人教版八年级数学上册《分式》全章教案

第十五章分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

教与目标：«<

1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,

建立数学模型，并理解分式的概念.

2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.

后＜

重点

理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件.

难点

能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.

数与设计＜

一、复习引入

1.什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？

2.判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？

8m+nazb+ab2a+b2

①一^-；②l+x+y2；③__—；④；⑤—；」；

55zX2十2x十1

33x214

H2+b22x

二、探究新知

1.分式的定义

⑴学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30

千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最

大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时.

90

轮船顺流航行90千米所用的时间为砧工-小时，逆流航行60

十v

609060

千米所用时间为用一小时，所以…-=而一.

30—v5。十v3（J—v

⑵学生完成教材第127页“思考”中的题.

9060SV

观察：以上的式子/，—，—，有什么共同点？它

十v30—vas

们与分数有什么相同点和不同点？

A

可以发现，这些式子都像分数一样都是我（即A+B）的形式.分

数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A,B都是整式，

并且B中都含有字母.

归纳：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字

A

母，那么式子文叫做分式.

巩固练习：教材第129页练习第2题.

2.自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母

应满足什么条件？

分式的分母表示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母

A

不能为0,即当BW0时，分式良才有意义.

D

学生自学例1.

例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?

2x1x+v

⑴荻⑵l⑶e『

2

解：⑴要使分式丁有意义，则分母3xW0,即xWO；

X

⑵要使分式一^有意义，则分母X—1WO,即xWl；

X—1

15

(3)要使分式一不有意义，则分母5—3bw0,即bw7;

□—JD3

x+v

(4)要使分式---有意义，则分母x一产0,即xWy.

x—y

思考：如果题目为：当X为何值时，分式无意义.你知道怎

么解题吗？

巩固练习：教材第129页练习第3题.

3.补充例题：当m为何值时，分式的值为0?

mm—2m2—1

(1)—；⑵⑶

m—1rm+3m+1

思考：当分式为。时，分式的分子、分母各满足什么条件？

分析：分式的值为。时，必须同时满足两个条件：⑴分母不

能为零；⑵分子为零.

答案：⑴m=0;(2)m=2;(3)m=l.

三、归纳总结

1.分式的概念.

2.分式的分母不为。时，分式有意义；分式的分母为。时,

分式无意义.

3.分式的值为零的条件：⑴分母不能为零；⑵分子为零.

四、布置作业

教材第133页习题15.1第2,3题.

教与反思

在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自

主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从

而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的

数学思想方法解决问题的能力.

15.1.2分式的基本性质（2课时）

第1课时分式的基本性质

教与目标

1.了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式

的变形.

2.会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则.

：«<

重点

理解并掌握分式的基本性质.

难点

灵活运用分式的基本性质进行分式变形.

教与设计＜

一、类比引新

1.计算：

5248

⑴铲T3；⑵

思考：在运算过程中运用了什么性质？

教师出示问题.学生独立计算后回答：运用了分数的基本性

质.

2.你能说出分数的基本性质吗？

分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分数的

值不变.

3.尝试用字母表示分数的基本性质：

小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分

数的基本性质的字母表达式.

aa,caa+c

T-=T-——，―（其中a,b,c是实数，且cWO）

bb-cbb-c

二、探究新知

1.分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质

吗？

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为

零的整式，分式的值不变.

你能用式子表示这个性质吗？

AA-CAA+C

•（其中A，B，C是整式，且CwO）

JDJD,CJDJD-C

x1bab

如区=2,万丁，你还能举几个例子吗?

回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这

是从具体到抽象的过程.

学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达

能力的培养.

2.想一想

下列等式成立吗？为什么？

—aa—aaa

-bb'b—bb,

教师出示问题.学生小组讨论、交流、总结.

例1不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含

a力号：

—2a—3x一X2

⑴⑵'；

例2不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次

项的系数都化为正数:

x+12—x—X—1

⑴—2x—1；⑵—X2+3；⑶・

引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的

变号法则.

例3填空:

X33x2+3xyx+y

⑴L;

6x2r

1()2a-b()

(2)=-j-,-----=-----——(bWO)

aba2ba2a2b

X3

解：⑴因为—的分母xy除以x才能化为y,为保证分式的值

xy

不变，根据分式的基本性质，分子也需除以X,即

X3X3+XX2

xyxyH-xy

3x2+3xy

同样地，因为一反一的分子3x2+3xy除以3x才能化为x+y,

所以分母也需除以3x,即

3x2+3xy(3x2+3xy)4-(3x)x+y

6x26x2H-~(3x)2x,

所以，括号中应分别填入X2和2x.

