人教版初中数学同步讲义练习-9下第01讲 图形的相似（解析版）

第01讲图形的相似学习目标①相似图形的相关概念②成比例线段③平行线分线段成比例掌握相似图形的概念已经相似图形的相关概念，并能够熟练判定相似图形。掌握成比例线段的特征，并能够熟练应用其计算。掌握平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其求线段长度。知识点01相似图形相似图形的概念：我们把形状相同的图形称为相似图形。或若两个多边形的边数相同，角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形是相似多边形。相等的角是对应角，成比例的边是对应边。相似多边形的性质：①对应角相等，对应边的比相等，对应边的比是相似图形的相似比。②相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。题型考点：①判断图像是相似多边形。②根据相似多边形的性质求值【即学即练1】1．下列各组图形中，不相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；C、形状不同，不符合相似定义，故此选项符合题意；D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意．故选：C．【即学即练2】2．下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形【解答】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意；C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意；故选：D．【即学即练3】3．四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝70°，∠B′＝108°，∠C′＝92°，则∠D＝90度．【解答】解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′四边形ABCD的内角和是360°，因而∠D＝360°﹣70°﹣108°﹣92°＝90°．【即学即练4】4．如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故α＝83°，β＝81°，x＝28．【即学即练5】5．已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和23cm，它们的周长差40cm，则其中较大多边形的周长是115cm．【解答】解：∵一组对应边分别是15cm和23cm，∴相似比k＝，设两多边形的周长分别是15x，23x，根据题意，得23x﹣15x＝40，解得x＝5，∴较大多边形的周长是23×5＝115cm．【即学即练6】6．若两个相似多边形的面积比为25：36，则它们的对应边的比是（）A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25：36，∴对应边的比为5：6，故选：A．知识点02成比例线段比例线段的概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。在判断线段是否成比例线段时，将线段从小到大排列，若前面两条线段的比值等于后面两条线段的比值，则这四条线段就是比例线段。题型考点：①判断线段够不够成比例线段。②根据比例线段的性质求值。【即学即练1】7．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8【解答】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；B、2×5≠3×4，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；C、2×6＝3×4，故此选项中四条线段成比例，符合题意；D、2×8≠4×6，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，故选：C．【即学即练2】8．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（）A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm【解答】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，即a：3＝6：9，∴a＝2（cm）．故选：B．【即学即练3】9．已知2，a，4，b是一组成比例线段，则下列结论正确的是（）A．a＝4b B．b＝4a C．a＝2b D．b＝2a【解答】解：∵2，a，4，b是一组成比例线段，∴2：a＝4：b，∴4a＝2b，即b＝2a．故选：D．【即学即练4】10．若线段a，b，c满足，且a＝2，c＝8，则b的值为（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：∵，a＝2，c＝8，∴b2＝ac＝2×8＝16，∵b＞0，∴b＝4，故选：A．知识点03平行线分线段成比例平分线分线段成比例的内容：如图，若两条线段被一组平行线所截，所得到的线段对应成比例。即：；，等...推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。题型考点：①判定平行线分线段成比例的性质；②根据平行线分线段成比例以及其推论求值。【即学即练1】11．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、AB∥CD∥EF，则＝，所以A选项错误；B、AB∥CD∥EF，则＝，所以B选项错误；C、AB∥CD∥EF，则＝，所以＝，所以C选项正确；D、AB∥CD∥EF，则＝，所以＝，所以D选项错误．故选：C．【即学即练2】12．如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A错误；＝，B错误；≠，C错误；＝，D正确．故选：D．【即学即练3】13．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∴＝，∴BE＝10，∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，故答案为：4．【即学即练4】14．如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么CE的值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴CE＝4，故选：A．【即学即练5】15．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．4.5【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：D．题型01相似图形的判断【典例1】下列和右图相似的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误；D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误．故选：A．【典例2】下列图形中，是相似形的是（）A．所有平行四边形 B．所有矩形 C．所有菱形 D．所有正方形【解答】解：A、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．故选：D．【典例3】下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选：D．题型02相似多边形的性质【典例1】一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为66．【解答】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，∴两个相似多边形的相似比＝＝，∴＝，解得c＝66．故答案为：66．【典例2】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为ycm的纸条、上下同时剪去宽为xcm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（）A．x＝y B．3x＝5y C．5x＝3y D．4x＝3y【解答】解：∵剩下的矩形与原来的矩形相似，∴＝，整理得：30y＝40x，则4x＝3y．故选：D．【典例3】如图，一个矩形ABCD的长AD＝acm，宽AB＝bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，则a：b的值是．【解答】解：∵新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，∴＝，即＝，解得，a：b＝，故答案为：．