高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第02讲等差数列及其前n项和(高频精讲)(原卷版+解析)

第02讲等差数列及其前项和目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：等差数列基本量的运算 4高频考点二：等差数列的判断与证明 4角度1：定义法证明或判断 4角度2：等差中项法证明或判断 5高频考点三：等差数列的性质 7高频考点四：等差数列的单调性 8高频考点五：等差数列的前项和 9角度1：等差数列的项和的基本量计算 9角度2：含绝对值的等差数列的项和 10角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和 10高频考点六：等差数列的前项和的性质 12角度1：等差数列的片段和性质 12角度2：两个等差数列前项和的比的问题 12高频考点七：等差数列的前项和的函数特征 13角度1：等差数列的前项和的最值问题 13角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数 14第四部分：数学文化题 16第五部分：高考新题型 18角度1：开放性试题 18角度2：探究性试题 18温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．第二部分：高考真题回归1．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则公差_______．3．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．4．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等差数列基本量的运算典型例题例题1．（2023春·贵州·高二校联考期中）已知等差数列的前8项和为68，，则（

）A．300 B．298 C．295 D．296例题2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列{an}中，，，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）在数列中，，，则的值为（

）A．96 B．98 C．100 D．1022．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30 B．28 C．26 D．13高频考点二：等差数列的判断与证明角度1：定义法证明或判断典型例题例题1．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（

）A．495 B．765 C．450 D．120例题2．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知数列满足，，的通项公式为_________例题3．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．角度2：等差中项法证明或判断典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）已知数列满足：.(1)求的通项公式；例题2．（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且满足，..求数列的通项公式；角度3：通项公式形如的形式典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：(1)；(2).角度4：前项和形如的形式典型例题例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；例题2．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．(1)求及数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的的值．练透核心考点二1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已如数列的前项和为，，当时，．(1)证明数列为等差数列，并求；(2)求数列的前项和为．4．（2023秋·陕西西安·高二西安市远东一中校考期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；高频考点三：等差数列的性质典型例题例题1．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）设等差数列的前项和为，且，．则（

）A．29 B．32 C．35 D．38例题2．（多选）（2023春·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）已知首项为的等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.例题4．（2023·青海西宁·统考二模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.练透核心考点三1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列中，，则（

）A．30 B．15 C．5 D．103．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考期中）若前项和为的等差数列满足，则（

）A．46 B．48 C．50 D．524．（多选）（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（

）A． B．C．的最大值是 D．当且仅当时，高频考点四：等差数列的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是例题2．（多选）（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列 C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________.练透核心考点1．（2023·高二课时练习）等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10高频考点五：等差数列的前项和角度1：等差数列的项和的基本量计算典型例题例题1．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72例题2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________例题3．（2023·上海·高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．角度2：含绝对值的等差数列的项和典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知在前项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．例题2．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和是，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________．例题3．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．练透核心考点五1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．3．（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（

）A．9 B．10C．11 D．124．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．5．（2023·高二课时练习）一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是______．6．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.（2023·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前n项和．高频考点六：等差数列的前项和的性质角度1：等差数列的片段和性质典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（

）A．130 B．170 C．210 D．260例题2．（2023春·高二课时练习）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）记为等差数列的前项和．若，，则______．角度2：两个等差数列前项和的比的问题典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）等差数列的前项和分别为，且，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10例题2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则__________．练透核心考点六1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．9 B．11 C．13 D．252．（2023春·广东梅州·高二丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．1203．（2023春·高二课时练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（）A． B． C． D．25．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________6．（2023春·湖北·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则________．高频考点七：等差数列的前项和的函数特征角度1：等差数列的前项和的最值问题典型例题例题1．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．例题2．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，若时，最小，则=___________.例题3．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）数列的通项公式为，其前项和为，则使最大的的取值可以是（

）A．9 B．10 C．11 D．12例题2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等差数列的公差为，首项，当且仅当时，其前项和取得最大值，则的取值范围是______．例题3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）设等差数列的前项和为，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.练透核心考点七1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．172．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（

）A．11 B．12 C．13 D．143．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为________.4．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是的前项和，，.(1)判断是否是数列中的项，并说明理由；(2)求的最值.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值．第四部分：数学文化题1．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（

）（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15803．（2023·全国·高三专题练习）“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为____________.

4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上一个伟大成就．现在从“杨辉三角”中去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前54项和为______．

5．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知）观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第个四面体数为______.第五部分：高考新题型角度1：开放性试题1．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前n项和，且满足：①；②对，．写出一个同时满足上述两个条件的数列的通项公式______．2．（2023春·山东德州·高二统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式：___________．①；②单调递增．3．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式=________.①{}是递减数列；②对任意m，，都有.角度2：探究性试题1．（多选）（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是公积不为0的等积数列，且，前5项的和为12，则下列结论不正确的是（