1

⑵因为"的分母ab乘a才能化为b,为保证分式的值不变，

aba2

根据分式的基本性质，分子也需乘a,即

11,aa

abab,aa2b.

2a—b

同样地，因为----的分母a2乘b才能化为azb,所以分子也

需乘b,即

2a—b(2a—b)-b2ab—b2

a2a2,ba2B-

所以，括号中应分别填a和2ab—b2.

在解决例题1,2的第⑵小题时，教师可以引导学生观察等式

两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例

2的第⑴小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化,

再思考分式的分母随之应该如何变化.

三、课堂小结

1.分式的基本性质是什么？

2.分式的变号法则是什么？

3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形？

学生在教师的引导下整理知识、理顺思维.

四、布置作业

教材第133页习题15.1第4,5题.

电0赤M<

通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本

性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘

（或除）的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯.

第2课时分式的约分、通分

教与目标<

1.类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理

解最简公分母的概念.

2.类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步

骤.

：«<

重点

运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分.

难点

通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形.

教与设计＜:«<

、类比引新

52

1.在计算yX讴时，我们采用了“约分”的方法，分数的约

613

a2-\~aba~\~b

分约去的是什么？分式“，M相等吗？为什么？

a2~\~ab

利用分式的基本性质，分式“约去分子与分母的公因式

a+b

a,并不改变分式的值，可以得到击

-aba-Hb

教师点拨：分式”可以化为8,我们把这样的分式变

形叫做一分式的约分一.

4646

2.怎样计算q+P怎样把口，通分？

37/3/

ac

类似的，你能把分式十万变成同分母的分式吗？

bd

利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来

的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做一分式

的通分一.

二、探究新知

—25a2bc3X2—9

1.约分：(1)…；(2);

15ab2cX2十6x十9

6x2-12xy+6y2

⑶3x—3y

分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.

—25a2bc35abc,5ac25ac2

解：⑴FTF；——

15ab2cbabe,3b3b

X2-9(x+3)(x-3)x—3

⑵X2-|-6x+9(x+3)2x+3'

6x2-12xy+6y26(x一y)2

(3)——aa----=-=2(x-y).

Jx—3y5-(---x---—----y--)1―

若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因

式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分.约分后，分子与分

母没有公因式，我们把这样的分式称为—最简分式(不能再化

简的分式)

2.练习：

2ax2y—2a(a+b)(a—x)2X2-4m2—3m

约分•___i-,..•_________•____________•

-3axy2，3b(a+b)，(x—a)3,xy+2y，9—m2，

992-1

-？s-1

学生先独立完成，再小组交流，集体订正.

111

3.讨论：分式^一,l，「的最简公分母是什么？

zx3y2Z4x2y36xy4

提出最简公分母概念.

一般取各分母的所有因式的最高次嘉的积作公分母，它叫做

最简公分母.

学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：

⑴系数取各分式的分母中系数最小公倍数；

⑵各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)相同字母(或因式)的累取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次嘉的

积(其中系数都取正数)即为最简公分母.

3a—b2x3x

4.通分：⑴亍/与(2)——^与•

2a2bab2cx—bx十5

分析：为通分，要先确定各分式的公分母.

解：⑴最简公分母是2a2b2c.

33,be3bc

2a2b2a2b,be2a2b2c’

a—b(a—b),2a2a2—2ab

ab2cab2c,2a2a2b2c

⑵最简公分母是(x—5)(x+5).

2x2x(x+5)2x2+lOx

x—5(x—5)(x+5)X2-25，

3x3x(x—5)3x2-15x

x+5(x+5)(x—5)X2—25

5.练习：

15111x

通分：⑴厂与人；⑵^与——；(3)-_――与—..

JX2IzxyX2十XX2-X(2—X72X2■—4

教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分

母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的

最简公分母.

学生板演并互批及时纠错.

6.思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?

这些做法的根据是什么？

教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结.

三、课堂小结

1.什么是分式的约分？

怎样进行分式的约分？

什么是最简分式？

2.什么是分式的通分？

怎样进行分式的通分？

什么是最简公分母？

3.本节课你还有哪些疑惑？

四、布置作业

教材第133页习题15.1第6,7题.

敦与反总

本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式

的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分

式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分

母.

