2025年高考数学复习题型突破训练：对数与对数函数（原卷版）

第04讲对数与对数函数

目录

第一部分：题型篇....................................................2

题型一：重点考查对数运算........................................2

题型二：重点考查对数函数的定义..................................3

题型三：重点考查对数换底公式....................................3

题型四：重点考查对数函数的定义域................................4

题型五：重点考查对数函数的图象过定点............................5

题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）..................5

题型七：重点考查求对数函数的单调区间............................6

题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用........................7

题型九：重点考查对数函数的综合性问题............................8

题型十：重点考查对数函数模型的应用..............................10

题型十一：重点考查反函数的应用..................................11

第二部分：方法篇...................................................12

方法一：可化为一元二次函数型....................................12

方法二：分类讨论................................................14

方法三：数形结合................................................16

第三部分：易错篇...................................................17

易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域................17

第一部分：题型篇

题型一：重点考查对数运算

典型例题

例题1.（2023春•湖南邵阳•高一统考开学考试）求值：

2ta3

⑵e-logi9.log278+lg4+lg25

、4

例题2.（2023秋•甘肃天水•高一统考期末）计算

1,,

(2)Iog--lg2-lg5+2lofo3

2O

精练核心考点

1.（2023秋•贵州黔西•高一统考期末）（1）计算：反8+3坨5+«叫一111/；

（2）若工+尸=3,求/一%-2的值.

2.（2023秋•贵州遵义•高一统考期末）求下列各式的值:

2

(1)(0.027)3+

7

(2)logs35-2log5-+log57-logs1.8.

题型二：重点考查对数函数的定义

典型例题

例题1.（2023•高一课时练习）若函数/。）=1吗尤+（/-4”5）是对数函数，贝!|。=_.

例题2.（2023秋•湖北•高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数/（》）=（〃-3a+3）log/,

⑴求的值；

（2）解不等式/（：）＞_/■

精练核心考点

1.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•高一校考开学考试）已知对数函数〃x）=（小一3帆+3）皿炉，则刃=

2.（2023•高一课时练习）已知“X）为对数函数，/f1j=-2,则/（/）=

题型三：重点考查对数换底公式

典型例题

例题1.（2023春•上海•高三校联考阶段练习）若12"=3〃=根，M--7=2,则机=__________,

ab

例题2.（2023秋•上海徐汇•高一统考期末）已知6、=2，=。（［为常数，且。＞0,awl）,则

----=.（用a表示）

xy

精练核心考点

1.（2023秋・福建厦门•高一统考期末）已知Ig2=a,lg3=6,则1（^12=（）

2.（2023•全国•高三专题练习）若10&42=。，⑷=5,用。，6表示叫灸28=

题型四：重点考查对数函数的定义域

典型例题

例题1.（2023•山东枣庄•统考模拟预测）函数]，=Jog。.§（3x-2）的定义域是（）

A.B.1|'，+00jC.（0,1]D.

例题2.（2023•全国•高三专题练习）〃x）=1-的定义域为_______________

Jlog?*-1）

例题3.（2023春•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）已知函数/卜）='1612的

log3（2-x）

定义域为.

精练核心考点

1.（2023春•浙江•高一校联考期中）已知函数/■（力二比卜山口计/.,则函数的值域为（）

A.（0,1]B.（-<»,1]C.D.[1,+<»）

函数了=蹴“一1）+工h的定义域为

2.（2023春•上海虹口•高三统考期中）

3.（2023春•上海青浦•高一统考开学考试）函数y=lg（3x-l）的定义域是

题型五：重点考查对数函数的图象过定点

典型例题

例题1.（2023春江苏常州福一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数V=bg0（x+2）+1（。>0,。w1）

的图象恒过定点P,若点尸在角。的终边上，则满足条件的。值可以为.

例题2.（2023春•四川雅安•高一雅安中学校考开学考试）函数>=1。8“（》-1）+4的图像恒过定点尸，

点P的坐标是.

例题3.（2023秋•广东广州•高一校考期末）已知函数/（x）=log”（x+2）-2,a>0且。片1的图象恒过定点

A,若点/在一次函数y=的图象上，其中私">0,则工+J■的最小值为.

mn

精练核心考点

1.（2023秋・湖北黄冈•高一统考期末）已知函数y=bg“（xT）+4（a>0,aWl）的图象过定点尸，且点尸在

指数函数/（X）图象上，则/'（10g46）=.

