2024-2025学年七年级数学上册 线段上动点问题的两种考法（北师大版）

专题09线段上动点问题的两种考法

类型一、线段和差问题

例1.已知点C在线段AB上，AC=2BC,点D,E在直线AB上，点D在点E的左侧.

（1）若AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动.

①如图1,当E为BC中点时，求AD的长；

②点F（异于A,B,C点）在线段AB上，AF=3AD,CF=3,求AD的长；

（2）若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动，且满足关系式半手=：,求累的值.

BE2BD

；------D----------EB----------------------?---------W

图1备用图

1a7CD1711

【答案】⑴①AD的长为6.5；②AD的长为［或：；（2）w的值为2或已

33BD3113

【详解】解：（1）团AC=2BC,AB=15,

回BC=5,AC=10,

①团E为BC中点，

团CE=2.5,

团DE=6,

团CD=3.5,

回AD=AC-CD=10-3.5=6.5；

②如图2,当点F在点C的右侧时，

•-----------------•----------------•---------•••

ADCEFB

图2

0CF=3,AC=10,

团AF=AC+CF=13,

团AF=3AD,

1-13

团AD=-Ab=——；

33

如图3,当点F在点C的左侧时，

••••♦•

A-0FECB

图3

回AC=10,CF=3,

团AF=AC-CF=7,

团AF=3AD,

1y7

团AD=-A/=一；

33

137

综上所述，AD的长为了或(；

(2)①当点E在线段BC之间时，如图4,

•♦•••

ADcEB

-图4

设BC=x,

则AC=2BC=2x,

团AB=3x,

团AB=2DE,

回DE=1.5x,

设CE=y,

团AE=2x+y,BE=x-y,

团AD=AE-DE=2x+y-1.5x=0.5x+y,

AD+EC3

回

BE2

0.5x+y+y3

团----------

%一y2

2

0my=-x,

团CD=1.5x--x=-x,BD=3x-(0.5x+y)=­x,

71414

17

CD14_17

回

BD31-31；

—X

②当点E在点A的左侧，如图5,

I151」

DEACB

图5

设BC=x,贝DE=1.5x,

设CE=y,

团DC=EC+DE=y+L5x,

团AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x,

AD+EC3

回--------=—，BE=EC+BC=x+y,

BE2

y-0.5%+y3

x+y2

团y=4x,

团CD=y+1.5x=4x+1.5x=5.5x,BD=DC+BC=y+1.5x+x=6.5x,

CD5.5x_11

团一=

BD6.5%13

③点D、E都在点C的右侧时，如图6,

ACDBE

图6

设BC=x,贝l|DE=1.5x,

设CE=y,

0DC=EC-DE=y-1,5x,

团AD=DC+AC=y-1.5x+2x=y+0.5x,

AD+EC3

团--------=一,BE=EC-BC=y-x,

BE2

y+0.5x+y3

y-x2'

0y=-4x（舍去）

CD1711

综上所述g的值为5或

BD3113

【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想,

比较难，分类讨论是解答本题的关键.

例2.已知线段AB,点C在直线AB上，。为线段8C的中点.

---------------------------------------•------------------------------•---------------------------------

AB

AB

（备用图）

⑴若AB=8,AC=2,求线段C。的长.

⑵若点E是线段AC的中点，请写出线段。E和的数量关系并说明理由.

【答案】（1）3或5

（2）AB=2DE,理由见解析

【分析】（1）根据点C在直线A3上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左

侧，根据线段的和与差可得结论；

（2）AB=2DE,分三种情况：根据线段中点的定义可得结论.

【详解】（1）解：如图1,当。在点A右侧时，

•--------------•--------------------------•--------------------------•

ACDB

图1

0AB=8,AC=2,

团BC=AB—AC=6,

回。是线段8c的中点，：

0CD=-BC=3；

2

如图2,当C在点A左侧时，

•----------•--------------------•---------------------------------•

CADB

图2

[EAB=8,AC=2,

团BC=AB+AC=10,

团。是线段的中点，

0CD=-BC=5；

2

综上所述，CD=3或5；

（2）解：AB=2DE.