）A． B． C．公积为3 D．2．（2021秋·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知数列为等差数列，公差，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，探究：是否存在正整数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.第02讲等差数列及其前n项和目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 7高频考点一：等差数列基本量的运算 7高频考点二：等差数列的判断与证明 8角度1：定义法证明或判断 8角度2：等差中项法证明或判断 9高频考点三：等差数列的性质 12高频考点四：等差数列的单调性 15高频考点五：等差数列的前项和 17角度1：等差数列的项和的基本量计算 17角度2：含绝对值的等差数列的项和 18角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和 19高频考点六：等差数列的前项和的性质 23角度1：等差数列的片段和性质 23角度2：两个等差数列前项和的比的问题 24高频考点七：等差数列的前项和的函数特征 27角度1：等差数列的前项和的最值问题 27角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数 29第四部分：数学文化题 32第五部分：高考新题型 37角度1：开放性试题 37角度2：探究性试题 38温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．第二部分：高考真题回归1．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11．故选：C．2．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则公差_______．【答案】2【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.3．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以4．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.5．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等差数列基本量的运算典型例题例题1．（2023春·贵州·高二校联考期中）已知等差数列的前8项和为68，，则（

）A．300 B．298 C．295 D．296【答案】C【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的前8项和为，可得，即，即，又由，可得，联立方程组，解得，所以.故选：C.例题2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列{an}中，，，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？【答案】45【详解】由题意得，解得，令，得,所以153是这个数列的第45项.练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）在数列中，，，则的值为（

）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【详解】因为，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故选：D.2．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，，所以.故选：C高频考点二：等差数列的判断与证明角度1：定义法证明或判断典型例题例题1．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）数列中，，且，则这个数列的前20项的和为（

）A．495 B．765 C．450 D．120【答案】C【详解】因为在数列中，，且，即所以数列是首项为，公差为3的等差数列，数列的前项和.故选：C.例题2．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知数列满足，，的通项公式为_________【答案】【详解】由可得，即，从而数列是以为首项，公差的等差数列，故，即的通项公式为故答案为：例题3．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为，，所以，即，所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，所以.角度2：等差中项法证明或判断典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）已知数列满足：.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）所以数列是等差数列，设其公差为，则，.所以数列的通项公式为.例题2．（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且满足，..(1)求数列的通项公式；【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，为等差数列，设公差为，又，，；角度3：通项公式形如的形式典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：(1)；(2).【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【详解】（1）因为，是常数，所以数列{a}是以为公差的等差数列．（2）因为，不是常数，所以数列{a}不是等差数列．角度4：前项和形如的形式典型例题例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）因为①，所以时，②，由①②相减，可得，，

当时，，满足，

故的通项公式为，．例题2．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．(1)求及数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的的值．【答案】(1)，(2)，n＝8或n＝9【详解】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0，即，所以，当时，．当n＝1时也符合上式，故．（2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数，又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故．练透核心考点二1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列【答案】AD【详解】解：因为，所以，又，所以是由为首项，为公差的等差数列，因为公差小于，所以是递减数列；故选：AD2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．【答案】100【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，所以，故答案为：1003．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已如数列的前项和为，，当时，．(1)证明数列为等差数列，并求；(2)求数列的前项和为．【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）解：当时，由，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以，即．（2）解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．4．（2023秋·陕西西安·高二西安市远东一中校考期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：当时，．当时，，所以，因为也满足，所以通项公式为．高频考点三：等差数列的性质典型例题例题1．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）设等差数列的前项和为，且，．则（

）A．29 B．32 C．35 D．38【答案】B【详解】因为数列为等差数列，则，可得，设等差数列的公差为，可得，所以.故选：B.例题2．（多选）（2023春·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）已知首项为的等差数列的前项和为，公差为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A：因为，所以，则，解得，故A正确；对于B：，则，故B错误；对于C：因为，所以数列为递增数列，因为，，即数列的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，则，故C正确；对于D：，故D错误；故选：AC例题3．（2023春·高二课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.【答案】3【详解】由是方程的根得＝3.又数列为等差数列，∴＝＝3.故答案为：3例题4．（2023·青海西宁·统考二模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.【答案】6【详解】因为，所以，又，所以0，所以，则，故答案为：6.练透核心考点三1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等差数列的前项和为，则，由等差数列的性质可得，所以，，所以，，解得.故选：B.2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列中，，则（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【详解】∵数列为等差数列，，所以∴.故选：B3．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考期中）若前项和为的等差数列满足，则（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【详解】由，有，根据等差数量性质可知，所以，故，所以，所以.故选：C.4．（多选）（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（

