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文档简介
专题09线段上动点问题的两种考法
类型一、线段和差问题
例1.已知点C在线段AB上,AC=2BC,点D,E在直线AB上,点D在点E的左侧.
(1)若AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动.
①如图1,当E为BC中点时,求AD的长;
②点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CF=3,求AD的长;
(2)若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动,且满足关系式半手=:,求累的值.
BE2BD
;------D----------EB----------------------?---------W
图1备用图
1a7CD1711
【答案】⑴①AD的长为6.5;②AD的长为[或:;(2)w的值为2或已
33BD3113
【详解】解:(1)团AC=2BC,AB=15,
回BC=5,AC=10,
①团E为BC中点,
团CE=2.5,
团DE=6,
团CD=3.5,
回AD=AC-CD=10-3.5=6.5;
②如图2,当点F在点C的右侧时,
•-----------------•----------------•---------•••
ADCEFB
图2
0CF=3,AC=10,
团AF=AC+CF=13,
团AF=3AD,
1-13
团AD=-Ab=——;
33
如图3,当点F在点C的左侧时,
••••♦•
A-0FECB
图3
回AC=10,CF=3,
团AF=AC-CF=7,
团AF=3AD,
1y7
团AD=-A/=一;
33
137
综上所述,AD的长为了或(;
(2)①当点E在线段BC之间时,如图4,
•♦•••
ADcEB
-图4
设BC=x,
则AC=2BC=2x,
团AB=3x,
团AB=2DE,
回DE=1.5x,
设CE=y,
团AE=2x+y,BE=x-y,
团AD=AE-DE=2x+y-1.5x=0.5x+y,
AD+EC3
回
BE2
0.5x+y+y3
团----------
%一y2
2
0my=-x,
团CD=1.5x--x=-x,BD=3x-(0.5x+y)=x,
71414
17
CD14_17
回
BD31-31;
—X
②当点E在点A的左侧,如图5,
I151」
DEACB
图5
设BC=x,贝DE=1.5x,
设CE=y,
团DC=EC+DE=y+L5x,
团AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x,
AD+EC3
回--------=—,BE=EC+BC=x+y,
BE2
y-0.5%+y3
x+y2
团y=4x,
团CD=y+1.5x=4x+1.5x=5.5x,BD=DC+BC=y+1.5x+x=6.5x,
CD5.5x_11
团一=
BD6.5%13
③点D、E都在点C的右侧时,如图6,
ACDBE
图6
设BC=x,贝l|DE=1.5x,
设CE=y,
0DC=EC-DE=y-1,5x,
团AD=DC+AC=y-1.5x+2x=y+0.5x,
AD+EC3
团--------=一,BE=EC-BC=y-x,
BE2
y+0.5x+y3
y-x2'
0y=-4x(舍去)
CD1711
综上所述g的值为5或
BD3113
【点睛】本题考查了两点间的距离,线段的和差,线段的中点,以及分类讨论的数学思想,
比较难,分类讨论是解答本题的关键.
例2.已知线段AB,点C在直线AB上,。为线段8C的中点.
---------------------------------------•------------------------------•---------------------------------
AB
AB
(备用图)
⑴若AB=8,AC=2,求线段C。的长.
⑵若点E是线段AC的中点,请写出线段。E和的数量关系并说明理由.
【答案】(1)3或5
(2)AB=2DE,理由见解析
【分析】(1)根据点C在直线A3上,分两种情况:①C在点A的右侧,②C在点A的左
侧,根据线段的和与差可得结论;
(2)AB=2DE,分三种情况:根据线段中点的定义可得结论.
【详解】(1)解:如图1,当。在点A右侧时,
•--------------•--------------------------•--------------------------•
ACDB
图1
0AB=8,AC=2,
团BC=AB—AC=6,
回。是线段8c的中点,:
0CD=-BC=3;
2
如图2,当C在点A左侧时,
•----------•--------------------•---------------------------------•
CADB
图2
[EAB=8,AC=2,
团BC=AB+AC=10,
团。是线段的中点,
0CD=-BC=5;
2
综上所述,CD=3或5;
(2)解:AB=2DE.
