高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】(原卷版+解析)

专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量数量积的计算】 2【题型2空间向量的夹角及其应用】 2【题型3利用空间向量的数量积求模】 3【题型4向量垂直的应用】 4【题型5投影向量的求解】 5【知识点1空间向量的夹角与数量积】1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【题型1空间向量数量积的计算】【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（

）A．−1 B．0 C．1 D．不确定【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF=2FD，则向量BE⋅CF=A．−13 B．13 C．−12【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+A．109 B．263 C．8【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−AA．−2,0 B．−1,0 C．0,1 D．0,2【题型2空间向量的夹角及其应用】【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅bA．30° B．60° C．120° D．150°【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则cosOAA．12 B．22 C．−1【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1A．60° B．120°C．30° D．90°【题型3利用空间向量的数量积求模】【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且A．5 B．6 C．4 D．8【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（

A．2 B．3 C．3−2 D．【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（A．12 B．22 C．3【题型4向量垂直的应用】【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1A．－6 B．6C．3 D．－3【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1BA．AD1⋅B1C B．B【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAAA．12 B．13 C．14【知识点2向量的投影】1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型5投影向量的求解】【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2，【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.试确定PC在直线AB上的投影向量，并求PC⋅【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅

专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量数量积的计算】 2【题型2空间向量的夹角及其应用】 4【题型3利用空间向量的数量积求模】 6【题型4向量垂直的应用】 8【题型5投影向量的求解】 11【知识点1空间向量的夹角与数量积】1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【题型1空间向量数量积的计算】【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+A．−1 B．0 C．1 D．不确定【解题思路】令AB=【解答过程】令AB=则AB·=a=a故选：B.【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF=2FD，则向量BE⋅CF=A．−13 B．13 C．−12【解题思路】由向量的运算可得BE=12【解答过程】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，∵CE∴BE∴=BA∴==故选：A.【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+A．109 B．263 C．8【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为【解答过程】∵P−ABC为正三棱椎，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，∴PO⊥AO，PO⊥BO，△ABC是等边三角形，∴PO⋅OA=0故PO⋅PO⋅则PO⋅故选：D.【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−AA．−2,0 B．−1,0 C．0,1 D．0,2【解题思路】求出正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球O的半径【解答过程】设正方体ABCD−A1B1C1D则2R=23，可得R=3，所以，PE=PO当点OP与正方体ABCD−A1B1C当点P与正方体ABCD−A1B1C所以，1≤OP≤3，所以，PE故选：A.【题型2空间向量的夹角及其应用】【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅bA．30° B．60° C．120° D．150°【解题思路】设a与b的夹角为θ，则由(2a−b)⋅b=0，a=【解答过程】设a与b的夹角为θ，因为(2a−b所以2a因为非零向量a，b满足a=所以cosθ=因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即故选：B.【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【解题思路】设a与b的夹角为θ，由a+b+【解答过程】设a与b的夹角为θ，由a+b+两边平方，得a2因为a=2,所以4+2×2×3cosθ+9=16，解得故选：D.【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则cosOAA．12 B．22 C．−1【解题思路】利用OB=OC，以及OA⋅BC的数量积的定义化简【解答过程】解：∵OB=OC，所以OA=所以cosOA故选：D．【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1A．60° B．120°C．30° D．90°【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．【解答过程】aab所以cosa所以a,故选：B.【题型3利用空间向量的数量积求模】【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为a⊥b，a,c=b,则a=1+1+4−0+4×1×1×故选：D.【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且A．5 B．6 C．4 D．8【解题思路】利用向量的数量积公式即可求解.【解答过程】如图，平行六面体ABCD−A向量AB、AD、AA1两两的夹角均为且AB=1，AD=2，∴A∴A==1+4+9+2×1×2×=25.∴AC故选：A.【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（

A．2 B．3 C．3−2 D．【解题思路】利用二面角的定义可得出∠AED=45∘，由空间向量的线性运算可得出DB=【解答过程】因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则AE⊥EF，DE⊥EF，又因为二面角A−EF−C的大小为45∘，即∠AED=45∘因为DB=DE+EA+所以，DB=1+1+1−2×1×1×故选：C.【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（A．12 B．22 C．3【解题思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cos∠DOE，然后由空间向量的运算法则可得DE2=【解答过程】根据题意，在△DOC中，OD=CD=3所以cos所以DE2=OE−则λ=12时，DE则DE的最小值为22故选：B.【题型4向量垂直的应用】【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1A．－6 B．6C．3 D．－3【解题思路】由a和b的数量积为0，解出k的值.【解答过程】由题意可得a⋅b=0，e所以(2e1+3e2故选：B.【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1BA．AD1⋅B1C B．B【解题思路】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.【解答过程】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，AC⊥BB1，BD,BB1⊂平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得AB⊥AD1选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1故选：D.【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【解题思路】由题，可得AD⊥平面ABC，后由MA⊂平面ABC，可得答案.【解答过程】由AD⋅AC=0，AB又AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，则AD⊥平面因M∈BC，BC⊂平面ABC，则MA⊂平面ABC.故AD⊥MA，即△AMD是直角三角形.故选：C.【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAAA．12 B．13 C．14【解题思路】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【解答过程】设AB=则AN=DM=AN⋅λ⋅a设AB=AA′=AD=m所以λ⋅m解得λ=1故选：B.【知识点2向量的投影】1．向量的投影(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型5投影向量的求解】【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅【解题思路】由题意可知PC=PA+AB+BC，PC⋅AB即可转化为PA+AB+【解答过程】∵P