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除（2课时）

第1课时分式的乘除法

敦与目标：«<

1.理解并掌握分式的乘除法则.

2.运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题.

重点

掌握分式的乘除运算.

难点

分子、分母为多项式的分式乘除法运算.

教与设计＜

一、复习导入

1.分数的乘除法的法则是什么？

315315

2.计算：X;+

JK1ZJZ

3153X15315323X2

由分数的运算法则知5^^=5XT5=5XT5'

3.什么是倒数？

我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算

呢？这就是我们这节要学习的内容.

二、探究新知

问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V,底面的

m

长为a,宽为b时，当容器的水占容积的一时，水面的高度是多少？

n

问题2:大拖拉机m天耕地ahm2,小拖拉机n天耕地bhm2,

大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?

Vm

问题1求容积的高力•—，问题2求大拖拉机的工作效率是

abn

ab

小拖拉机的工作效率的一—一倍.

mn

根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则

是什么？

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，

分母的积作为积的分母.

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒

位置后，与被除式相乘.

aca-cacada,d

bdb•d，bdbcb,c'

三、举例分析

例1计算：

4xyab3—5a2b2

⑴3丁y•丁2x3；⑵Z…C24—cd一.

分析:这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应

该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运

算一样，先判断运算符号，再计算结果.

4xy4xy2

解：⑴_•__=___=__;

，3y2x36x3y3x2

aba—5a2b2aba4cd4ab3cd2bd

(2)___T~_________——_____________——____________

72C2~4cd2C2-5a2b210a2b2c25ac'

例2计算:

a2—4a+4a—1

⑴a2—2a+1a2-4?

11

(2)_______+________

749—m2m2—7m

分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分

解，然后运用法则.

(a—2)2a—1

解：⑴原式-/——―r——m=

(a—l)2(a十2)(a—2)

a—2

(a-1)(a+2)；

11

(2)原式(7一-m;x(~7十~m)厂!m——(pm—7)、

1m(m—7)m

(7—m)(7+m)1m+7-

例3“丰收1号”小麦试验田边长为a米(a>l)的正方形去

掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小

麦的试验田是边长为(a—1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获

了500千克.

⑴哪种小麦的单位面积产量高？

⑵高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

分析：本题的实质是分式的乘除法的运用.

解：⑴略.

500500500a2-la+1

()—(a—1)2a2-1-(a—1)~2500a-1

“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单

a+1

位面积产量的―

a—1

四、随堂练习

C2a2b2n24m2y2

1.计算：⑴•一；(2)--;(3)+(——);

abc2m5m7xx

2ya2-4a2—1

(4)—8xy+;(5)-....3•...

5xa2—2a+1a2十4a十4

2my

答案：(l)abc;(2)-;(3)-;(4)-20x2;(5)一

□n14

(a+1)(a—2)3—y

-(a-1)(a+2)；⑹干.

2.教材第137页练习1,2,3题.

五、课堂小结

⑴分式的乘除法法则；

⑵运用法则时注意符号的变化；

(3)因式分解在分式乘除法中的应用；

(4)步骤要完整，结果要最简.最后结果中的分子、分母既可

(a—1)2

保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如--------或

a

a2—2a+1

a

六、布置作业

教材第146页习题15.2第1,2题.

教与反思＜：«<

本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题

的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他

们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观

察、探究、归纳总结出分式的乘法法则.有利于学生接受新知识,

而且能体现由数到式的发展过程.

第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

数与目标：«<

1.进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的

混合运算.

2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规

律进行分式的乘方运算.

：«<

重点

分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算.

难点

分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方

运算中符号的确定.

敦亨设计

一、复习引入

1.分式的乘除法法则.

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子,

用分母的积作为积的分母.

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒

位置后，与被除式相乘.

2.乘方的意义：

an=a-a-a.........a（n为正整数）.

、探究新知

2x3x

例1（教材例4）'异5x—3,25x2—95x+3*

2x3x

解：玄=3-25x2—9.5FF3

2x25x2—9x

=1.■（先把除法统一成乘法运算）

5x—335x+3

2x2

=〒.（约分到最简公式）

3

分式乘除运算的一般步骤:

⑴先把除法统一成乘法运算；

⑵分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；

（3）确定分式的符号，然后约分；

（4）结果应是最简分式.