理由是:如图3,当C在点A和点8之间时,
•------•-------•-------------------------•--------------------------•
AECDB
图3
SE是AC的中点,D是BC的中点,
回AC=2EC,BC=2CD,^\AB=AC+BC=2EC+2CD=2DE;
如9-图4•,当•C-在-点A-左-侧时•,-------•
CEADB
图4
同理可得:AB=BC-AC=2CD-2CE=2(CD-CE)=2DE;
如9-图-5,-当C-在-点B-右-侧时-,-•~•---•----•
AEBDC
图5
同理可得:AB=AC-BC=2EC-2CD=2(EC-CD)=IDE.
【点睛】本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关
键.
【变式训练1】如图,点加位于数轴原点,C点从加点出发以每秒1个单位长度的速度沿
数轴向左运动,。点从8点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动.
AC_MD.BAMB
O-o
(1)若点A表示的数为-3,点8表示的数为7,当点C,。运动时间为2秒时,求线段。的
长;
⑵若点A,8分别表示-2,6,运动时间为f,当t为何值时,点。是线段BC的中点.
(3)^AM=-AB,N是数轴上的一点,尺.AN—BN=MN,求曳8的值.
4AB
【答案】(i)cr>=3
(2)当/=|时点。是线段8c的中点
⑶k5或1
【分析】(1)根据路程=速度x时间可以计算出C、。运行的路程,进而求出的值,根据
=+可求;
(2)先表示出5。和CD,再根据点。是线段5c的中点,列方程求解;
(3)分N在线段A5上和点N在线段A5的延长线上两种情况,分别求解.
【详解】(1)解:团CM=2xl=2,30=2x3=6,
又回点A表示-3,点3表示7,
团AM=3,BM=7
国MD=BM—BD=7—6=1
^\CD=CM+MD=2+1=3.
(2)解:团点A,3分别表示一2,6,
所以AM=2,BM=6,MC=t,BD=3t,MD=6-3t,CD=MD+MC=t+6—3t
当。是BC的中点时CD=BD,即7+6-3t=3t,Z=|
团当r=g时点。是线段BC的中点.
(3)解:①当点N在线段A3上时,如图
I_________________________|__i_____________।
AMNB
BAN—BN=MN,
^AN-AM=MN
0BN=AM,
^AM=-AB
4
1MN
BMN=-AB,即Rn——
2AB-2
②当点N在线段A5的延长线上时,如图
AMBN
©AN—BN=MN,^AN-BN=AB
口门MN1
^\MN=AB,BP——=l
AB
综上所述M嗯N=:I或1.
AID2
【点睛】本题考查了线段的和差和中点,及两点间的距离,一元一次方程,解题分关键是掌
握点的移动路程与线段的关系.
【变式训练2】已知点C在线段A3上,AC=23C,点。,E在直线上,点。在点E的
左侧.
IIIIIIII
ADCEBACB
图1备用图
⑴若AB=24,DE=16,线段DE在线段AB上移动,
①当点E是线段8C的中点时,求AD的长;
②当点C是线段DE的三等分点时,求AD的长;
4D-i-FC3CD
⑵若=点E在线段AB上移动,且满足关系式二=:,则==_(直接写
BE2AB
出结果).
Q917
【答案】⑴①4,②了;⑵石
【分析】(1)根据已知条件得到3C=8,AC=16,①由线段中点的定义得到CE=4,求得
CD=12,由线段的和差得到仞=AC-CD=16-12=4;②当点C线段DE的三等分点时,
1323232
^^CE=-DE=—^CE=-DE=—>S=BC则C£>=丁,由线段的和差即可
316333
得到结论;
(2)①当点E在线段BC之间时,设BC=x,CE=y,则AC=23C=2x,求得A3=3x、
DE=1.5x,AE=2x+y,BE=x-y、AO=0.5尤+y,然后根据叱产=,可得y=枭,
BE27
717CD
CD=1.5X--X=—X,再代入%即可解答;②当点E在线段AC上时,设
BC=x>0,CE=y>0,则AC=23C=2x,求得AB=3x、DE=1.5x.
40+FC33
AE=2x-y,BE=x+y、AD=0.5x-y,然后根据叫#=[可得>=_白<0不符题意.
