高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲数列的概念与简单表示法(分层精练)(原卷版+解析)

第01讲数列的概念与简单表示法A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（

）A．110 B．128 C．144 D．892．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20253．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（

）A． B．C． D．4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（

）A．64 B．62 C．32 D．306．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．57．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（

）A．287 B．272 C．158 D．143二、多选题9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（

）A． B．C． D．10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（

）A． B．是周期数列 C． D．三、填空题11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.四、解答题13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.(1)求的通项公式；B能力提升1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（

）个．A．4753 B．4851 C．4937 D．49502．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（

）A．127 B．256 C．341 D．5123．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（

）A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.(1)若，求的通项公式.(2)若，求的通项公式.第01讲数列的概念与简单表示法A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（

）A．110 B．128 C．144 D．89【答案】C【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，所以，，又因为，，所以，；，；，；，；，；．故选：C.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【详解】由题意，，，两式相减，得，．，．当时，，，是首项为1，公差为1的等差数列．．故选：B3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】把，2，3，4依次代入通项公式，得，，，.故选：A4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，，，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和为．故选：C．5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（

）A．64 B．62 C．32 D．30【答案】B【详解】，，则，，，.故.故选：B6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【详解】因为，，所以，，，，，，，，，∴．故选：A．7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】当时，数列恒为负，当时，数列恒为正，所以当时最小.故选:B.8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（

）A．287 B．272 C．158 D．143【答案】D【详解】因为数列满足，且，所以，,所以.故选：D.二、多选题9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项错误；对于C项，因为，所以，，，观察可知，所以数列是周期数列，周期是3，则，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：ACD.10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（

）A． B．是周期数列 C． D．【答案】ABC【详解】由题意，数列满足，，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；当n=5时，；当n=6时，，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；又由，所以C正确；因为，所以，所以D错误．故选：ABC．三、填空题11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．【答案】【详解】，两边同除得：，所以，即，化简得，∵，∴．故答案为：.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.【答案】【详解】由已知可得，，，，，，所以，是一个周期数列，周期为3，所以，.故答案为：.四、解答题13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；【答案】【详解】数列满足，，，且，所以当n=1时成立.所以.14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．【答案】【详解】依题意，可得，即，解得．15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.(1)求的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1）∵，当时，，当时，，所以，即（），又∵也适合，∴；B能力提升1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（

）个．A．4753 B．4851 C．4937 D．4950【答案】B【详解】因为，所以或，因为，又，所以，不妨设99个差中有个5，个，则，解得，于是，所求数列的99个差中，有97个5，2个，因为这97个5，2个的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列，所以所求数列的个数为.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（

）A．127 B．256 C．341 D．512【答案】C【详解】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，∴当n为奇数时，，∴，又，∴，∴，故选：C．3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（

）A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立【答案】BCD【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立；正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有，利用累加法，得，得到，n=1时也成立.对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；对于B，令，解得；令，解得；故B正确；对于C，，则，整理得，，故C正确；对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确.故选：BCD.4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.【答案】①②③【详解】斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.，②正确.，所以③正确.当时，，，所以④错误.故答案为：①②③5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·【答案】