交4E于点尸，连接QF.

⑴求证：四边形AFBO是矩形；

（2）若NE=30°,B尸=1,求。尸的长.

21.（8分）如图，四边形4BCD是平行四边形，对角线AC,8。相交于点O,且/I=N2.

⑴求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若乙406=60°,AB=6,求四边形ABCD的面积.

-4■

22.（10分）如图，矩形AEBO的对角线AB,OE交于点尸，延长40到点C,使OC=。4,延长到点

。，使00=03,连接AD,DC,8C.

⑴求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若OE=20,乙BCD=60°,求菱形ABCD的面积.

23.（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片,把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折

痕为AF，且AB=5cm,AD=4cm，DE=3cm.

（1）求证：四边形ABCD是矩形;

⑵求的长.

•5•

24.(12分)如图，在四边形ABCD中，4D〃BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点人向。以1cm人的

速度运动，到。点即停止.点Q自点。向B以2cm入的速度运动，到B点即停止，点P,Q同时出

发，设运动时间为土(s).

(1)用含t的代数式表示：AP

(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？

⑶当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

25.(12分)如图，矩形的对角线AC,口。相交于点。，将ACOO沿CD所在直线折叠，得到

ACED.

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若8。=3,乙4co=30°,P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么产E+PQ的最小值是多

少？

-6-

第1章特殊平行四边形（单元培优卷北师大版）

考试时间：120分钟，满分：120分

、选择题:共10题,每题3分，共30分。

1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.邻边相等B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形

【答案】人

【详解】解：菱形的四条边都相等，而矩形的邻边不一定相等，

故选：A.

2.已知是的对角线,要判定OABCD为矩形，可添加的一个条件是（）.

A.AC=BDB.AB=BCC.AC±BDD.AB=CD

【答案】A

【详解】解：•.•四边形ABC©是平行四边形，

/.四边形ABCD是矩形，

故选：A.

3.菱形ABCD的两条对角线长分别为4和6,则菱形的面积为（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】A

【详解】解：：菱形ABCD的两条对角线长分别为4和6,

/.菱形ABCD的面积为：［x4x6=12,

故选：A.

4.如图，在矩形中,对角线AC,BD交于点O,若。4=3,则的长为（）

A.3B.6C.2V3D.3V3

【答案】B

【详解】解：：在矩形ABCD中，对南线AC,BD交于点O,

/.AO=CO=^-AC,AC=BD,

・・•OA=3,

：.BD=AC=2OA=2x3=6.

故选：B.

5.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，以BC为边，在正方形的内部作等边三角形8CE,则

/DBE为（）

•1•

A.10°B,15°C.20°D.30°

【答案】8

【详解】解：•.•四边形ABC©是正方形，BD是对南线，

/.ZCBL>=yX90°=45°,

△BCE是正三角形，

/.NCBE=60°,

ZDBE=60°-45°=15°,

故选：B.

6.如图，以钝角三角形ABC的最长边为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设AAED,AABE,

△ACD的面积分别为S,&,S2,若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.ZVIBE的面积B.△AC©的面积C.ZVIBC的面积D.矩形BCDE的面积

【答案】。

【详解】解:过点人作FG〃反7,交的延长线于点尸，。C的延长线于点G,

\•矩形BCDE,

：.BC±BE,BC±CD,BE=CD,

：.FG±BE,FG±CD,

：.四边形8斤GC为矩形，

/.FG=BC,AF±BE,AG±CD,

：.&=三BE-AF,S2=^CD-AG,

ED

•••昂+S2=^-BE{AF+AG)=±BE-BC=^SWCDE,

又S=S^ABC+S矩形BCDE-SI-S2=S2ABC+《S矩形BCDE，

•e•S-Si-S2=SMBC+矩形BCDES矩形BCDE=S^BC，

・•・只需要知道△ABC的面积即可求出S—Si—S2的值;

故选

7.下列说法正确的有（）

•2•

①一组对边平行的四边形是平行四边形;②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;④两条对角线互相垂直的矩形是正方形;⑤三个角相

等的四边形是矩形;⑥对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;⑦无理数就是开方开不尽的数;⑧无

限小数是无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【详解】解:①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误；

②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法错误；

③一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，原说法正确；

④两条对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；

⑤四个角相等的四边形是矩形，原说法错误；

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误；

⑦开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；

⑧无限不循环小数是无理数，原说法错误；

故选：A.

8.如图，矩形48co的两条对角线相交于点O,CE//BD,DE〃AC,若AD=6,AB=8,则四边形

CODE的面积是（）

A.24B.14C.48D.25

【答案】A

【详解】解：•.•CE〃_BD,JDE〃AC,

/.四边形。OCE是平行四边形，

•.•四边形ABCD是矩形，

:.OD=OC=OB=OA,

：.四边形0OCE是菱形，

：.DE=DO,

连接OE,则£

•：DE=AO,DE//AO,

四边形ADEO是平行四边形，

/.AD=OE=6,A

/.四边形DOCE的面积为：：x8x6=24.