BE22
【详解】(1)解:团AC=2BC,AB=24,
138c=8,AC=16,
①回£为BC中点,
团CE-4,
团。石=16,
回CD=12,
^AD=AC-CD=16-12=4;
②回点C是线段DE的三等分点,£>£=16,
11A。
^CE=-DE=—^CE=-DE=—>8=BC(不合题意,舍去),
3333
^CD=DE-CE=16--=—
33,
1A2。
BAD=AC-CD=16--=—;
33
(2)解:①当点E在线段3c上,如图,
।।,।।
ADCEB
设8C=%,CE=y,则AC=25C=2x,
0AB=3x,
^AB=2DE,
0DE=1.5x,
团AE=2x+y,BE=x-y,
^\AD=AE—DE=2x+y—1.5x=0.5x+y,
0.5%+y+y3
x-y2'
2「八…217
By=—x,CD=1.5x——x=——x,
7714
17
团CD值尤=17;
AB~3x~42
如图:当点E在线段AC上时,
IIIII
ADECB
设3c=x>0,CE=y>0,则AC=2BC=2尤,
回AB-3x,
^AB=2DE,
团DE=1.5x,
团AE=2x—y,BE=x+y,
AD=AC—DE—EC=2x—1.5x—y=0.5%—y,
AD+EC3
0
BE2
0.5x-y+y3
团-------------=~
x+y2
3
团y=——x<0不符题意,
团点E不可能在线段AC上.
CD17
综上所述篇的值为a
【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点,准
确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键.
【变式训练3】如图已知线段A3、CD,
cAfABND
(1)线段AB在线段。上(点C、A在点8的左侧,点。在点C的右侧)
①若线段AB=6,CD=14,M、N分别为AC、8。的中点,求MN的长.
②M、N分别为AC、8。的中点,求证:MN=;(AB+CD)
⑵线段8在线段AB的延长线上,M.N分别为AC、3D的中点,②中的结论是否成立?
请画出图形,直接写出结论
【答案】⑴①10,②见解析
⑵不成立,见解析
【分析】(1)①利用CD-求出AC+3D的值,利用中点平分线段,得到
AM=^AC,BN=^BD,再禾lj用MN=AM+A3+BN=;(AC+B£>)+AB,即可得解;(2)
利用中点平分线段,得到AM=gAC,2N=;2D,进而得到
AM+BN=^(AC+BD)=^(CD-AB),再利用ACV=AVf+AB+3N,即可得证;
(2)分C点在。点的左侧,点N在点C的右侧,C点在。点的左侧,点N在点C的左侧,
以及。点在C点的左侧,三种情况分类讨论,求解即可.
【详解】(1)解:①回AB=6,CD=14,
^AC+BD=CD-AB=8,
0M.N分别为AC、8。的中点,
S\AM=-AC,BN=-BD,
22
^\MN=AM+AB+BN=^(AC+BD)+AB=^x8+6=10;
②团0、N分别为AC、3。的中点,
^\AM=-AC,BN=-BD,
22
0AC+BD-CD—AB,
^AM+BN=^(AC+BD)=^(CD-AB),
SMN=AM+AB+BN=^(CD-AB)+AB=^CD+ABy
(2)不成立;
回M、N分别为AC、8。的中点,
S\AM=MC=^AC,BN=ND=^BD,
①当C点在。点的左侧,点N在点C的右侧时,如图:
IIIIII
AMBCND或
IIIIII
ABMCND
MN=MC+CN
=MC+BN-BC
=-AC+-BD-BC
22
=1(AB+BC)+|(BC+CD)-BC
=i(AB+C£>);
②当C点在。点的左侧,点N在点C的左侧时,如图:
I_______II_____________I________I______________________I
ABMNCD或
IIIIII
AMBNCD
MN=AD-AM-DN
=AD--AC--BD
22
=AD-^(AD-CD)-^AD-AB)
=l(AjS+cr));
③当。点在C点的左侧时,如图:
|----------------------------------1_I——I-----------1------------------1T
ABMNDC或
।।।।i।
AMBNDC
MN^CM-CN=^AC-(CD+DN)=^AB+BD+CD)-[CD+^BD)]=1(AB-CD);
综上:MN=g(A3+。)或故结论不成立.
【点睛】本题考查线段之间的和与差.正确的识图,理清线段之间的和,差,倍数关系,是
解题的关键.注意分类讨论.