1.由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学

生进行归纳.

aaaa2

⑴（产Bb=&；

由乘方的意义由分式的乘法法则

⑵同理:

aaaaa3

W3=E,B■B=R；

aaaaa-a.....an个an

Wn=B_个=6.b.....bn个=BT

2.分式乘方法则：

aan

分式：(b)n=5n.(n为正整数)

文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方.

3.目前为止，正整数指数靠的运算法则都有什么？

,an^am+n；(2)&mbAnAm—n；

(3)(am)n——(mn；(4)(&b)nHnbn；

三、举例分析

例2计算：

—2a2b

⑴(")2；

a2b2ac

a2—b2a—b

(—2a2b)24a4b2

解：⑴原式=----=p—；

(3c)29C2

a6b3dsC2a3b3

⑵原式=——_•斤•=一;

—C3G9za4a2ocd6

X4V6X4

◎）原式=灭•（--）一二­X5；

y4

(a+b)(a—b)(a+b)2

原式

(4)a2+ba(a—b)2

(a+b)3

(a—b)(al+bTJ

学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对

于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算

的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号.

例3计算：

b3n-lC2H2n-1

⑴---------•E—；

H2n+1L)3n—2

X2—2xy+y2X一V

(2)(XV-X2)•

xyX2

a2—D2a—b

(3)(m)2+(」

b3n—2•b,C2A2n—1bc2

解：⑴原式=------;——

H2n-1,&2b3n—2a2

x(X—y)x一y

⑵原式=——：——=—y；

X2

(a+b)2(a—b)2a2a2+2ab+b2

vvx、，、a2b2（a—b）2b2

本例题是本节课运算题目的拓展，对于⑴指数为字母，不过

方法不变；（2）（3）是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生

熟悉运算顺序，注意做题步骤.

四、巩固练习

教材第139页练习第1,2题.

五、课堂小结

1.分式的乘方法则.

2.运算中的注意事项.

六、布置作业

教材第146页习题15.2第3题.

教与反思

分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数

的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方

法则.在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参

与进来，提高学习效率.

15.2.2分式的加减（2课时）

第1课时分式的加减

教与目标

理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减

运算.

后＜

重点

运用分式的加减运算法则进行运算.

难点

异分母分式的加减运算.

教与设计＜：«<

、复习提问

1.什么叫通分？

2.通分的关键是什么？

3.什么叫最简公分母？

4.通分的作用是什么？（引出新课）

二、探究新知

1.出示教材第139页问题3和问题4.

教材第140页“思考”.

分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同.观察

12312111325

下列分数加减运算的式子：r+r=r,二一二二一二，7J

555553z3666

11321

,一丁=/一.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

23666

教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则.

学生讨论：组内交流，教师点拨.

2.同分母的分式加减法.

aba+b

公式：±=----

CCC

文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

3.异分母的分式加减法.

acadbead+be

分式：b±d=bd±bd=^bd^,

文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分

式，然后再加减.

三、典型例题

例1（教材例6）计算:

5x+3v2x11

(1)-------------------；(2)^-^+^

X2—y2X2—yazp+Jq2p—Jq

5x+3y2x

解：(1)------------------

X2一y2X2一y2

5x+3y—2x3x+3y3

X2一y2X2一y2x—y

11

(2)2。pJ+R3q+72S-p--—-k3q

2p-3q2p+3q

，一-I-.、.一

12P+3q)(2p—3q)(2p+3q)(2p—3q)

2p—3q+2p+3q4p

(2p+3q)(2p—3q)4P2—9qz'

小结：

⑴注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号.

⑵把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分.

例2计算：

m+2nn2m

--------+...........---------

n—mm—nn—m

分析：⑴分母是否相同？⑵如何把分母化为相同的？（3）注意

符号问题.

m+2nn2m

解：原式----——

n—mn—mn—m

m+2n—n—2m

n-m

n-m

n-m

=1.

四、课堂练习

1.教材第141页练习1,2题.

523

2,计算：⑴曲—血+否；

122

(2)———；

m2-93一m

4

(3)a+2———；

z一a

a2—b2ab—ba

")abab—aba'

五、课堂小结

1.同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，

但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.

2.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体,

即看成是分母为1的分式，以便通分.

3.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分

式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算

简化.

4.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.

六、布置作业

教材第146页习题15.2第4,5题.

教与反思＜

从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算

的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规

律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系.而

后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这

样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识

的层层落实与掌握.

第2课时分式的混合运算

1.明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

2.能灵活运用运算律简便运算.

■后难Q

重点

熟练地进行分式的混合运算.