）A． B．C．的最大值是 D．当且仅当时，【答案】BC【详解】因为，所以，即，又，所以，故A错；因为，所以数列为递减数列，又，所以，，的最大值为，故BC正确；，故D错.故选：BC.高频考点四：等差数列的单调性典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】C【详解】由得，∴数列为递减的等差数列，∵，∴，，∴当且时，，当且时，，∴有最大值，最大值为.故选：C.例题2．（多选）（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列 C． D．【答案】BC【详解】由题设，，而，∴，则，则为递减数列，A错误，B正确；，，C正确，D错误.故选：BC.例题3．（2023春·高二课时练习）设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________.【答案】613【详解】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：6；13．练透核心考点1．（2023·高二课时练习）等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为【答案】C【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；对于B选项，因为，即，可得，B对；对于C选项，，所以，当或时，最小，C错；对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.故选：C.2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】，所以，又，故，故公差，所以是递减数列，前9项为正，其余项为负，即时，取最大值.故选：C.高频考点五：等差数列的前项和角度1：等差数列的项和的基本量计算典型例题例题1．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【详解】设的公差为d，则，即，则，故选：A.例题2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________【答案】或【详解】等差数列中，公差，，所以，解得，所以，当前项和最大时，或，故答案为：或.例题3．（2023·上海·高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．【答案】【详解】由题意数列为等差数列，且，，设数列公差为d，则，解得，故，故答案为：角度2：含绝对值的等差数列的项和典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知在前项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，则，由，则，所以，即，故，则.（2）由（1）知：，可得，即，故时，所以.例题2．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和是，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，当时，把代入上式，满足题意.数列的通项公式.（2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，令，则数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，则当，，当时，数列的前项和为角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，，所以，所有奇数项的和为，于是可得.故选：A.例题2．（2023春·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________．【答案】【详解】因为等差数列共有项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，所以，，解得.故答案为：.例题3．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【详解】因为为奇数，所以，解得．所以，所以．故所求的中间项为29．故答案为：29练透核心考点五1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，.故选：C.2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．【答案】666【详解】设等差数列的公差为，则由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案为：666.3．（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（

）A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【详解】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为∴，∴，∴n＝10，故选:B.4．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等差数列共有项，则，，中间项为，故，，故选：B.5．（2023·高二课时练习）一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是______．【答案】3【详解】设等差数列公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，得，，解得，，所以，故这个数列的第6项是3，故答案为：3．6．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2）解：.因此，.7．（2023·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前n项和．【答案】【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．所以．由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．数列的前n项和．所以当时，；当时，，即．高频考点六：等差数列的前项和的性质角度1：等差数列的片段和性质典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（

）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【详解】利用等差数列的性质：成等差数列，所以，即，解得.故选：C.例题2．（2023春·高二课时练习）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.例题3．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）记为等差数列的前项和．若，，则______．【答案】【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列，所以，，即，解得.故答案为：.角度2：两个等差数列前项和的比的问题典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）等差数列的前项和分别为，且，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【详解】∵，∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，.故选：B.例题2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，故.则，故.故选：A例题3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则__________．【答案】【详解】两个等差数列和的前项和分别为和，且，故设，则，,所以，故答案为：练透核心考点六1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．9 B．11 C．13 D．25【答案】B【详解】设公差为，，因为，，所以，故选:B.2．（2023春·广东梅州·高二丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【详解】在等差数列中，成等差数列，所以，则，即.故选：D.3．（2023春·高二课时练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为和是等差数列,故故选:C4．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又，则可设，，则.故选：A5．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【详解】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：6．（2023春·湖北·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则________．【答案】【详解】因为，所以.故答案为：高频考点七：等差数列的前项和的函数特征角度1：等差数列的前项和的最值问题典型例题例题1．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由得，则，有，所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，，令，，所以数列是等差数列，，对称轴，由的最大值仅为可得解得．故选：B．例题2．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，若时，最小，则=___________.【答案】【详解】解法一：因为，所以当，时，，当，时，，，所以，最小，即.解法二：因为，所以，，又，所以时，最小，最小为.故答案为：.例题3．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，即①，当时，②得，，即，即,所以，且，所以是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以当或时，取得最小值，.角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）数列的通项公式为，其前项和为，则使最大的的取值可以是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】BC【详解】令，则，且，故时恒成立，所以使最大的的取值为10或11.故选：BC例题2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等差数列的公差为，首项，当且仅当时，其前项和取得最大值，则的取值范围是______．【答案】【详解】等差数列的首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则，即，解得．故答案为：例题3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）设等差数列的前项和为，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.（2）由（1）得，由于是数列中最大的项，①，所以，即即解得，由于是整数，所以的可能取值是.练透核心考点七1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．17【答案】C【详解】由数列满足对恒成立可知，数列为等差数列；设数列的首项为，公差为，则，若前n项和有最大值，则可知，因此，又，所以，可得，所以，即；所以，使得的最大的n的值是.故选：C2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【详解】因为数列为等差数列，设公差为，因为有最大值，故，即，又，即一正一负，而，所以，，又由得，故所以，，则，，则当时，的最大值为.故选：A.3．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为________.【答案】【详解】由是与的等比中项，得，即，即，又，所以，所以，所以，所以当或时，取得最大值.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．【答案】【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为．故答案为：5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是的前项和，，.(1)判断是否是数列中的项，并说明理由；(2)求的最值.【答案】(1)不是，理由见解析(2)的最小值为，无最大值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以，.令，解得，因此，不是数列中的项.（2）由题意可得，，当时，取得最小值，且最小值为，无最大值.6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值．【答案】有最大值，没有最小值【详解】由，得，所以数列是以为公差，为首项的等差数列，，当时，有最大值，有最大值，但没有最小值．第四部分：数学文化题1．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】根据图形知：，，则，①正确；，②正确；，数列是首项为1公差为的等差数列，前20项和为，③错误.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（

）（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．1580【答案】C【详