2.（2023秋•北京•高一校考期末）已知函数/（x）=l+log”（x-l）（a>0且awl）的图像恒过定点P,又点P的

坐标满足方程机x+即=2,则mn的最大值为.

3.（2023春•云南昆明•高三校考阶段练习）函数/（x）=log“（x-2）+l（a>0且。片1）的图象恒过的定点是

题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）

典型例题

例题1.（2023春•云南保山•高一校联考阶段练习）函数〃x）=lg（/+2x+时的值域为R,则实数加的

取值范围是（）

A.m>\B.m>lC.m<1D.mGR

例题2.（2023•高一课时练习）已知函数〃x）=lg，+l）,xe[T3],则的值域为（）

A.[0,+司B.[0,1）C.[Ig2,l]D.[0,1]

例题3.（2023•全国•高三专题练习）已知x,yeR,a>l,若且尤+了的最大值为g,则函

数/（力=1吗（-/+办+2a）的最小值为

2

例题4.（2023春•湖北•高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数〃x）=lnae,-4x+?-8的值域是实

数集R,则实数。的取值范围是.

精练核心考点

1.（2023・全国•高三专题练习）Sl^/（x）=log2Vx-log75（2x）,xe；,4的最小值为.

2.（2023秋•湖北武汉・高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数/（x）=lg（-/+4x-3）

的值域为.

3.（2023春•安徽安庆•高二校考阶段练习）若函数y=log/。/+3ax+2）的值域为R,贝匹的取值范围是

4.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=（log4X-31log44工.当xe1,16时，求该函数的值域;

题型七：重点考查求对数函数的单调区间

典型例题

例题1.（2023秋•山东威海•高一统考期末）函数/（》）=1。82》+1。8式2-幻的单调递减区间为（）

A.[1,2）B.（0,1]C.（-co,l]D.[1,+℃）

例题2.（2023•全国•高三专题练习）函数y=lg（2x-Y）的单调递减区间为

例题3.（2023秋•辽宁•高一大连二十四中校联考期末）已知函数/（x）=ln（a-—2x+2）,若〃x）在区

间，内单调递减，则”的取值范围是.

例题4.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末）若函数/（x）=l°g/bg2（G）在J'+s]上单调

21_4）

递减，则实数”的取值范围是.

精练核心考点

1.（2023春•云南•高二校联考阶段练习）己知函数y=l°gj/-2办+54在[2,+叫上为减函数，则实数。的

2

取值范围是（）

A.（f,2]B.[2,+s）C.（-4,2]D.[-1,2]

2.（2023春•黑龙江佳木斯•高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数〃x）=ln（x2-2x）的单调增区间是（）.

A.（-巩0）B.（0,+<»）C.（1,+℃）D.（2,+00）

3.（2023秋•河北邢台・高一邢台一中校考期末）已知函数/（尤）=10§1（T2+2x+7）的定义域是（乙加+6）,

2

则函数“X）的单调增区间为.

4.（2023秋•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）己知函数〃了）=1。8]（/-2%彳-5）,

3

若扭=2,求/（x）的单调区间.

题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用

典型例题

例题1.（2023春•湖南•高二临澧县第一中学校联考期中）已知,则实数。的取值范

围是（）

A.B.（0,1）C.D.

例题2.（2023秋•山东蒲泽•高三统考期末）已知函数了=炮（--依+1）在（2,+8）上单调递增，则。的

取值范围为（）

A.|',+00]B.[4,+co）

C.（-oo,4]D.

58

例题3.（2023•全国•模拟预测）已知x=log°85,7=0.8-°-,z=0.5°-,则（）

A.z<x<yB.x<z<yC.y<x<zD.x<”z

例题4.（2023•北京海淀•清华附中校考模拟预测）不等式210g3x-（x-1）（尤-2）>0的解集为.

精练核心考点

1.(2023•江西南昌•统考二模)已知a=log40.4,b=log0.40.2,c=0.4°2,则()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

003

2.(2023•天津•校联考一模)已知。=log32,b=6,c=44，则的大小关系是()

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

3.(2023秋・山东临沂•高一校考期末)已知a>0且awl,函数/(x)=<::"+'”<1,满足西/不时,

logax,jc>l

恒有‘(再)一"％)>。成立,那么实数。的取值范围()

X］-x2

A.(1,2)B,^1,—C.(l,+oo)D.—

4.(2023秋•辽宁・高一大连二十四中校联考期末)已知函数/(x)=ln("-2X+2),若“冷在区间，心口

内单调递减，则。的取值范围是.

