高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性(练习)(原卷版+解析)

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（模拟精练+真题演练）1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（

）A．为增函数 B．为奇函数C．值域为 D．函数没有正零点6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（

）A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-10107．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（

）．A． B．C． D．10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（

）A． B． C．1 D．211．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（

）A．在上最大值为2B．有两个零点C．的图像关于点对称D．存在实数，使的图像关于原点对称12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称C．是奇函数 D．13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，则______．16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为__________.17．（2023·全国·高三专题练习）已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.(1)，(2)20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下的值(1)若函数是偶函数,求的值．(2)已知是奇函数,且当时,,若,求的值．21．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．(1)求f；(2)证明是周期函数；(3)记，求．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．1．（2023•北京）下列函数中在区间上单调递增的是A． B． C． D．2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，3．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则A． B．0 C． D．14．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则A． B． C． D．5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则A． B． C．0 D．16．（2023•乙卷）已知是偶函数，则A． B． C．1 D．27．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则A． B． C．（2） D．（4）8．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则A． B． C． D．9．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则A． B．（1） C．是偶函数 D．为的极小值点10．（2023•甲卷）若为偶函数，则．11．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数．①；②当时，；③是奇函数．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则．

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（模拟精练+真题演练）1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】偶函数的图象关于点中心对称，则，且，故，，故函数为周期为的函数，.故选：C2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，则，同理，当时，，则，且，可知函数为奇函数；当时，，则，令，则，所以在单调递增，即，即，所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.则，即，即，可得，且，所以，解得，所以解集为.故选:A3．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，所以，，则，即，则，即是以为周期的周期函数，又，当时，，所以.故选：A4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由为奇函数，得，即，又由为偶函数，得，即，于是，即，因此的周期为8，又当时，，则在上单调递增，由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，，，，，显然，即有，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：D5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（

）A．为增函数 B．为奇函数C．值域为 D．函数没有正零点【答案】D【解析】由题意，在函数中，，可知画以下曲线：，，．这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．故选：D.6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（

）A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010【答案】A【解析】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.由得，，则，所以，由得，，即，所以,由，得，又1，所以；在中，令，得，所以..故选：A.7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以．由知，，所以，则为偶函数．由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，所以，则，所以，则4为的一个周期．由得，，则，所以，由得，，即，所以．由，得，又1，所以；在中，令，得，所以．.故选：A．8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【解析】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，则，则函数关于点成中心对称，且，故选项A错误；因为，令，则，故选项B正确；因为，即两边同时求导，则有，所以函数关于直线对称，因为函数为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以关于成中心对称，则导函数的周期为，所以，故选项C正确；因为函数关于直线对称，且，所以，故选项D正确，故选：BCD.10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（

）A． B． C．1 D．2【答案】AD【解析】令，则，因为，所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.因为，所以，等价于，即，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：AD11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（

）A．在上最大值为2B．有两个零点C．的图像关于点对称D．存在实数，使的图像关于原点对称【答案】AC【解析】对于，，在上单调递增，，故正确；对于的零点个数即方程的实根个数，即方程的实根个数，即与图像的交点个数.在同一坐标系中画出与图像如图所示：两个函数图像只有一个交点，故B错误；对于，若的图像关于点对称，则有对任意恒成立.恒成立，的图像关于点对称，故正确；对于，若存在实数使的图像关于原点对称，则为奇函数.令对任意恒成立，即恒成立，即对任意恒成立，则，上述方程组无解，故错误.故选：AC.12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称C．是奇函数 D．【答案】AD【解析】由的图象关于直线对称，可得，即，令，则，即，故为偶函数，A正确；又因为，令等价于，则①，令等价于，②，②减①可得：，故的周期为4，又，所以③，令等价于，则④，因为为偶函数，③减④可得：，故是偶函数，故C不正确；令中，可得，解得：，故B不正确；令中，可得，因为，则，令中，可得，因为，则，由，因为的周期为4，且，则，，故D正确.故选：AD.13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】令，因为，所以函数为奇函数，由函数都是增函数，可得为增函数，，则不等式，即为，即，即，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．【答案】【解析】为定义域为的奇函数，，解得：；由得：，是周期为的周期函数，.故答案为：.15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，则______．【答案】1012【解析】由，则，所以，即，所以是以4为周期的周期函数．令，得，所以，令，则，所以，所以．故答案为：1012．16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，定义域为，由，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，又由，令，由可知函数为奇函数，又由，（当且仅当时取等号），可得函数单调递增，且当时，由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，不等式可化为，必有，平方后整理为，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．【解析】由，将代入，得，由的周期为4，得，所以，故为偶函数．18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.【解析】任取且，则，因为且，可得，所以，即，即，所以函数是上的减函数.19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.(1)，(2)【解析】（1）先看函数的定义域，要满足所以x的取值范围为：.可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，因为，所以原函数为偶函数.（2）对于函数，先看函数定义域，因为，所以的定义域为，显然关于原点对称，设函数，则有，所以，所以原函数为偶函数.20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下的值(1)若函数是偶函数,求的值．(2)已知是奇函数,且当时,,若,求的值．【解析】（1）因为,故,因为为偶函数,故,所以,整理得到,故;（2）因为是奇函数,且当时,,因为,,所以,化简可得,解得:.21．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．(1)求f；(2)证明是周期函数；(3)记，求．【解析】（1）因为对任意的，都有，所以，又，，，∴.（2）设关于直线对称，故，即，又是偶函数，所以，∴，将上式中以代换，得，则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（3）由（1）知，∵，又，∴.∵的一个周期是2，∴，因此．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．【解析】（1）证明：∵f(x)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴（2）当时，由题意可设，由，得，∴，∴.（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，故当时，设，则，解得.故当时，.又在上是奇函数，故当时，.综上，则时，.因为时，.所以当时，，所以；当时，，所以，综上所述，.1．（2023•北京）下列函数中在区间上单调递增的是A． B． C． D．【答案】【解析】对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；对选项，在上单调递增，所以在上单调递减，选项错误；对选项，在上单调递减，所以在上单调递增，选项正确；对选项，在上不是单调的，选项错误．故选：．2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，故实数的取值范围是，．故选：．3．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则A． B．0 C． D．1【答案】【解析】由，得或，由是偶函数，，得，即，，得，得．故选：．4．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则A． B． C． D．【答案】【解析】的图像关于直线对称，则，，，，故为偶函数，（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，（1），由，，得，，故，周期为4，由（2），得（2），又（3）（1），所以（1）（2）（3）（4），故选：．5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则A． B． C．0 D．1【答案】【解析】令，则，即，，，，则，的周期为6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故选：．6．（2023•乙卷）已知是偶函数，则A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定义域为，又为偶函数，，，，，．故选：．7．（20