理由是：如图3,当C在点A和点8之间时，

•------•-------•-------------------------•--------------------------•

AECDB

图3

SE是AC的中点，D是BC的中点，

回AC=2EC,BC=2CD,^\AB=AC+BC=2EC+2CD=2DE；

如9-图4•,当•C-在-点A-左-侧时•，-------•

CEADB

图4

同理可得：AB=BC-AC=2CD-2CE=2（CD-CE）=2DE；

如9-图-5,-当C-在-点B-右-侧时-，-•~•---•----•

AEBDC

图5

同理可得：AB=AC-BC=2EC-2CD=2（EC-CD）=IDE.

【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关

键.

【变式训练1】如图，点加位于数轴原点，C点从加点出发以每秒1个单位长度的速度沿

数轴向左运动，。点从8点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动.

AC_MD.BAMB

O-o

(1)若点A表示的数为-3,点8表示的数为7,当点C,。运动时间为2秒时，求线段。的

长；

⑵若点A,8分别表示-2,6,运动时间为f,当t为何值时，点。是线段BC的中点.

(3)^AM=-AB,N是数轴上的一点，尺.AN—BN=MN,求曳8的值.

4AB

【答案】(i)cr>=3

(2)当/=|时点。是线段8c的中点

⑶k5或1

【分析】(1)根据路程=速度x时间可以计算出C、。运行的路程，进而求出的值，根据

=+可求；

(2)先表示出5。和CD,再根据点。是线段5c的中点，列方程求解；

(3)分N在线段A5上和点N在线段A5的延长线上两种情况，分别求解.

【详解】(1)解：团CM=2xl=2,30=2x3=6,

又回点A表示-3,点3表示7,

团AM=3,BM=7

国MD=BM—BD=7—6=1

^\CD=CM+MD=2+1=3.

(2)解：团点A,3分别表示一2,6,

所以AM=2,BM=6,MC=t,BD=3t,MD=6-3t,CD=MD+MC=t+6—3t

当。是BC的中点时CD=BD,即7+6-3t=3t,Z=|

团当r=g时点。是线段BC的中点.

(3)解：①当点N在线段A3上时，如图

I_________________________|__i_____________।

AMNB

BAN—BN=MN,

^AN-AM=MN

0BN=AM,

^AM=-AB

4

1MN

BMN=-AB,即Rn——

2AB-2

②当点N在线段A5的延长线上时，如图

AMBN

©AN—BN=MN,^AN-BN=AB

口门MN1

^\MN=AB,BP——=l

AB

综上所述M嗯N=：I或1.

AID2

【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌

握点的移动路程与线段的关系.

【变式训练2】已知点C在线段A3上，AC=23C,点。，E在直线上，点。在点E的

左侧.

IIIIIIII

ADCEBACB

图1备用图

⑴若AB=24,DE=16,线段DE在线段AB上移动，

①当点E是线段8C的中点时，求AD的长；

②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；

4D-i-FC3CD

⑵若=点E在线段AB上移动，且满足关系式二=：,则==_（直接写

BE2AB

出结果）.

Q917

【答案】⑴①4,②了；⑵石

【分析】（1）根据已知条件得到3C=8,AC=16,①由线段中点的定义得到CE=4,求得

CD=12,由线段的和差得到仞=AC-CD=16-12=4；②当点C线段DE的三等分点时，

1323232

^^CE=-DE=—^CE=-DE=—>S=BC则C£>=丁，由线段的和差即可

316333

得到结论；

（2）①当点E在线段BC之间时，设BC=x,CE=y,则AC=23C=2x,求得A3=3x、

DE=1.5x,AE=2x+y,BE=x-y、AO=0.5尤+y,然后根据叱产=，可得y=枭,

BE27

717CD

CD=1.5X--X=—X,再代入%即可解答；②当点E在线段AC上时，设

BC=x>0,CE=y>0,则AC=23C=2x,求得AB=3x、DE=1.5x.