类型二、定值问题
例.如图,点尸是定长线段AB上一点,C、D两点分别从点尸、8出发以1厘米/秒,2厘
米/秒的速度沿直线AB向左运动(点C在线段”上,点。在线段3尸上).
(1)若点C、。运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明点尸在线段AB上的位置;
(2)在(1)的条件下,点。是直线上一点,且&。-3。=尸。,求学的值;
(3)在(1)的条件下,若点C、。运动5秒后,恰好有=此时点C停止运动,
点D继续运动(点D在线段PB上),点M、N分别是CO、PZ)的中点,下列结论:①PM-PN
的值不变;②"乜的值不变.可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并
AB
求值.
11111
ACPDB
【答案】(1)点P在线段AB的1处;(2):或1;(3)结论②”人的值不变正确,
33ABAB12
【分析】(1)设运动时间为t秒,用含t的代数式可表示出线段PD、AC长,根据PD=2AC,
可知点尸在线段AB上的位置;
(2)由4。-2。=尸。可知4。=尸Q+B。,当点Q在线段AB上时,等量代换可得AP=BQ,
再结合AP=^-AB可得?的值;当点Q在线段AB的延长线上时,可得AQ-BQ=AB=PQ,
3AB
易得的值.
AB
(3)点C停止运动时,CD^^AB,可求得CM与AB的数量关系,则PM与PN的值可以
含AB的式子来表示,可得MN与AB的数量关系,易知处的值.
AB
【详解】解:(1)设运动时间为t秒,则尸D=P3-2f,PC=AP-f,
由PD=2AC得尸8-2r=2(AP-f),即尸3=2AP
QAP+PB=AB,:.AP+2AP=AB,:.3AP=AB,即=
所以点P在线段AB的g处;
(2)①如图,当点Q在线段AB上时,
।A------------J-------------1
APQB
由AQ-=可知AQ=PQ+BQ,
QAQ=AP+PQ
PQ=AP=^AB
.PQ=l
"AB~3
②如图,当点Q在线段AB的延长线上时,
I«--J.I—
APBQ
QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ
:.AB=PQ
熠=1
AB
综合上述,当的值为2或1;
AB3
(3)②皿的值不变.
AB
由点C、。运动5秒可得C尸=5,30=5x2=10,
如图,当点M、N在点P同侧时,
1------1_'-------H----1-------------'
ACPMNDB
点C停止运动时,CD=^-AB,
2
点、M、N分别是C。、PD的中点,
;.CM=-CD,PN=-PD
22
:.CM=-AB
4
:.PM=CM-CP=-AB-5
4
QPD=PB-BD=^AB-10
;.PN=g(mB-10)=:43一5
:.MN=PN-PM=—AB
12
--AR
当点C停止运动,点D继续运动时,MN的值不变,所以MN_12=1;
AB~AB-12
如图,当点M、N在点P异侧时,
II“1I------------------------------------------1
ACMPNDB
点C停止运动时,CD=^-AB,
2
.点M、N分别是CD、尸£)的中点,
:.CM=-CD,PN=-PD,:.CM=-AB
224
:.PM=CP-CM=5--AB
4
QPD=PB-BD=^AB-IO
.-.PAf=|(|AB-10)=|AB-5
:.MN=PN+PM=—AB
12
当点C停止运动,点D继续运动时,MN的值不变,所以8厂1;
AB~AB-12
所以②翳的值不变正确,篝=/
【点睛】本题考查了线段的相关计算,利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解
题的关键.
【变式训练】已知:如图,一条直线上依次有A、B、C三点.
(1)若BC=60,AC=3A8,求A8的长;
⑵若点。是射线上―为皿的中点,点N为8的中点,求短的值;
(3)当点尸在线段BC的延长线上运动时,点E是AP中点,点歹是2C中点,下列结论中:
AC+3P
是定值;
①~EF-
②人。二F是定值.其中只有一个结论是正确的,请选择正确结论并求出其值.
tLr
ABC
BC
ABC
【答案】⑴A8=30;(2)2;(3)①详见解析;②详见解析.
