广东省2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

2023-2024学年度九年级上学期开学调研

数学

1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；

2.请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；

3.请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；

4.本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为120分；

5.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ascIX

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后两部分重合.

2.若冽>〃，则下列不等式正确的是（）

~-tnn

A.2-m<2-nB.am<anC.m+3<n+3D.—<-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】解：A>'/m>n,2—m<2—n,故正确，符合题意；

B、•.•/〃〉〃，.•.当时，am<an,故错误，不符合题意；

C>\9m>n,m+3>zz+3,故错误，不符合题意;

friri

D、；m>n,,故错误，不符合题意；

22

故选：A.

【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边

乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变.

3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.—6x+9=(x—3)~B.无2+2%+3=(%+1)+2

C.15x2y-3x-5xyD.2(x+y)=2x+2y

【答案】A

【解析】

【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，即为因式分解”的概念依次进行

判断即可得.

【详解】解：A、X2-6X+9=(X-3)2,是因式分解，选项说法正确，符合题意；

B、X2+2X+3=(%+1)2+2,等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符

合题意；

C、15/丁=3.5孙，等式右边是单项式乘单项式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；

D、2(x+y)=2x+2y,是整式乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解.

4.下列关于龙的方程中，一定是一元二次方程的为()

、3

A.2x2+xy=3B.x?=1C.x2H------5=0D.ax1+bx+c-O

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；

B、是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；

D、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

—2—

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一

个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

5.点？(-5,4)向右平移4个单位，再向下平移4个单位，点P的对应点尸'的坐标是()

A.(-1,8)B.(-9,8)C.(-1,0)D,(-9,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根据向右移动，横坐标加，纵坐标不变；向上移动，横坐标不变，纵坐标加，即可得到点尸的对

应点pr的坐标.

【详解】点P(-5,4)向右平移4个单位，再向下平移4个单位，

AP'的坐标为(—L0),

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标

上移加，下移减是解决问题的关键.

6.在解答“若等腰三角形的一个内角为70。，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是()

A.函数思想B.整体思想

C公理化思想D.分类讨论思想

【答案】D

【解析】

【分析】70。的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70。或40。，所以涉及的

数学思想是分类思想.

【详解】解：70。的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70。或40。，所以涉

及的数学思想是分类思想，

故选：D.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握分类的数学思想是本题的关键.

7.用配方法解一元二次方程尤2+6%—21=0时，配方正确的是()

A.(%+3)2=30B.(x+3)2=13C.(%-3)2=30D.(%-3)2=13

【答案】A

一3一

【解析】

【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上9,左边化为完全平方式，右边合并

即可得到结果.

【详解】解：21=0，

整理得：x2+6x=21>

配方得：%2+6x+9=21+9-即（x+3『=30.

故选：A.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项

移到左边，二次项系数化为1,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边

合并为一个非负常数，开方即可求出解.

8.下列四个命题中，假命题是（）

A.有三个角是直角的四边形是矩形B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

C,四条边都相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形判定方法逐项分析即可.

【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意；

B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，故不符合题意；

C.四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意；

D.对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键

是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理.

9.若关于x的分式方程一+—=1有增根，则加的值是（）

x-44-x

A.4B.1C.0D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得x=4,然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答.

—4—

【详解】二一+三型=1,

x-44-x

3-(x+m)=x-4,

・・,分式方程有增根，

x=4,

把尤=4代入x=一7—m中得:

2

解得：m=-1,

故选：D.

【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程

的增根.增根使最简公分母等于0,不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程.

10.如图，在正方形A3CD中，AB=2,且NK4E=45°.则以下结论：①平分NEED；

@BE+DF=EF；③4石。厂的周长为4；④的面积等于正方形A3CD的面积的一半.其中正

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】将△AD尸绕点A顺时针旋转90。得，ABM，然后证明,.M4E丝,一£4£,再逐一判断即可.

【详解】如图，将△">/绕点A顺时针旋转90。得到ABM.

—5—

根据旋转的性质，得川0=AF，BM=DF,ZMAB=ZDAF，ZAMB=ZAFD，ZMAF=9Q°.

①：NEAF=45。,

：.ZMAE=ZMAF-ZEAF=90°-45°=45°.

/.ZMAE=ZEAF.