40+FC33

AE=2x-y,BE=x+y、AD=0.5x-y,然后根据叫#=［可得>=_白<0不符题意.

BE22

【详解】(1)解：团AC=2BC,AB=24,

138c=8,AC=16,

①回£为BC中点，

团CE-4,

团。石=16,

回CD=12,

^AD=AC-CD=16-12=4；

②回点C是线段DE的三等分点，£>£=16,

11A。

^CE=-DE=—^CE=-DE=—>8=BC(不合题意，舍去)，

3333

^CD=DE-CE=16--=—

33,

1A2。

BAD=AC-CD=16--=—；

33

(2)解：①当点E在线段3c上，如图，

।।，।।

ADCEB

设8C=%,CE=y,则AC=25C=2x,

0AB=3x,

^AB=2DE,

0DE=1.5x,

团AE=2x+y,BE=x-y,

^\AD=AE—DE=2x+y—1.5x=0.5x+y,

0.5%+y+y3

x-y2'

2「八…217

By=—x,CD=1.5x——x=——x,

7714

17

团CD值尤=17；

AB~3x~42

如图：当点E在线段AC上时，

IIIII

ADECB

设3c=x>0,CE=y>0,则AC=2BC=2尤，

回AB-3x,

^AB=2DE,

团DE=1.5x,

团AE=2x—y,BE=x+y,

AD=AC—DE—EC=2x—1.5x—y=0.5%—y,

AD+EC3

0

BE2

0.5x-y+y3

团-------------=~

x+y2

3

团y=——x<0不符题意,

团点E不可能在线段AC上.

CD17

综上所述篇的值为a

【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，准

确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键.

【变式训练3】如图已知线段A3、CD,

cAfABND

（1）线段AB在线段。上（点C、A在点8的左侧，点。在点C的右侧）

①若线段AB=6,CD=14,M、N分别为AC、8。的中点，求MN的长.

②M、N分别为AC、8。的中点，求证：MN=；（AB+CD）

⑵线段8在线段AB的延长线上，M.N分别为AC、3D的中点，②中的结论是否成立？

请画出图形，直接写出结论

【答案】⑴①10,②见解析

⑵不成立，见解析

【分析】（1）①利用CD-求出AC+3D的值，利用中点平分线段，得到

AM=^AC,BN=^BD,再禾lj用MN=AM+A3+BN=；（AC+B£>）+AB,即可得解；（2）

利用中点平分线段，得到AM=gAC,2N=；2D,进而得到

AM+BN=^（AC+BD）=^（CD-AB）,再利用ACV=AVf+AB+3N,即可得证；

（2）分C点在。点的左侧，点N在点C的右侧，C点在。点的左侧，点N在点C的左侧,

以及。点在C点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可.

【详解】（1）解：①回AB=6,CD=14,

^AC+BD=CD-AB=8,

0M.N分别为AC、8。的中点，

S\AM=-AC,BN=-BD,

22

^\MN=AM+AB+BN=^（AC+BD）+AB=^x8+6=10；

②团0、N分别为AC、3。的中点，

^\AM=-AC,BN=-BD,

22

0AC+BD-CD—AB,

^AM+BN=^（AC+BD）=^（CD-AB）,

SMN=AM+AB+BN=^（CD-AB）+AB=^CD+ABy

（2）不成立；

回M、N分别为AC、8。的中点，

S\AM=MC=^AC,BN=ND=^BD,

①当C点在。点的左侧，点N在点C的右侧时，如图：

IIIIII

AMBCND或

IIIIII

ABMCND

MN=MC+CN

=MC+BN-BC

=-AC+-BD-BC

22

=1（AB+BC）+|（BC+CD）-BC

=i（AB+C£＞）;

②当C点在。点的左侧，点N在点C的左侧时，如图：

I_______II_____________I________I______________________I

ABMNCD或

IIIIII

AMBNCD

MN=AD-AM-DN

=AD--AC--BD

22

=AD-^（AD-CD）-^AD-AB）

=l（AjS+cr））；

③当。点在C点的左侧时，如图：

|----------------------------------1_I——I-----------1------------------1T

ABMNDC或

।।।।i।

AMBNDC

MN^CM-CN=^AC-（CD+DN）=^AB+BD+CD）-[CD+^BD）]=1（AB-CD）；

综上：MN=g（A3+。）或故结论不成立.

