高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第28练等比数列(原卷版+解析)

第28练等比数列一、课本变式练1.（人A选择性必修二P40习题4.3T1变式）已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（

）A． B．4 C． D．62.（人A选择性必修二P40习题4.3T9变式）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．5123.（人A选择性必修二P40习题4.3T8变式）设数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．4.（人A选择性必修二P40习题4.3T10变式）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．二、考点分类练(一)等比数列基本量的计算5.（2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺最后一卷）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．6.（2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）数列中，，对任意m，，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．57.（2022届福建省厦门第一中学高三考前最后一卷）已知等比数列的前项和为，若，，则______．(二)等比数列的证明8．（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．9.（2023届山西省大同市高三上学期第一次学情调研）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.(三)等比数列的性质10.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．411.（多选）（2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期5月模拟）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列(四)等差数列与等比数列的交汇12.在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．513.在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．86三、最新模拟练14.（2022届青海省海东市第一中学高三模拟）已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．15.（2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期模拟）已知数列的前项和为，满足，则（

）A． B． C． D．16.（2022届上海市崇明区二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列是递减数列C．数列存在最小项 D．数列存在最大项17.（多选）（2023届广东省高三上学期第一次联考）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里18.（多选）（2022届山东省淄博市高三教学质量检测）若数列的前n项和为，且，则（

）A． B．C．数列是等比数列 D．19.（2022届上海市闵行区二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；20.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．(1)求，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．21.（2022届浙江省数海漫游高三下学期三模）已知数列满足．数列是公差为q的等差数列，数列是公比为q的等比数列，．(1)若，求数列的通项公式；(2)若，证明：．四、高考真题练22.（2022高考全国卷乙）已知等比数列的前3项和为168,,则（）A.14 B.12 C.6 D.323．(2019高考全国卷丙)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 ()A．16 B．8 C．4 D．224．(2017高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ()A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏25.(2019年高考全国卷乙)记为等比数列的前项和．若，，则．26.（2022新高考全国卷2）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且．（1）证明：；（2）求集合中元素个数．五、综合提升练27.（2022届浙江省“数海漫游”高三下学期第二次联考）已知等比数列的公比，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则28.（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则29.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么__________．30.（2022届上海市虹口区高三二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.第28练等比数列一、课本变式练1.（人A选择性必修二P40习题4.3T1变式）已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（

）A． B．4 C． D．6【答案】D【解析】因为，，则，所以．故选D2.（人A选择性必修二P40习题4.3T9变式）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【解析】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.故选A.3.（人A选择性必修二P40习题4.3T8变式）设数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，所，即，所以，即，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，从而，故.故选C4.（人A选择性必修二P40习题4.3T10变式）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．【解析】(1)因为，所以，所以，因为，所以，，故数列为等比数列，首项为，公比为2；(2)由（1）可知，所以，所以．二、考点分类练(一)等比数列基本量的计算5.（2022届安徽省合肥市第一中学高三下学期冲刺最后一卷）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得．故选D6.（2022届安徽省合肥市第六中学高三下学期高考前诊断暨预测）数列中，，对任意m，，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，∴，∴，则，解得故选C.7.（2022届福建省厦门第一中学高三考前最后一卷）已知等比数列的前项和为，若，，则______．【答案】【解析】由已知条件得，解得，∴(二)等比数列的证明8．（2023届广西柳州市新高三摸底考试）已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解析】(1)由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为(2)由（1）知，令则所以．．综上．9.（2023届山西省大同市高三上学期第一次学情调研）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.【解析】(1)证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列(2)由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述(三)等比数列的性质10.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选B.11.（多选）（2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期5月模拟）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】ABC【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选ABC.(四)等差数列与等比数列的交汇12.在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】由题意知表格为2461231故．故选A13.在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以又因为数列为等差数列，所以公差，所以，所以，解得.故选C.三、最新模拟练14.（2022届青海省海东市第一中学高三模拟）已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因为等比数列的公比，所以．故选D15.（2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期模拟）已知数列的前项和为，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】数列满足，且①；当时，②；①减②得，所以，（），，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即．故选A．16.（2022届上海市崇明区二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列是递减数列C．数列存在最小项 D．数列存在最大项【答案】C【解析】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值，综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误，故选C17.（多选）（2023届广东省高三上学期第一次联考）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】AD【解析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，所以，解得，所以，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，，所以C错误，对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，故选AD18.（多选）（2022届山东省淄博市高三教学质量检测）若数列的前n项和为，且，则（

）A． B．C．数列是等比数列 D．【答案】AC【解析】将代入得，A对；因为，则，，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，C对；，，BD错误.故选AC19.（2022届上海市闵行区二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；【答案】13【解析】由题意得：此等比数列的公比，由得：，则，即，所以能整除，且因为，所以，解得：，经检验，均满足要求，故满足条件的不同数列的个数为13个.20.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．(1)求，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】(1)设等比数列的公比为,由，，可得，即得，解得或（舍去），故，由数列的前n项和为，可得，当时，，适合该式，故；(2)若，则，故，即，即为常数列，则数列的前n项和为2n.21.（2022届浙江省数海漫游高三下学期三模）已知数列满足．数列是公差为q的等差数列，数列是公比为q的等比数列，．(1)若，求数列的通项公式；(2)若，证明：．【解析】(1)由，知，则是方程的两根．由知，．(2)由于，易知，且是方程的两根，故．由于均随n的增大而增大，且，故．则．四、高考真题练22.（2022高考全国卷乙）已知等比数列的前3项和为168,,则（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】设等比数列的公比为,若,则,与题意矛盾,则,解得,所以.故选D.23．(2019高考全国卷丙)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 ()A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．24．(2017高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ()A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【答案】B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得．25.(2019年高考全国卷乙)记为等比数列的前项和．若，，则．【答案】【解析】由，得，所以，又因为，所以，．26.（2022新高考全国卷2）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且．（1）证明：；（2）求集合中元素个数．【解析】（1）设数列的公差为,由得,整理得,,所以．（2）由（1）知,,因为,所以,整理得,即,由得,所以k的取值依次为,故集合中的元素个数为9．五、综合提升练27.（2022届浙江省“数海漫游”高三下学期第二次联考）已知等比数列的公比，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】例如，则，而，，即，所以，C错误；若，，则，例如取，，，D错误，同理此时，，B错误，排除BCD，只有A正确．故选A．28.（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（

）A．若