5.(2023春•重庆江北•高一字水中学校考开学考试)若函数>=1。&(3-依)在［0,4］上单调递增，贝壮的取

值范围是

题型九：重点考查对数函数的综合性问题

典型例题

例题1.(2023秋•江西吉安•高一江西省新干中学校考期末)已知函数/(x)=log“(l-x),ga)=log.(l+x).其

中a>0且aw1.

(1)求函数〃x)+g(x)的定义域；

(2)判断函数〃x)+g(x)的奇偶性，并证明；

(3)若〃x)>g(x),求x的取值范围.

例题2.(2023秋•河南郑州•高一郑州市第四十七高级中学校考期末)已知函数“无)=啕亍唾收看.

⑴求函数/（X）的值域；

（2）解关于云的不等式/（无）＞3；

⑶若对任意的xe[2,4],不等式"2尤）-elogzX+lNO恒成立，求实数〃的取值范围.

例题3.（2023秋•河北邯郸•高一校考期末）已知函数/（无）=；log2（4、+l）-l

⑴求证：“X）的图象关于原点对称；

⑵设g（无若的图象恒在函数g@）图象的上方，求实数X的取值范围.

精练核心考点

1.（2023秋・浙江杭州•高一校考期末）已知函数/（》）=1。8.（/+2"+2。一1）.

⑴当时，求函数“X）的单调区间；

（2）若/（X）在（-叫-2）上单调递减，求°的取值范围.

2.（2023春•重庆九龙坡•高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知aeR,函数〃x）=log?-3x+a）.

⑴若函数〃x）的图象经过点（3,1）,求不等式〃力＜1的解集；

（2）设a＞2,若对任意，e[3,4],函数〃x）在区间上J+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求。的取值范

围.

-------Fa],a£R.

3.（2023秋•山东枣庄•高一统考期末）已知函数〃x）=lg

x-1J

⑴若函数/（X）是奇函数，求实数。的值;

⑵当xe[l,2）时，函数y=/（2）的图象始终在函数y=lg（4-2。的图象上方，求实数。的取值范围.

题型十：重点考查对数函数模型的应用

典型例题

例题1.（2023秋•四川凉山•高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常

发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有

了越来越清晰的认识与了解.例如：地震时释放出的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为

M=|lg£-y,2022年11月16日，我州会理市发生里氏4.3级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云

南省丽江市宁范县发生的里氏5.5级地震所释放能量的约多少倍（）

A.IOj倍B.0.56倍C.10*倍D.0.83倍

例题2.（2023•全国•高三专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，

最大数据传输速率C取决于信道带宽沙，经科学研究表明：C与用满足C=fnog2（l+4：），其中S是信道

内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1

N

可以忽略不计.若不改变带宽沙，而将信噪比”从1000提升至4000,则。大约增加了（）（附：

N

lg2Po.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

例题3.（2023•辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学

原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最

大信息传送速率C的公式C=彳Jog2（l+D其中少是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功

率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中三叫做信噪比.根据此公式，在不改变少的前提下,

将信噪比从99提升至X,使得C大约增加了60%,则彳的值大约为（）（参考数据：10。2，158）

A.1559B.3943C.1579D.2512

例题4.（2023•高一单元测试）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称

为“声压”.用尸表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已

知它与“某声音的声压尸与基准声压制=2x10-spa的比值的常用对数（以10为底的对数）值或无t匕”，

p

即S=Og丁=（A是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.

NX1U

（1）求声压级S关于声压P的函数解析式；

（2）已知两个不同的声源产生的声压4，4叠加后得到的总声压尸=5邛+6,而一般当声压级S<45B

时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下,

请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2、0.3）

精练核心考点

1.（2023春•四川宜宾•高一校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经

对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：

lg£=4.8+1.5M.2008年5月12日，我国汶川发生了里氏8.0级大地震，它所释放出来的能量约是2022年9月

5日我国泸定发生的里氏6.8级地震释放能量的（）倍.（参考数据：血屋32,10「屋63,⑹屋79）

A.32B.63C.79D.100

2.（2023•高一课时练习）声音的等级/（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/n?）满足〃x）=10xlg——

1x10一

喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时

声音强度约为一般说话时声音强度的（）

A.1。5倍B.倍C.1010倍D.1012倍

3.（2023•全国•高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是

五声音阶：宫、商、角、徵、羽；西方音阶是七声音阶"■0。、尺0、的!；/7以50/、£0、57"，它们虽然不同，却又极其相似，

最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即"十二平均律".从数学的角度来看，这12

个半音的频率成公比为蚯的等比数列.已知两个音高4，4的频率分别为力，力，且满足函数关系：

?=（蚯产4,已知两个纯五度音高的频率比?=则它们相差的半音个数以-4|=________.（其中

7171/

lg3«0.48,lg2«0.30,结果四舍五入保留整数部分）.