【点睛】本题考查线段之间的和与差.正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是

解题的关键.注意分类讨论.

类型二、定值问题

例.如图，点尸是定长线段AB上一点，C、D两点分别从点尸、8出发以1厘米/秒，2厘

米/秒的速度沿直线AB向左运动（点C在线段”上，点。在线段3尸上）.

（1）若点C、。运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请说明点尸在线段AB上的位置；

（2）在（1）的条件下，点。是直线上一点，且&。-3。=尸。，求学的值；

（3）在（1）的条件下，若点C、。运动5秒后，恰好有=此时点C停止运动，

点D继续运动（点D在线段PB上），点M、N分别是CO、PZ）的中点,下列结论:①PM-PN

的值不变；②"乜的值不变.可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并

AB

求值.

11111

ACPDB

【答案】（1）点P在线段AB的1处；（2）:或1；（3）结论②”人的值不变正确，

33ABAB12

【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据PD=2AC,

可知点尸在线段AB上的位置；

（2）由4。-2。=尸。可知4。=尸Q+B。，当点Q在线段AB上时,等量代换可得AP=BQ,

再结合AP=^-AB可得?的值；当点Q在线段AB的延长线上时,可得AQ-BQ=AB=PQ,

3AB

易得的值.

AB

（3）点C停止运动时，CD^^AB,可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以

含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知处的值.

AB

【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则尸D=P3-2f,PC=AP-f,

由PD=2AC得尸8-2r=2（AP-f）,即尸3=2AP

QAP+PB=AB,:.AP+2AP=AB,:.3AP=AB,即=

所以点P在线段AB的g处；

（2）①如图，当点Q在线段AB上时，

।A------------J-------------1

APQB

由AQ-=可知AQ=PQ+BQ,

QAQ=AP+PQ

PQ=AP=^AB

.PQ=l

"AB~3

②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，

I«--J.I—

APBQ

QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ

:.AB=PQ

熠=1

AB

综合上述，当的值为2或1;

AB3

（3）②皿的值不变.

AB

由点C、。运动5秒可得C尸=5,30=5x2=10,

如图，当点M、N在点P同侧时，

1------1_'-------H----1-------------'

ACPMNDB

点C停止运动时，CD=^-AB,

2

点、M、N分别是C。、PD的中点,

;.CM=-CD,PN=-PD

22

:.CM=-AB

4

:.PM=CM-CP=-AB-5

4

QPD=PB-BD=^AB-10

;.PN=g(mB-10)=：43一5

：.MN=PN-PM=—AB

12

--AR

当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MN_12=1；

AB~AB-12

如图，当点M、N在点P异侧时，

II“1I------------------------------------------1

ACMPNDB

点C停止运动时，CD=^-AB,

2

.点M、N分别是CD、尸£)的中点，

:.CM=-CD,PN=-PD,:.CM=-AB

224

:.PM=CP-CM=5--AB

4

QPD=PB-BD=^AB-IO

.-.PAf=|(|AB-10)=|AB-5

:.MN=PN+PM=—AB

12

当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以8厂1；

AB~AB-12

所以②翳的值不变正确，篝=/

【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解

题的关键.

【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点.

(1)若BC=60,AC=3A8,求A8的长；

⑵若点。是射线上―为皿的中点，点N为8的中点，求短的值;

(3)当点尸在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点歹是2C中点，下列结论中:

AC+3P

是定值;

①~EF-

②人。二F是定值.其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值.

tLr

ABC

BC

ABC

【答案】⑴A8=30；(2)2;(3)①详见解析;②详见解析.