难点

熟练地进行分式的混合运算.

一、复习引入

回忆：我们已经学习了分式的哪些运算?

1.分式的乘除运算主要是通过（）进行的，分式的加

减运算主要是通过（）进行的.

2.分数的混合运算法则是（）,类似的，分式的混合

运算法则是先算（，再算（）,最后算（

有括号的先算（）里面的.

二、探究新知

1.典型例题

例1计算：

x+24x

4-2+X2-4x+4）'x-2'

分析：应先算括号里的.

例2计算：

4y24x2y

x+2y+——---厂•

x—z7yrX2—4y2

分析：⑴本题应采用逐步通分的方法依次进行;

x+2y

（2）x+2y可以看作

例3计算：

11x+y

衮―xTy.（入―X—y）.

分析：本题可用分配律简便计算.

1111

例（；）

4[（,a―十卜b、）—2（a—bB）—2]+Jar+fb—a——-bR-

分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分.

2a1ab

例5（教材例7）计算（x）2•—K+左

ba一bb4

2a1ab

4a21a4

b2a-bbb

4a24a4a24a(a—b)

b2(a—b)B2b2(a-b)b2(a—b)

4a2—4a2+4ab4ab

b2(a—b)ba(a—b)

4a

ab—b2-

点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除,

后加减.

例6（教材例8）计算:

52m—4

⑴g+2+广，i；

x+2x—1x—4

X2一4x+4zX

52m—4

解：⑴(1^1+2+^^一)•一

2—m3—m

(m+2)(2—m)+52m—4

2—m3—m

9—m22(m—2)

2—m3—m

(3—m)(3+m)—2(2—m)

2—m3—m

=—2(m+3)；

x+2x—1

(2)(X2—2XX2一4x+4)•

x

x+2x—1x

'x(x-2)(x—2)2x-4

(x+2)(x—2)—(x—1)xx

x(x一2)2x一4

X2一4一X2+X

(x—2)2(x—4)

1

=(x—2)2,

分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：

⑴一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算

律会使运算简便.

⑵要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分

或通分时用，可避免运算烦琐.

(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”.

(4)结果要化为最简分式.

强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步

提高运算能力.

三、巩固练习

X2

；

1.(1)-----f—X—1

2x—1

"CH；

2ab2bc

17(a-b)~(a-c)(a—b)~(c—a)，

11xy

(4)(-----+-।-

x一yx十yX2-y2

2.教材第142页第1,2题.

四、课堂小结

1.分式的混合运算法则是先算（），再算（）,

最后算（），有括号先算（）里的.

2.一些题应用运算律、公式能简便运算.

五、布置作业

1.教材第146页习题15.2第6题.

]1X2—2x1

2.先化简再求值：万一——r•—，其中x="一1.

X十1X2-1X十1\]

客隹讯*“<

分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分

解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增

加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力.

15.2.3整数指数得

敦与目标

1

1.知道负整数指数靠a-n=—.（aWO,n是正整数）

2.掌握整数指数靠的运算性质.

3.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.

重用难用

重点

掌握整数指数嘉的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小

于1的数.

难点

负整数指数基的性质的理解和应用.

敦字设计<

一、复习引入

1.回忆正整数指数易的运算性质：

⑴同底数的事的乘法：am-an=am+n（m,n是正整数）；

（2）黑的乘万：（am）n=amn（m,n是正整数）；

（3）积的乘方：（ab）n=anbn（n是正整数）；

（4）同底数的晶的除法：am+an=am-n（aRO,m,n是正整数，

m>n）；

&2,n

⑸分式的乘方：（/二工⑴是正整数）.

2.回忆。指数塞的规定，即当aWO时，ao=l.

二、探究新知

H3a31

（一）1.计算当aWO时，a3+a5=—=-------=—,再假设正整数

指数易的运算性质am+an=am—n（aW0,m,n是正整数，m>n）中

1

的m>n这个条件去掉，那么a3+a5=a3-5=a-2.于是得到a-2=—

（aWO）.

总结：负整数指数易的运算性质：

1

一般的，我们规定：当n是正整数时，a-n=—（aHO）.

An

2.练习巩固：

填空：

(1)—22=,(2)(-2)2=,

(3)(-2)o=,(4)2o=,

(5)2-3=----------,(5)(-2)—3=-----------

3•例1(教材例9)

计算：

bs

⑴a-2+a5；(2)(—)-2；

a2

(3)(a-ib2)3；(4)a—2b2•(a2b-2)-3.