4.（2023•上海奉贤•高三校考阶段练习）某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活

动，规定甲服装每天降价5%,直到其售完为止；乙服装每天降价7%,直到其售完为止.假设两种服装在10

天内均没有售完，天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.

题型十一：重点考查反函数的应用

典型例题

例题1.（2023春•福建莆田•高二莆田第十中学校考阶段练习）已知点用与点N分别在函数〃x）=，与

g（x）=lnx图象上，则1MM的最小值为（）

1F）

A.vB.—C.V2D.1

22

x

例题2.（多选）（2023春•广东广州•高一广东实验中学校考阶段练习）已知/（尤）=「（无>1）,若

x-1

分别是方程〃x）=e'和"x）=lnx的根，则下列说法正确的是（）

A.«<21n2B.-+^>1C.a/3<6D./3+lnj3>4

aP

14

例题3.（2023•山东日照•统考二模）已知曲线了=/"与y=—Inx的两条公切线的夹角余弦值为了，则

m5

精练核心考点

1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e"+x-2的零点为。，函数g（x）=lnx+x-2的零

点为b,则下列不等式中成立的是（）

A.e"+ln6>2B.ea+\nb=2

C.a+b=2D.ab>\

2.（多选）（2023秋・江西萍乡•高一统考期末）已知直线y=2-x与直线N=x相互垂直，若函数

2x

工（X）=X2+3X-5（X>0）,f2（x）=e+x-2,力（x）=lnx+2尤一4的零点分别为不，々，%,则下列结论正

确的是（）

A.xx<x2<x3B.x2+x3=2

X<O

C.Z（1）D.f3（x2）=f2（x3）

3.（2023秋,陕西渭南•高一统考期末）设方程23+工-6=0的解为毛，方程182；+尤-6=0的解为x?，则

再+x2=.

第二部分：方法篇

方法一：可化为一元二次函数型

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知〃x）=2+log3X,xe[l,9],则y=[/（尤）了+/的值域为

()

A.[6,23]B.[6,13]C.[4,11]D.[4,20]

例题2.(2023春•云南普洱•高一校考阶段练习)已知函数/(x)=，g2：|{logg；!，xe[行」6],

(1)求log?X的取值范围；

⑵求f(x)的值域.

例题3.(2023秋•河北保定•高一统考期末)已知函数/(乂)=(g%)2-0104--3,XG[1,9].

(1)当。=0时，求函数/(x)的值域；

(2)若函数/(%)的最小值为-6,求实数a的值.

精练核心考点

1.(2023春・福建莆田•高一校考期中)已知函数7"(x)=l-21og3x,g(x)=log3x.

(1)求函数了=[/(尤)]-6g(x)+3的零点；

2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=（log4X-3"og44x.当xe1,16时，求该函数的值域;

3.（2023・全国•高三专题练习）函数〃x）=log2\/Llog近（2x）,xe；,4的最小值为.

方法二：分类讨论

典型例题

例题1.（2023春•江西•高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数/■（x）=log3（3、+l）.

⑴若〃力=1咆（5'-4，+1）,求x的值；

⑵若函数尸（x）=/（x）-x-log3@・3加eR）有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.

例题2.（2023春•辽宁大连•高一大连市一。三中学校考阶段练习）已知〃x）=log.S+l）-（a>0

且QW1）.

⑴证明：函数;'（X）是偶函数；

⑵当。=4时，若函数g（无）=/（切-1。8432-3同只有一个零点，求实数的取值范围.

精练核心考点

1.（2023秋•广东湛江•高一雷州市第一中学校考期末）已知函数“无）=广|（0>0且"1）.

（1）若函数〉=/卜）的图象经过点尸（3,4）,求。的值；

（2）比较/［坨+）与/■（-2.1）大小，并写出比较过程；

（3）若〃lga）=100,求。的值.

2.（2023秋•浙江杭州•高一校考期末）已知函数/（无）=1。8”（/+2g+2。一1）.

⑴当。=g时，求函数“X）的单调区间；

（2）若在（-叫-2）上单调递减，