【分析】(1)由AC=AB+BC=3AB可得；

(2)分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；

(3)分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、

E在BC之间，F在E右侧；

【详解】(1)EBC=60,AC=AB+BC=3AB,

0AB=30；

(2)团点M为8。中点，点、N为CD中点,

^\BM=BD,DN=NC,

①。在8c之间时：

ABMDNC

BC=BD+CD=2MD+2DN=2MN,

BC

El——=2；

MN

②。在AB之间时：

ADMBN(

BC=DC-DB=2DN-2MB=2(BN+2MB)-2MB=2BN+2MB=2MN,

③。在A点左侧时：

DAMNBC

BC=DN+NB=MN+DN-NB=MN+MB-NB=MN+MN+NB-NB=2MN,

BC

团——=2；

MN

4BC

故—2；

MN

(3)点石是AP的中点，点厂是BC的中点.

^\AE=EPfBF=CF,

①

~4BFECP~

EF=FC-EC=+BC-AC+AE=-AB)-AC+AE=AE-^AB=^AC,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP=AC-2AE+AB,

②

~B_FCEP~

EF=BC+CE=BC+AE-AC=1(AC-AB)+AE-AC=AE-^AB-|AC,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP

AC-BP=AC^AB-2AE,0―——=2.

EF

③

EF=CE-CF=CE-^BC=AC-AE-^BC=AC-AE-y(AC-AB)=j-AC-AE+|yAB,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP

0AC-BP=AC+AB-2AE,0———=2.

EF

【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键.

课后训练

1.已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为8C的中点，F为DE的中点.

ADCFEB

图1

।_1_1

AB

备用图1

i____।

AB

备用图2

（1）如图1,若AC=4,BC=6,求CF的长；

AT

（2）若AB=16CF,求"的值；

CB

（3）若AC>3C,AC-BC=a,取。C的中点R,CE的中点E1，Dg的中点耳，则Cf；

=（用含a的代数式表示）.

【答案】（1）（2）名的值为。或：；（3）"

乙CB35o

【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=3AC=2,CE=yBC=3,则可计算出

DE=5,再利用F为DE的中点得到DF=yDE,然后利用CF=DF-DC求解；

（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；

（3）如图，设AC=x,BC=y,即x-y=a,利用线段中点定义得到DC=：x,CE=1y,则

DlC=^x,CEl=^y,所以=:（尤+>）,再利用的中点耳，得到已居［（x+y）,于

是可计算出PG=J（x-y），即有尸

OO

【详解】解：（1）团D为AC的中点，E为BC的中点，

E1DC=；AC=2,CE=；BC=3,

ElDE=DC+CE=2+3=5,

回F为DE的中点，

15

0DF=-DE=-,

22

5〜1

0CF=DF-DC=——2=-；

22

（2）①当AC>BC,点F在点C左侧时，如图所示：

IIII।।

ADFCEB

回D为AC的中点，E为BC的中点,

EIDC=yAC,CE=：BC,

国DE=DC+CE=4(AC+BC)=：AB,

回F为DE的中点，

11

[?]DF=-DE=-AB,

24

团AB=16CF,

团DF=4CF,

[?]CF=DC-DF=|AC-4CF,

0AC=1OCF,

0BC=AB-AC=16CF-1OCF=6CF,

AC10CF5

团-----------------二一，

CB6CF3

②当AC<BC,点F在点C右侧时，如图所示:

IIIIII

ADCFEB

团D为AC的中点，E为BC的中点，

团DC=^AC,CE=1-BC,

回DE=DC+CE=！(AC+BC)=1-AB,

团F为DE的中点，

11

[?]DF=-DE=-AB,

24

团AB=16CF,

0DF=4CF,

团CF=DF-DECF-^AC,

0AC=6CF,

[?]BC=AB-AC=16CF-6CF=1OCF,

AC6CF3

0--=---二一，

CB1OCF5

综上所述，生AT的值为5?或3：.

