人教A版（2019）必修第二册期中考试测试(提升)(原卷版+解析)

期中考试测试（提升）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·高一专题练习）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．43．（2023云南·高一云南师大附中校考期末）设向量，，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④5．（2023吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2023·高一单元测试）已知中，，，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．//平面C． D．//平面二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高一专题练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（

）A．在方向上的投影向量为B．若，则C．D．的最小值是11．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数的四个命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的共轭复数的虚部为1C．若，则的最大值为3D．若复数，满足，，，则12．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（

）A．面 B．C．平面截该长方体所得截面面积为 D．三棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·全国·高一专题练习）若四面体中，，，，则四面体的体积是________.14．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．15．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．16．（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023·全国·高一专题练习）（10分）如图，在△ABC中，，，，，．(1)设，求x，y的值，并求；(2)求的值．.18．（2023·全国·高一专题练习）（12分）已知复数，，其中为虚数单位，．(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值．(2)求的值域．19．（2023四川成都·高一统考期中）（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角B的大小．(2)若，求周长的取值范围．20．（2023·全国·高一专题练习）（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若平面，求四棱锥的体积.21．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）（12分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．(1)求证：；(2)若，求三棱锥的体积．(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．22．（2023·全国·高一专题练习）（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．期中考试测试（提升）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·高一专题练习）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，因为为纯虚数，所以所以，，因为，所以，解得，则，即z的虚部为.故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】方法1：在平行四边形中，因为，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的应用）又∵，∴，解得，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，∵则，又∵，设，则即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，将其代入①得，故选：B.3．（2023云南·高一云南师大附中校考期末）设向量，，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或或，故选：B．4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④【答案】C【解析】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；若，，则或，故④不正确，故选：.5．（2023吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，所以为等边三角形，故选：B6．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作交于，如图，连接，则，又，所以，所以，所以是与所成的角或其补角，，，所以，，，所以，中，，是三角形内角，所以，所以与所成的角是，故选：C．7．（2023·高一单元测试）已知中，，，，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以A为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系如图所示，∵，∴，设点的坐标为，则，，∵|CP|＝1，∴，令，∴，其中，故当时，取最小值为7．故选：A．8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【解析】不妨设棱柱的高为，.B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，，，与不垂直，A不正确；对于B，，有，B正确；对于C，，有，C不正确；对于D，，由选项C知，，D正确.故选：BD10．（2023·全国·高一专题练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（

）A．在方向上的投影向量为B．若，则C．D．的最小值是【答案】ABD【解析】对于A选项，由题意可知，所以，在方向上的投影向量为，A对；对于B选项，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，设点，其中，由可得，所以，，所以，，所以，，，则，所以，，所以，，B对；对于C选项，，所以，，C错；对于D选项，，其中，、，，，所以，，因为，则，所以，故当时，取最小值为，D对.故选：ABD.11．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数的四个命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的共轭复数的虚部为1C．若，则的最大值为3D．若复数，满足，，，则【答案】ACD【解析】设，对A，，，故正确；对B，，所以，，其虚部为，故错误；对C，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示动点到定点的距离，由圆的性质知，，故正确；对D，设，因为，，所以，又，所以，所以，所以，故正确.故选：ACD12．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（

）A．面 B．C．平面截该长方体所得截面面积为 D．三棱锥的体积为【答案】ABD【解析】对于选项A：连接，为长方体，，，∴四边形是平行四边形，，平面，平面，面，故选项A正确；对于选项B：，，平面，在平面上的投影为，，故选项B正确；对于选项C：根据长方体对称性易知平面截该长方体所得截面面积为，，，，，，，由，可得，则，故C错误；对于选项D：三棱锥的底面积，高为，则三棱锥的体积为，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·全国·高一专题练习）若四面体中，，，，则四面体的体积是________.【答案】2【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，设，则，解得，．故答案为：2．14．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】在方向上的投影为．故答案为：．15．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．【答案】8【解析】因为且，所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，所以，表示圆上的点和点的距离，因为圆心到点的距离为，，故答案为：16．（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．【答案】【解析】由正弦定理及，得，∵，∴,∵，∴．由余弦定理，∴，即，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023·全国·高一专题练习）（10分）如图，在△ABC中，，，，，．(1)设，求x，y的值，并求；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【解析】（1），，，，.（2）.18．（2023·全国·高一专题练习）（12分）已知复数，，其中为虚数单位，．(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值．(2)求的值域．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）复数，，是实系数一元二次方程的两个虚根，所以，即，所以，所以，，.（2）.，，即.19．（2023四川成都·高一统考期中）（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角B的大小．(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以，因为，所以．（2）因为，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因为△ABC为锐角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周长的取值范围为：．20．（2023·全国·高一专题练习）（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若平面，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接.因为分别是的中点，四边形是矩形，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为，的中点为，所以，因为平面，平面，所以，因为底面是矩形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平