【分析】(1)由AC=AB+BC=3AB可得;
(2)分三种情况:①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时;
(3)分三种情况讨论:①F、E在BC之间,F在E左侧②F在BC之间,E在CP之间③F、
E在BC之间,F在E右侧;
【详解】(1)EBC=60,AC=AB+BC=3AB,
0AB=30;
(2)团点M为8。中点,点、N为CD中点,
^\BM=BD,DN=NC,
①。在8c之间时:
ABMDNC
BC=BD+CD=2MD+2DN=2MN,
BC
El——=2;
MN
②。在AB之间时:
ADMBN(
BC=DC-DB=2DN-2MB=2(BN+2MB)-2MB=2BN+2MB=2MN,
③。在A点左侧时:
DAMNBC
BC=DN+NB=MN+DN-NB=MN+MB-NB=MN+MN+NB-NB=2MN,
BC
团——=2;
MN
4BC
故—2;
MN
(3)点石是AP的中点,点厂是BC的中点.
^\AE=EPfBF=CF,
①
~4BFECP~
EF=FC-EC=+BC-AC+AE=-AB)-AC+AE=AE-^AB=^AC,
BP=AP-AB=2AE-AB,
AC-BP=AC-2AE+AB,
②
~B_FCEP~
EF=BC+CE=BC+AE-AC=1(AC-AB)+AE-AC=AE-^AB-|AC,
BP=AP-AB=2AE-AB,
AC-BP
AC-BP=AC^AB-2AE,0―——=2.
EF
③
EF=CE-CF=CE-^BC=AC-AE-^BC=AC-AE-y(AC-AB)=j-AC-AE+|yAB,
BP=AP-AB=2AE-AB,
AC-BP
0AC-BP=AC+AB-2AE,0———=2.
EF
【点睛】本题考查线段之间量的关系,结合图形,能够考虑到所有分类是解题的关键.
课后训练
1.已知,C为线段AB上一点,D为AC的中点,E为8C的中点,F为DE的中点.
ADCFEB
图1
।_1_1
AB
备用图1
i____।
AB
备用图2
(1)如图1,若AC=4,BC=6,求CF的长;
AT
(2)若AB=16CF,求"的值;
CB
(3)若AC>3C,AC-BC=a,取。C的中点R,CE的中点E1,Dg的中点耳,则Cf;
=(用含a的代数式表示).
【答案】(1)(2)名的值为。或:;(3)"
乙CB35o
【分析】(1)由D为AC的中点,E为BC的中点得到DC=3AC=2,CE=yBC=3,则可计算出
DE=5,再利用F为DE的中点得到DF=yDE,然后利用CF=DF-DC求解;
(2)根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解;
(3)如图,设AC=x,BC=y,即x-y=a,利用线段中点定义得到DC=:x,CE=1y,则
DlC=^x,CEl=^y,所以=:(尤+>),再利用的中点耳,得到已居[(x+y),于
是可计算出PG=J(x-y),即有尸
OO
【详解】解:(1)团D为AC的中点,E为BC的中点,
E1DC=;AC=2,CE=;BC=3,
ElDE=DC+CE=2+3=5,
回F为DE的中点,
15
0DF=-DE=-,
22
5〜1
0CF=DF-DC=——2=-;
22
(2)①当AC>BC,点F在点C左侧时,如图所示:
IIII।।
ADFCEB
回D为AC的中点,E为BC的中点,
EIDC=yAC,CE=:BC,
国DE=DC+CE=4(AC+BC)=:AB,
回F为DE的中点,
11
[?]DF=-DE=-AB,
24
团AB=16CF,
团DF=4CF,
[?]CF=DC-DF=|AC-4CF,
0AC=1OCF,
0BC=AB-AC=16CF-1OCF=6CF,
AC10CF5
团-----------------二一,
CB6CF3
②当AC<BC,点F在点C右侧时,如图所示:
IIIIII
ADCFEB
团D为AC的中点,E为BC的中点,
团DC=^AC,CE=1-BC,
回DE=DC+CE=!(AC+BC)=1-AB,
团F为DE的中点,
11
[?]DF=-DE=-AB,
24
团AB=16CF,
0DF=4CF,
团CF=DF-DECF-^AC,
0AC=6CF,
[?]BC=AB-AC=16CF-6CF=1OCF,
AC6CF3
0--=---二一,
CB1OCF5
综上所述,生AT的值为5?或3:.
