高考数学一轮复习全程复习构想·数学（文）第三节　圆的方程练习

第三节圆的方程·最新考纲·1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．·考向预测·考情分析：求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题仍是高考考查的热点，题型将以选择与填空题为主，也可能出现在解答题中．学科素养：通过求圆的标准方程及利用圆的方程求最值，考查数学运算、直观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．圆的定义及方程定义平面内与________的距离等于________的点的集合(轨迹)标准方程________(r＞0)圆心：________，半径：________一般方程________________(D2＋E2－4F＞0)圆心：________，半径：________2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则________________．二、必明2个常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()(二)教材改编2．[必修2·P124A组T1改编]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，133．[必修2·P124A组T4改编]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．(三)易错易混4．(错用点与圆的位置关系)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±45．(忽略方程中变量的取值范围)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．(四)走进高考6．[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为Ｗ．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一求圆的方程[基础性]1．[2023·赤峰二中检测]已知圆心在x轴上，半径为5的⊙C位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则⊙C的方程是()A．(x－10)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x＋10)2＋y2＝5D．x2＋(y＋10)2＝52．以点(1，－1)为圆心，且与直线x－y＋2＝0相切的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝83．若直线l：mx＋ny＋3＝0始终平分圆C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0，则2m－3n＝()A．－6B．－3C．3D．64．已知圆x2＋y2－2mx－(4m＋2)y＋4m2＋4m＋1＝0(m≠0)的圆心在直线x＋y－7＝0上，则该圆的面积为()A．4πB．2πC．πD．π反思感悟求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题[综合性]角度1借助几何性质求最值[例1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．听课笔记：一题多变(变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．反思感悟与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y−bx−a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.角度2建立函数关系求最值[例2](1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．22C．4D．42(2)[2023·山东潍坊模拟]设点P(x，y)是圆x2+y−32＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则听课笔记：反思感悟建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．【对点训练】1．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为()A．6B．11C．8D．212．设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|PA+考点三与圆有关的轨迹方程[综合性][例3]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．听课笔记：反思感悟求与圆有关的轨迹问题的四种方法【对点训练】1．[2023·六盘山高级中学测试]已知圆C：x2＋y2＋4x＝0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是()A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝3C．(x＋1)2＋y2＝2D．(x＋2)2＋y2＝32．[2023·江苏南通高三测试]在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T.若PT＝2PB，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2－14x＋18＝0B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0D．x2＋y2＋10x＋18＝0第三节圆的方程积累必备知识一、1．定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0−2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由公式可知圆心坐标为(－D2，－E2)，半径r＝12D2答案：D3．解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即a+12+1＝a−12+9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，又|CA|＝2+12+1＝10，所以圆C的半径为10，所以圆C的方程为(x答案：(x－2)2＋y2＝104．解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.答案：A5．解析：因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因为y∈[－1，1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值4.答案：46．解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M（a，1－2a）.由点（3，0），（0，1）均在⊙M上，可得点（3，0），（0，1）到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝eq\r(（a－3）2＋（1－2a）2)＝eq\r(a2＋（1－2a－1）2)，解得a＝1.所以M（1，－1），r＝eq\r(5)，所以⊙M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝5提升关键能力考点一1．解析：设圆心为C(a，0)(a＜0)，由题意a2＝5，所以a＝－10圆方程为(x＋10)2＋y2＝5.答案：C2．解析：因直线与圆相切，所以圆的半径等于点(1，－1)到直线x－y＋2＝0的距离，即r＝d＝1−−1+212+−12＝22，则所求圆的方程为(x答案：D3．解析：由C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0得圆心C1，−32，因为直线平分圆，所以直线必过圆心1，−32，则m－32n答案：A4．解析：圆的方程可化为(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圆心为(m，2m＋1)．依题意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，∴圆的半径为2，面积为4π.答案：A考点二例1解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k−0k2+1＝3.解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为解析：(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，在y轴上的截距b取得最大值或最小值，此时2−0+b2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2−02+0−02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)一题多变解析：∵圆心(2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝6+125＝185，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为185例2解析：(1)由已知可得线段AB是圆x2＋y2＝1的直径，且|AB|＝2，∴∠APB＝90°.∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝4，由基本不等式可得PA+PB22≤PA2+PB22＝2，当且仅当|PA|＝|PB即|PA|＋|PB|的最大值是22.(2)由题意知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4.由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为12.答案：(1)B(2)12对点训练1．解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0，1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为x4+y−3＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝165，又|AB|＝32+42＝5，所以△ABP答案：B2．解析：由题意知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA+PB|＝4x2+4y2＝26x−5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤答案：10考点三例3解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|