在,JWAE和二E4E中，

AE=AE

<ZMAE=ZFAE

AM=AF

:"MAEAFAE,

：.ZAFE=ZAMB.

ZAFE=ZAFD.

；.AF平分NEFD.

故①正确.

②•:MAE^.FAE,

：.EF=EM=BE+BM=BE+DF,

故②正确.

@C£F,rCFr=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+DC=2+2=4.

故③正确.

@VMAE^FAE,

根据旋转有：ADF^ABM,

=

,,SAEFS—S+SABEVS+SABE+ECF•

••SAEF+SAEF<SADF+SABE+SECF+SAEF=S正方形，

•・s.<万s正方形，

故④错误.

—6—

综上所述，①②③正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，解题的关

键是根据旋转的性质绘制辅助线.

二、填空题(5小题，每小题3分，共15分)

11.一元二次方程2尤2一4%-3=0的一次项系数是.

【答案】-4

【解析】

【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c^0b,c是常数且awO),在一般形式中法

叫一次项，系数是6,可直接得到答案.

【详解】解：一元二次方程2/一4x—3=0，

•一次项是Tx,

•••一次项系数是-4，

故答案为：-4.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握确定一次项系数，需要注意符号问题.

12.如图，菱形A3CD的周长是8cm,A3的长是cm.

【解析】

【分析】根据菱形的四条边都相等即可得到答案.

【详解】解：•••菱形ABCD的周长是8cm,

AB=BC=CD=DA=—x8=2(cm),

故答案为：2

【点睛】此题考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等是解题的关键.

13.如果分式的值为0,那么无的值是.

%-2

【答案】-2

【解析】

—7—

【分析】当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零.

【详解】解：由题意得：

2-1x1=0

'x-2w0，解得：x=—2

故答案为：-2

【点睛】本题考查分式为零条件.注意要考虑分母不为零.

14.一个正多边形的内角和为720，则这个多边形的边数为

【答案】6

【解析】

【分析】本题主要考查多边形的内角和公式.掌握“边形的内角和为(〃-2)x180。即可解题.

【详解】解：根据多边形的内角和公式得出：(〃—2)xl80°=720。

解得：n=6-

故答案为：6.

15.如图，已知一次函数>=履+匕的图象经过点A(-1,2)和点8(-2,0),一次函数丁=如的图象经过点

A,则关于x的不等式组+的解集.

【解析】

【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数>=丘+6的函数值小于函数y=7加的函数值对应的自变量

的范围即可.

【详解】解：由图象可知，当x>—2时，y=kx+b>0；

当x<-l时，kx+b<twc,

所以不等式组0<自+6〈初x的解集为一2a<—1.

故答案为：—2<x<—1.

—8—

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数>=履+6的值大

于（或小于）。的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线，=履+，在x轴上（或下）

方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，17、18题每题7分，共24分.）

3x-2>x+2

16.（1）解不等式组：<4x—4

--------<x

[3

（2）解一元二次方程：了2一2%—15=0

【答案】（1）2Vx<4,（2）占=-3,%=5

【解析】

【分析】本题考查解不等式组和解一元二次方程.

（1）分别求出不等式组中短一个不等式的解集，再根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小

小无处找”确定出不等式组的解集即可；

（2）用因式分解法求解即可.

3x-2>x+2①

【详解】解：⑴\4x-4_

-------<x②

I3

解①得：尤>2,

解②得：*<4,

2<x<4；

（2）龙2—2%—15=0

（x-5）（x+3）=0

x+3=0或％-5=0

・・F=-3,X?=5.

*/1,什木卡/士1—4x+4x2—2x甘十,I

17.先化间，再求值：1+-------------+---------，其中％=

2xx27

X1

【答案】.

214

【解析】

【分析】先计算分式的乘法，然后通分，对分式进行化简，最后把％=工代入，即可.

7

—9—

2

，、小花刀、AT71~4x+4X—2x

【详角军】W：1+--------------+——-一

2xx2

2xx(x-2)

2+x—2

-2

x

=一,

2

,11

当％=一时，

7

•'•原式=—.

14

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除法运算，分式的混合运算.

18.如图，矩形A3CD的对角线AC,8。相交于点。，CE//BD,DE//AC.求证：四边形

0OCE是菱形.