CBJj

(3)如图，

I______________I______IIlli______I

ADD}FtCExEB

设AC=x,BC=y,即x-y=a,

EID为AC的中点，E为BC的中点，

回DC=gAC=gx,CE=1BC=1y,

回DC的中点为A,CE的中点为耳，

^D.C=-CD=-x,CE.=-CE=-y,

124124-

El£)[E]=—(JC+y),

回的中点为4

国=:(》+>)，

2o

回FC；=D£_DFi=%_"(x+y)="(无一y),

团FC[=—ci

故答案为：-a.

8

【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.理清线段之

间的关系是解决本题的关键.

2.已知点C在线段AB上，AC=2BC,点。、E在直线AB上，点。在点E的左侧.若A2=18,

DE=8,线段DE在线段AB上移动.

ADCE_BACB

图1备用图

(1)如图1,当E为BC中点时，求AD的长；

(2)点F(异于A,B,C点)在线段A3上，AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长.

【答案】⑴7；(2)3或5

【分析】(1)根据AC=23C,AB=18,可求得3c=6,AC=12,根据中点的定义求出

BE,由线段的和差即可得到AD的长.

(2)点F(异于A,B,C点)在线段AB上，AF=3AD,CE+EF=3,确定点尸是BC

的中点，即可求出AD的长.

【详解】(1)AC^2BC,AB=18,

:.BC=6,AC=12,

如图1,

I------------1------------1------1-------L

ADCEB

图1

石为BC中点，:.CE=BE=3,

DE=3,：.BD=DE-^-BE=8+3=U9：.AD=AB-DB=18-11=7,

(2)I、当点石在点尸的左侧，如图2,

|------------1---------------1_LJ---------L

A3图2,‘力力

或1+图2=C*，

VCE+EF=3,BC=6,

二•点厂是3c的中点，

:・CF=BF=3,

：.AF=AB-BF=18-3=15f

：.AD=-AF=5,

3

VCE+EF=3,故图2。)这种情况求不出；

II、如图3,当点E在点尸的右侧，

AD~EcB

图3

AC=12,CE+EF=CF=3,

：,AF=AC-CF=9,

：.AF=3AD=9,

AD=3.

・・・CE+£F=3,故图3（。）这种情况求不出；

综上所述：的长为3或5.

【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键.本

题较难，需要想清楚各种情况是否存在.

3.已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动（A在8的左侧，C在。的左侧）.

（1）当。点与B点重合时，AC=；

（2）点尸是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求B4+P8-2PC的值；

（3）M、N分别是AC、8。的中点，当8C=4时，求的长.

---------•-----------------•-------------

AB

【答案】⑴6

（2）PA+PB-2PC=0-,

（3）MN=9.

【分析】（1）根据题意即可得到结论；

(2)由(1)得AC=iAB,CD=』AB,根据线段的和差即可得到结论；

22

(3)需要分类讨论：①如图1,当点C在点B的右侧时，根据"M、N分别为线段AC、BD

的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2,当点C位于点

B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度.

【详解】(1)当D点与B点重合时，AC=AB-CD=6；

故答案为6；

(2)由(1)得AC=《AB,EICD=；AB,

回点P是线段AB延长线上任意一点，0PA+PB=AB+PB+PB,PC=CD+PB=：AB+PB,

回PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2(；AB+PB)=0；

(3)如图1,I3M、N分别为线段AC、BD的中点，

13AM=3AC=；(AB+BC)=8,

DN=5BD=](CD+BC)=5,

0MN=AD-AM-DN=9；

如图2,EIM、N分别为线段AC、BD的中点，

13AM=3AC=；(AB-BC)=4,

DN《BD=；(CD-BC)=1,

0MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9.

MN

-------------•------------------•-----I

ABCD

图1

-----•--M•--•---•~~N•----------------I

ACBD

图2

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的

倍分关系是解本题的关键.

4.【新知理解】

如图①，点M在线段A8上，图中共有三条线段A8、AM和若其中有一条线段的长

度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段A8的"和谐点”.