CBJj
(3)如图,
I______________I______IIlli______I
ADD}FtCExEB
设AC=x,BC=y,即x-y=a,
EID为AC的中点,E为BC的中点,
回DC=gAC=gx,CE=1BC=1y,
回DC的中点为A,CE的中点为耳,
^D.C=-CD=-x,CE.=-CE=-y,
124124-
El£)[E]=—(JC+y),
回的中点为4
国=:(》+>),
2o
回FC;=D£_DFi=%_"(x+y)="(无一y),
团FC[=—ci
故答案为:-a.
8
【点睛】本题考查了两点间的距离:连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.理清线段之
间的关系是解决本题的关键.
2.已知点C在线段AB上,AC=2BC,点。、E在直线AB上,点。在点E的左侧.若A2=18,
DE=8,线段DE在线段AB上移动.
ADCE_BACB
图1备用图
(1)如图1,当E为BC中点时,求AD的长;
(2)点F(异于A,B,C点)在线段A3上,AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长.
【答案】⑴7;(2)3或5
【分析】(1)根据AC=23C,AB=18,可求得3c=6,AC=12,根据中点的定义求出
BE,由线段的和差即可得到AD的长.
(2)点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,确定点尸是BC
的中点,即可求出AD的长.
【详解】(1)AC^2BC,AB=18,
:.BC=6,AC=12,
如图1,
I------------1------------1------1-------L
ADCEB
图1
石为BC中点,:.CE=BE=3,
DE=3,:.BD=DE-^-BE=8+3=U9:.AD=AB-DB=18-11=7,
(2)I、当点石在点尸的左侧,如图2,
|------------1---------------1_LJ---------L
A3图2,‘力力
或1+图2=C*,
VCE+EF=3,BC=6,
二•点厂是3c的中点,
:・CF=BF=3,
:.AF=AB-BF=18-3=15f
:.AD=-AF=5,
3
VCE+EF=3,故图2。)这种情况求不出;
II、如图3,当点E在点尸的右侧,
AD~EcB
图3
AC=12,CE+EF=CF=3,
:,AF=AC-CF=9,
:.AF=3AD=9,
AD=3.
・・・CE+£F=3,故图3(。)这种情况求不出;
综上所述:的长为3或5.
【点睛】本题考查了两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键.本
题较难,需要想清楚各种情况是否存在.
3.已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(A在8的左侧,C在。的左侧).
(1)当。点与B点重合时,AC=;
(2)点尸是线段AB延长线上任意一点,在(1)的条件下,求B4+P8-2PC的值;
(3)M、N分别是AC、8。的中点,当8C=4时,求的长.
---------•-----------------•-------------
AB
【答案】⑴6
(2)PA+PB-2PC=0-,
(3)MN=9.
【分析】(1)根据题意即可得到结论;
(2)由(1)得AC=iAB,CD=』AB,根据线段的和差即可得到结论;
22
(3)需要分类讨论:①如图1,当点C在点B的右侧时,根据"M、N分别为线段AC、BD
的中点”,先计算出AM、DN的长度,然后计算MN=AD-AM-DN;②如图2,当点C位于点
B的左侧时,利用线段间的和差关系求得MN的长度.
【详解】(1)当D点与B点重合时,AC=AB-CD=6;
故答案为6;
(2)由(1)得AC=《AB,EICD=;AB,
回点P是线段AB延长线上任意一点,0PA+PB=AB+PB+PB,PC=CD+PB=:AB+PB,
回PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2(;AB+PB)=0;
(3)如图1,I3M、N分别为线段AC、BD的中点,
13AM=3AC=;(AB+BC)=8,
DN=5BD=](CD+BC)=5,
0MN=AD-AM-DN=9;
如图2,EIM、N分别为线段AC、BD的中点,
13AM=3AC=;(AB-BC)=4,
DN《BD=;(CD-BC)=1,
0MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9.
MN
-------------•------------------•-----I
ABCD
图1
-----•--M•--•---•~~N•----------------I
ACBD
图2
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的
倍分关系是解本题的关键.
4.【新知理解】
如图①,点M在线段A8上,图中共有三条线段A8、AM和若其中有一条线段的长
度是另外一条线段长度的2倍,则称点M是线段A8的"和谐点”.