【典例4】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α＝∠B＝83°，∠D＝∠H＝118°，∠β＝360°﹣（83°+78°+118°）＝81°，EH：AD＝HG：DC，∴＝，∴EH＝28（cm）．答：∠α＝83°，∠β＝81°，EH＝28cm．题型03比例线段的判断【典例1】下列各组线段的长度成比例的是（）A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm【解答】解：A、∵0.3×0.9≠0.6×0.5，故此选项不符合题意；B、∵20×90＝30×60，故此选项符合题意；C、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；D、∵2×5≠3×4，故此选项不符合题意．故选：B．【典例2】a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（）A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm【解答】解：A、2×10≠5×5，这四条线段不成比例；B、3×10＝6×5，这四条线段成比例；C、30×0.8≠2×2，这四条线段不成比例；D、0.02×7≠0.3×5，这四条线段不成比例；故选：B．【典例3】下面四组线段中，成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；B、1×4＝2×2，故选项正确；C、4×10≠5×6，故选项错误；D、×3≠×，故选项错误．故选：B．【典例4】下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．2，3，4，5 B．1，3，4，10 C．2，3，4，6 D．1，5，3，12【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴2，3，4，5不能成比例线段，故不符合题意；B、∵1×10≠3×4，∴1，3，4，10不能成比例线段，故不符合题意；C、∵2:3＝4:6，∴2，3，4，6成比例线段，故符合题意；D、∵1×12≠3×5，∴1，5，3，12不能成比例线段，故不符合题意；故选：C．题型04根据比例线段求值【典例1】已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则d的值是（）A．6 B．4 C．8 D．10【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，∴a：b＝c：d，∴d＝＝＝4．故选：B．【典例2】已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本选项错误，不符合题意；B、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本选项错误，不符合题意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本选项正确，符合题意；D、当a＝4，b＝6时，a：b＝2：3，但是＝，故本选项错误，不符合题意．故选：C．题型05平行线分线段成比例求线段【典例1】如图，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，则AE的长是（）A．3 B．4 C．6 D．10【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝3．故选：A．【典例2】如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，AE＝7，则的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC＝3，AE＝7，∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4，∴．故选：A．【典例3】如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，∴，解得DE＝．故选：B．【典例4】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝6cm，则线段AC的长是（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，∴＝＝，即＝，解得：AB＝3，∴AC＝3+6＝9（cm）．故选：C．1．任意下列两个图形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形【解答】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；故选：C．2．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，6 D．1，3，4，7【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；B、2×5≠4×3，所以B选项不符合题意；C、1×6＝2×3，所以C选项符合题意；D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意．故选：C．3．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；B、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；C、由＝得，mb＝an，故本选项正确；D、由＝得，mn＝ab，故本选项错误．故选：C．4．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴相似比＝＝＝2，故选：C．5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足＝，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A． B． C． D．2【解答】解：∵点P是线段AB上一点（AP＞BP），点P是AB的黄金分割点，∴AP＝AB＝×8＝4﹣4，∴BP＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．故选：A．6．按照如下步骤进行作图：如图，已知线段AB，过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：设BD＝DE＝a，∵BD＝AB，∴AB＝2BD＝2a，∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°，∴AD＝＝＝a，∴AE＝AD﹣DE＝a﹣a＝（﹣1）a，∵AC＝AE，∴AC＝（﹣1）a，∴＝＝，故选：B．7．若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵，设a＝4k则b＝7k，则，故选：A．8．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，则∠A＝70°．【解答】解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠B＝∠B′＝108°，∠C＝∠C′＝92′四边形ABCD的内角和是360°，因而∠A＝360°﹣90°﹣108°﹣92°＝70°．故答案为：70．10．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是．【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是a，∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，∴＝，解得：a＝，即第二个矩形较长的一边长是，故答案为：．11．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，那么线段DE的长是8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∵DF＝20，∴＝＝＝，解得：DE＝8，故答案为：8．12．开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……这些开本纸都是相似的图形，则这些相似的矩形的长与宽的比值是：1．【解答】解：如图，设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，则DM＝AD＝x．∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴，即，∴x：y＝：1，∴这些相似的矩形的长与宽的比值是：1．故答案为：：1．13．求值