故选：A

9.如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45。,则

这两个正方形重叠部分的面积是（）

•3・

A.JB.率C.1-乎D.V2-1

【答案】。

【详解】：绕顶点A顺时针旋转45°,

/.ZDrCE=45°,

CD'=D'E,

•：ED'_LAC,

/.NCD'E=90°,

•/AC=V12+12=V2,

/.CDr=V2-l,

正方形重叠部分的面积是2x1x1—：x(2T)(四-1)=2—L

故选：D

10.如图，正方形4BCD的边长为8,河在。。上，且DM=2,N是47上一动点，则。N+AW的最小值

为（）

【答案】。

【详解】解:如图，连接BN,BD,BM,BM交AC于点、E,

4BCD是正方形，则人。、8。互相垂直平分，

：.ND=NB,

当点N与点E不重合时，4NBM中NB+NM>BM,

当点、N与点、E重合晌，NB+NM=BM,

：.NB+NM>BM,即DN+MN的最小值为BM,

ABCD是正方形，则BC=CD=8,乙BCD=90°,

/.CM=CD-DM=8-2=6,

：.BM=y/BCf+CM^=10,

.♦.DV+MN的最小值为10,

故选：C.

二、填空麟共6题，每题3分，共18分。

-4■

11.在矩形ABCD中,对角线AC、相交于点。，若AC=6,则OD的长度为.

【答案】3

【详解】解：•.•四边形4BCD是矩形，

：.BD=AC=6,

：.OD=^-BD=3.

故答案为：3.

12.菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点。，若AC=4,BD=8,则菱形的面积为

【答案】16

【详解】解：菱形面积为9x4x8=16;

故答案为：16.

13.如图，四边形ABCD是平行四边形,使它成为菱形的条件可以是.

【答案】AB=40（答案不唯一）

【详解】解:根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，

/.当=AD时，平行四边形ABC©是菱形；

故答案为：AB=40（答案不唯一）.

14.如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、尸分别在边AB.CD1.,将纸带沿EF折叠，点A、。的对

应点分别为4、。,若N2=34°，则Z1的度数为.

【答案】73773度

【详解】解：由折叠的性质得：ZAEF=ZA'EF,

•/Z2=34°,

ZAEF=18。；/2=73。,

四边形48。。是矩形，

：.AB//CD,

：.Z1=ZAEF=73°.

故答案为：73°

15.如图，依次连接第一个矩形各边上的中点,得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个

矩形,按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1,则第八个矩形的面积是.

HGF碍二

•5・

【答案】田"1

【详解】已知第一个矩形的面积是1,

第二个矩形的面积为1xL

4

第三个矩形的面积是1x田,

则第ri个矩形的面积是1x（［■）"1

故答案为：（十『.

16.如图，菱形4BCD的对角线AC,8。相交于点O,过点。作DHL于点连接OH,若。4=

5,OH=3,则菱形A8CD的面积为.

【答案】30

【详解】解：；四边形是菱形，

：.OA=OC=5,OB=OD,ACYBD,

：.AC=10,

•：DH_LAB,

・・.ZBHD=90°,

•・・OH是斜边上的中线，

：.BD=2OH=2X3=6,

：.菱形ABCD的面积=-^-AC-BD=/x10x6=30,

故答案为：30.

三、解答题:共9题，共72分,其中第1778题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分,

第22-23题每小题10分，第24-25题每小题12分。

17.（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,4。=2BO,且BD为/ABC的

平分线，求证:平行四边形ABCD为正方形.

【答案】详见解析

【详解】证明：•.•四边形4BCD为平行四边行,

AB//CD,AC=2AO=2CO,

：.ZABD=ACDB,

・・・AC=2BO,

•6・

/.AO=BO=CO,

：.ABAO=AABO,ABCO=乙OBC,

：.ZABC=AABO+ZOBC=y(ZABO+ZOBC+NBAO+NBCO)=yx180°=90°,

...平行四边形ABCD为矩形，

•.•口。为乙4口。的平分线，

/.AABD=ADBC,

：.ACDB=ADBC,

：.BC=CD,

：.平行四边形ABCD为正方形

18.(4分)如图，四边形ABCD是矩形,AE"BD,交CB的延长线于点E,CFUBD,交AB的延长线于

点斤，连接EF.

求证：四边形AEFC是菱形.

【答案】见详解

【详解】证明：：四边形ABCD是矩形

/.AD//BC,AB〃DC,AC=BD,/ABC=90°

/.AD//EB,BF//DC

AE//BD,CF//BD

：.四边形AEBD,四边形AFW都是平行四边形

AEIIBD,AE=BD,BD//FC,BD=FC

：.AE//FC,AE=FC

：.四边形4EFC是平行四边形

VZABC=90°

/.四边形4EFC是菱形.