AMBCD

图①图②

1________________________________1

AB

图③

(1)线段的中点这条线段的“和谐点"(填"是"或"不是")；

(2)【初步应用】如图②，若CO=12cm,点N是线段的和谐点，则CN=cm；

⑶【解决问题】如图③，已知AB=15cm,动点尸从点A出发，以lcm/s速度沿AB向点2

匀速移动：点。从点8出发，以2〃z/s的速度沿向点A匀速移动，点P、。同时出发，

当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为3请直接写出f为何值时，A、P、Q

三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点.

【答案】①是

(2)6或4或8c

⑶/为3或〒或丁或彳或〒或6

【分析】(1)若点M是线段AB的中点时，则由此即可得到答案；

(2)分①当N为中点时，CN=gcr>=6cm；②N为CO的三等分点，且N靠近C时，CN

I2

=-CD=4cm；③N为CD的三等分点且N靠近Z)时，CN=—CD=8cm.

(3)分P为A、。的和谐点，。为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：若点M是线段的中点时，满足

团线段的中点是这条线段的“和谐点"，

故答案为：是；

(2)解：①当N为中点时，CN-CD=6cm；

②N为CO的三等分点，且N靠近C时，C7V=1cD=4cm:

2

③N为CD的三等分点且N靠近。时，CN=§CO=8cm.

故答案为：6cm或4cm或8cm；

(3)解：0AB=15cm,

比秒后，AP=t,AQ=15-2t(0<r<7.5),

由题意可知，A不可能为P、。的和谐点，此情况排除；

①尸为A、。的和谐点，有三种情况：

1）P为中点，AP^^AQ,即（15-2t）,

解得t=—;

4

2）尸为A。的三等分点，且尸靠近A,AP^^AQ,即（15-2f）,

解得f=3；

3）P为A。的三等分点，且尸靠近。，AP^-AQ,即（15-27）,

解得f=3B0：

②。为4、尸的和谐点，有三种情况：

1）。为中点，AP=^AQ,即15-2t=P，

解得t=6；

2）。为A尸的三等分点,且尸靠近A,AP=§A。,即15-2/=7,

解得t=45,

3）。为AP的三等分点，且尸靠近。，AP=-AQ,即15-2f=1,

解得片段45.

O

综上所述，f为3或？或，或1或;或6时，A、P、。三点中其中一点恰好是另外两点

为端点的线段的和谐点.

【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类

讨论的思想求解.

5.如图，射线。仪上有三点A、B、C,满足OA=30cm,AB=90cm,BC=15cm,点尸从点。

出发，沿0M方向以1。〃/秒的速度匀速运动，点。从点C出发在线段CO上向点。匀速运动，

两点同时出发，当点。运动到点。时，点P、。停止运动.

⑴若点。运动速度为2cm/秒，经过多长时间尸、。两点相遇？

（2）当上4=2尸5时，点。运动到的位置恰好是线段0B的中点，求点。的运动速度；

⑶当点尸运动到线段A3上时，分别取。尸和A2的中点E、F,求4的值•

°'E二F1

OABM

【答案】(1)45s;(2)9cm/s或、■的/s;(3)2

614

【分析】(1)设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题;

(2)分两种情形求解即可；

(3)用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；

【详解】(1)设经过t秒时间P、Q两点相遇，

则t+2t=90+30+15,

解得t=45,

所以经过45秒时间P、Q两点相遇.

(2)①当P在线段AB上时，

0AB=9O,PA=2PB,

0PA=6O,PB=30,

0OP=OA+AP=30+60=90,

团点P、Q的运动时间为90秒，

0AB=9O,OA=30,0OB=12O,EBQ=yOB=60,

团点Q的路程为CQ=CB+BQ=15+60=75,

755

团点Q是速度为；^=工cm/秒；

906

②点P在线段AB延长线上时，

0AB=9O,PA=2PB,fflBP=90,AP=180,

[30P=OA+AP=30+180=210,

团点P、Q的运动时间为210秒，

EIAB=90,OA=30,

0OB=12O,EIBQ=：OB=60,

回点Q的路程为CQ=CB+BQ=15+60=75,

755

团点Q是速度为——=—cm/秒；