1

：(l)a—2a,5a.-2—5a—7——；

a7

bsb-6a4

(2)(—)-2=—=a4b-6=;

a2a-4D6

be

(3)(a-it)2)3a—3b6―；

3.3

bs

(4)a-2b2,(a2b-2)-3=a-2b2-a-6b6=a-8b8=一.

a8

［分析］本例题是应用推广后的整数指数靠的运算性质进行

计算，与用正整数指数嘉的运算性质进行计算一样，但计算结果

有负指数届时，要写成分式形式.

4.练习：

计算：⑴(X3y-2)2；(2)x2y-2•(x-2y)3；

(3)(3x2y—2)2+(x—2y)3.

5•例2判断下列等式是否正确？

a

(1)am—2,nama_n；(2)(b)n^=anb_n.

［分析］类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数累

的引入可以使除法转化为嘉的乘法这个结论，从而使分式的运算

与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确.

(二)1.用科学记数法表示值较小的数

1

因为0.1=为=10—1；0.01==;

0.001==……

所以0.000025=2.5X0.00001=2.5X10-5.

我们可以利用10的负整数次累，用科学记数法表示一些绝对

值较小的数，即将它们表示成aX10-n的形式，其中n是正整数,

1<|a|<10.

2•例3(教材例10)纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-

9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1

立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的

间隙忽略不计)

［分析］这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表

示小于1的数.

3.用科学记数法表示下列各数：

0.0004,-0.034,0.00000045,0.003009.

4.计算：

(1)(3X10-8)X(4X103);(2)(2X10-3)2^(10-3)3.

三、课堂小结

1.引进了零指数累和负整数累，指数的范围扩大到了全体整

数，晶的性质仍然成立.

2.科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表

示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足1W|a|＜

10,其中n是正整数.

四、布置作业

教材第147页习题15.2第7,8,9题.

教与反思＜

本节课教学的主要内容是整数指数累，将以前所学的有关知

识进行了扩充.在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在

能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新

知识的理解.

15.3分式方程（2课时）

第1课时分式方程的解法

教与目标＜：«<

1.理解分式方程的意义.

2.理解解分式方程的基本思路和解法.

3.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的

验根方法.

：«<

重点

解分式方程的基本思路和解法.

难点

理解解分式方程时可能无解的原因.

敦亨设计＜

一、复习引入

问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大

航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km

所用的时间相等，江水的流速为多少？

90

［分析］设江水的流速为x千米/时，根据题意，得一丁=

十v

60

—①

30—v

方程①有何特点？

［概括］方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样

的方程叫做分式方程.

提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？

辨析：判断下列各式哪个是分式方程.

x+22y一z1y1

⑴x+y=5;⑵=;(3);(4)-0;(5)+2x=5.

DJXX-I-DX

根据定义可得：⑴⑵是整式方程，(3)是分式，(4)⑸是分式方

程.

二、探究新知

1.思考：怎样解分式方程呢？

为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

⑴回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得

到一点启发？

⑵有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方

程呢？

［可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结］

方程①可以解答如下：

方程两边同乘以（30+v）（30—v）,约去分母，得90（30-v）=

60（30+v）.

解这个整式方程，得v=6.

所以江水的流度为6千米/时.

［概括］上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以

同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘

的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

110

2•例1解方程:=x2-25,②

X—5

解：方程两边同乘（X2—25）,约去分母，得x+5=10.

解这个整式方程，得x=5.事实上，当x=5时，原分式方程

左边和右边的分母（X—5）与（X2—25）都是0,方程中出现的两个分式

都没有意义，因此，x=5不是分式方程的根，应当舍去，所以原

分式方程无解.

解分式方程的步骤:

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知

数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解

（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行

检验

3.那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？

解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子

(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30—v),得到整式方程，它

的解v=6.当v=6时，(30+v)(30—v)W0,这就是说，去分母时，

①两边乘了同一个不为。的式子，因此所得整式方程的解与①的

解相同.

方程②两边乘(x—5)(x+5),得到整式方程，它的解x=5.当x

=5时，(X—5)(x+5)=0,这就是说，去分母时，②两边乘了同一

个等于。的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为。的现

象，因此这样的解不是②的解.

4.验根的方法：

解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否

使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将

它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零.如果为

零，即为增根.

如例1中的x=5,代入X2—25=0,可知X=5是原分式