19.（6分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,/BCD=90°,AB=AC,AE平分NR4C交于点

E.

(1)求证：四边形AECD是矩形；

⑵连接DE,若ACAE=30°,AE=心,则DE的长为

•7•

【答案】（1）见解析

（2）2

【详解】⑴证明：・・・AB=AC,AE平分/8AC,

：.AE±BC,

•・•/BCD=90°,

・・・DC.LBCf

：.AE//DC,

・・・AD//BC,

・・・四边形AECD是平行四边形,

又丁/BCD=90°,

・・・平行四边形AECD是矩形；

⑵解:如图，

・・・平行四边形AECD是矩形；

：.DE=AC,

又・・・ACAE=30°,

：.CE=^AC,

在Rt/XAEC中，AC2-EC2=AE2,即AC2-（1/。了=3,

解得：AC=2或？1。=—2（舍去），

/.DE=2.

20.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线/C,BD相交于点O,延长CB到点E,使得BE=BC.连接

AE.过点B作8斤〃47,交AE于点尸，连接QF.

（1）求证：四边形AFBO是矩形；

（2）若NE=30°,B尸=1,求OF的长.

【答案】（1）证明过程见详解

（2）2

【详解】（1）证明：•.,四边形ABCD是菱形,

/.AD//BC,AC±BD,AD=BC,

•：BE=BC,

AD=BE,

•8•

・・・四边形AEBD是平行四边形,

：.AE//BD.

•：BF//AC,

・・・四边形AFBO是平行四边形.

・.・AC±BD,AE//BD,

：.AE±AC,

：.AOAF=90°,

：.平行四边形AFBO是矩形.

（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，

・・.AAFB=9Q°9OF=AB,

・・・/BFE=90°.

又;ZE=30°,BF=l,

：.BE=2BF=2.

在Rt/\AEC中,BE=BC,

：.AB=BE=2,

：.OF=2.

21.（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,且Nl=N2.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若乙408=60°,48=6,求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）见解析

（2）3673

【详解】（1）证明：..•四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC=yAC°,08=0。=（平行四边形的对角线互相平分）

VZ1=Z2,

.•.OB=OC（等角对等边），

/.OA=OB=OC=OD即AC=BD,

.•.□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；

（2）解：•.•04=05°,ZAOB=600°,

••.△AOB是等边三角形（有一个角是60。。的等腰三角形是等边三角形），

/.AB=OA=OB=6,

：.47=12,

•/DABCD是矩形，

/.ZABC=90°,（矩形的四个角都是直南）

在Rt/\ABC中AC=12,AB=Q,

：.BC=YAC。2-AB。2=J12。2—6。'=6V3,

•9•

S矩形ABCD=6x6A/3=36V3.

22.（10分）如图，矩形AEBO的对角线AB,OE交于点尸，延长AO到点。，使OC=04,延长BO到点

。，使。。=08,连接AD,DC,BC.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若OE=20,=60°,求菱形ABCD的面积.

【答案】（1）证明见解析；

（2）20073.

【详解】（1）证明：：CO=40,00=60,

..四边形ABCD是平行四边形，•.•四边形AE8O是矩形，

/.ZAOB=90°,

：.BD±AC,

..四边形ABCD是菱形；

（2）解：：四边形AEBO是矩形，

/.AB=OE=20,

•.•四边形ABC©是菱形，ZBCE>=60°,

/.ABCO=30°,AB=BC=20,AAOB=90°,

,OB=：BC=]x20=10,

在Rt/^OC中，由勾股定理得：OC=y/BCi-OB2=V202-102=IOA/3,

/.BD=2OB=2x10=20,AC=2OC=2x10V3=20V3,

S^}ABCD=^AC-BD=^-x20x20V3^=20073^.

23.（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处,折

痕为AF,且AB-5cm,AD—4cm,DE—3cm.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

⑵求B尸的长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）2.5cm.

【详解】（1）证明：由折叠可知：AE=AB=5cm,

•10•

AD=4cm,DE=3cm,

：.AD1+DE-=AE2,

：.△ARE是直角三角形，且NO=90°.

又四边形ABCD是平行四边形，

/.平行四边形ABCD是矩形.

(2)解：由⑴得平行四边形ABCD是矩形，

AB=CD=5cm,AD=BC=4cm,90°,

又DE=3cm,

EC=CD—DE=5—3=2(cm),

设BF=a;c?n,则EF=BF=xcm,FC=BC—BF=(4—x)cm,

在Rt/\EFC中，由勾股定理得：EC2+FC2=EF2,

22+(4-x)2=x2,

解得①