AMBCD
图①图②
1________________________________1
AB
图③
(1)线段的中点这条线段的“和谐点"(填"是"或"不是");
(2)【初步应用】如图②,若CO=12cm,点N是线段的和谐点,则CN=cm;
⑶【解决问题】如图③,已知AB=15cm,动点尸从点A出发,以lcm/s速度沿AB向点2
匀速移动:点。从点8出发,以2〃z/s的速度沿向点A匀速移动,点P、。同时出发,
当其中一点到达终点时,运动停止,设移动的时间为3请直接写出f为何值时,A、P、Q
三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点.
【答案】①是
(2)6或4或8c
⑶/为3或〒或丁或彳或〒或6
【分析】(1)若点M是线段AB的中点时,则由此即可得到答案;
(2)分①当N为中点时,CN=gcr>=6cm;②N为CO的三等分点,且N靠近C时,CN
I2
=-CD=4cm;③N为CD的三等分点且N靠近Z)时,CN=—CD=8cm.
(3)分P为A、。的和谐点,。为A、P的和谐点,两种情况讨论求解即可.
【详解】(1)解:若点M是线段的中点时,满足
团线段的中点是这条线段的“和谐点",
故答案为:是;
(2)解:①当N为中点时,CN-CD=6cm;
②N为CO的三等分点,且N靠近C时,C7V=1cD=4cm:
2
③N为CD的三等分点且N靠近。时,CN=§CO=8cm.
故答案为:6cm或4cm或8cm;
(3)解:0AB=15cm,
比秒后,AP=t,AQ=15-2t(0<r<7.5),
由题意可知,A不可能为P、。的和谐点,此情况排除;
①尸为A、。的和谐点,有三种情况:
1)P为中点,AP^^AQ,即(15-2t),
解得t=—;
4
2)尸为A。的三等分点,且尸靠近A,AP^^AQ,即(15-2f),
解得f=3;
3)P为A。的三等分点,且尸靠近。,AP^-AQ,即(15-27),
解得f=3B0:
②。为4、尸的和谐点,有三种情况:
1)。为中点,AP=^AQ,即15-2t=P,
解得t=6;
2)。为A尸的三等分点,且尸靠近A,AP=§A。,即15-2/=7,
解得t=45,
3)。为AP的三等分点,且尸靠近。,AP=-AQ,即15-2f=1,
解得片段45.
O
综上所述,f为3或?或,或1或;或6时,A、P、。三点中其中一点恰好是另外两点
为端点的线段的和谐点.
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算,解题的关键在于能够利用分类
讨论的思想求解.
5.如图,射线。仪上有三点A、B、C,满足OA=30cm,AB=90cm,BC=15cm,点尸从点。
出发,沿0M方向以1。〃/秒的速度匀速运动,点。从点C出发在线段CO上向点。匀速运动,
两点同时出发,当点。运动到点。时,点P、。停止运动.
⑴若点。运动速度为2cm/秒,经过多长时间尸、。两点相遇?
(2)当上4=2尸5时,点。运动到的位置恰好是线段0B的中点,求点。的运动速度;
⑶当点尸运动到线段A3上时,分别取。尸和A2的中点E、F,求4的值•
°'E二F1
OABM
【答案】(1)45s;(2)9cm/s或、■的/s;(3)2
614
【分析】(1)设经过t秒时间P、Q两点相遇,列出方程即可解决问题;
(2)分两种情形求解即可;
(3)用t表示AP、EF的长,代入化简即可解决问题;
【详解】(1)设经过t秒时间P、Q两点相遇,
则t+2t=90+30+15,
解得t=45,
所以经过45秒时间P、Q两点相遇.
(2)①当P在线段AB上时,
0AB=9O,PA=2PB,
0PA=6O,PB=30,
0OP=OA+AP=30+60=90,
团点P、Q的运动时间为90秒,
0AB=9O,OA=30,0OB=12O,EBQ=yOB=60,
团点Q的路程为CQ=CB+BQ=15+60=75,
755
团点Q是速度为;^=工cm/秒;
906
②点P在线段AB延长线上时,
0AB=9O,PA=2PB,fflBP=90,AP=180,
[30P=OA+AP=30+180=210,
团点P、Q的运动时间为210秒,
EIAB=90,OA=30,
0OB=12O,EIBQ=:OB=60,
回点Q的路程为CQ=CB+BQ=15+60=75,
755
团点Q是速度为——=—cm/秒;
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