E

【解析】

【分析】根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明.

【详解】证明：：CE〃3D,DE//AC,

...四边形DOCE是平行四边形，

:四边形A3CD是矩形，

/.OC=-AC,OD=-BD,

22

AC=BD,

OC=OD,

...四边形。OCE是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握各图形

的判定和性质定理是解题的关键.

—10—

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)

19.关于x的一元二次方程炉+初^+力―3=0.

(1)若方程的一个根为1,求相的值；

(2)求证：方程总有两个不相等的实数根.

【答案】(1)m=l；(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)代入x=l求出m值即可；

(2)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△>(),由此可证出此方程总有两个不相等的实数根.

【详解】解：(1)把x=l代入原方程得l+m+m-3=0解得:m=l

(2)证明：2\=1112-4(m-3)=(m-2)2+8

(m-2)2>0

，(m-2)2+8>0,即△>(),

不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是代入x=l求出m值，并牢记当4>

0时，方程有两个不相等的实数根.

20.如图在四边形A3CD中，AB=CD,BE=DF；AELBD，CF±BD,垂足分别为E，F.

(1)求证：AABE/CDF；

(2)若AC与BD交于点。，求证：AO=CO.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)利用“HL”即可求证；

(2)证明四边形A3CD是平行四边形即可求证.

【小问1详解】

证明：BF=DE,

:.BE+EF=DF+EF,

：.BE=DF,

AE±BD,CF_LBD,

—11—

:.ZAEB=ZCFD^90°,

在RtAABE和RtACDF中,

AB=CD

BE=DF

RtAABE^RtACZ)F(HL).

【小问2详解】

证明：如图

B匕-------

由(1),得RtAABE乡RtMDF,

：.ZABE=ZCDF,

AB//CD,

AB=CD,

，四边形A3CD是平行四边形，

AO=CO.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质.熟记相关定理内容是进行几何

推导的前提.

21.某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了40元，乙种雪糕花费了30元，

已知甲种雪糕比乙种雪糕多了20个，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的1.5倍.

(1)求购进的甲、乙两种雪糕的单价；

(2)若甲雪糕每个的售价是1.5元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于40元，那么乙种雪糕的售价

至少是多少元？

【答案】(1)甲、乙两种雪糕的单价分别为1元、1.5元

(2)乙种雪糕的售价至少是2.5元

【解析】

【分析】(1)若设甲种雪糕的单价为x元，则乙种雪糕的单价为1.5尤元，根据关键描述语“甲种雪糕比乙

种雪糕多20根”，得到等量关系：购买甲种雪糕的根数-购买乙种雪糕的根数=20,据此列长方程，求

解即可.

(2)根据题意列出不等式，解答即可.

【小问1详解】

—12—

设甲种雪糕的单价为X元，则乙种雪糕的单价为1.5%元,

4030

由题意,=20,

x1.5%

解得x=l,

经检验，x=l是原方程的根,

1.5%—1.5*

答：甲、乙两种雪糕的单价分别为1元、1.5元.

【小问2详解】

设乙种雪糕售价了元，根据题意可得：

40x0.5+（y-1.5）x20>40,

解得：y>2.5,

答：乙种雪糕的售价至少是2.5元.

【点睛】考查了分式方程的应用，本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22.如图，在平面直角坐标系中，直线。4过原点。和点4（3,4）,直线A5过点A和点^［空刀；过点

A作AD//x轴.

（1）求直线A3的解析式；

（2）求证：OA±AB；

（3）直线A。上有一点C,满足以。，A,B,C为顶点的四边形成是平行四边形，求点。的坐标.

325

【答案】（1）y=--x+—

44

⑵见解析（3）c［*'］或。［一^工］

【解析】

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）利用勾股定理逆定理进行证明即可；

—13—

(3)利用平行四边形的性质，进行求解即可.

【小问1详解】

解：设直线A3的解析式为：y=kx+b,

•••4(3,4),唁，0)，

,3

4=3k+bk——

4

贝|」：＜c25,,，解得：＜

0=—k+b,25

3b=—

4

.325

・・y=—xH-------；

44

【小问2详解】

证明：：4(3,4),

2400

•••OA2=32+42=25.OB-AB2--3I+16==

3