人教A版（2019）必修第二册6.2平面向量的运算(学案)(原卷版+解析)

6.2平面向量的运算（学案）知识自测知识自测一．向量的加法运算法则1.三角形法则已知向量、，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(BC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做与的和，记作＋，即＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。记忆口诀：2.平行四边形法则已知两个向量，，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则记忆口诀：3.加法的运算律(1)交换律：(2)结合律：二．向量的减法运算1.相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－.性质：①和－互为相反向量。②零向量的相反向量仍是零向量。③由两个向量的和的定义可知：＋(－)＝(－)+=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。2.向量的减法(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与b的差，即－＝＋(－)，求两个向量差的运算叫做向量的减法；向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.（2）运算法则：三角形法则或平行四边形法则记忆口诀：共起点，箭头指向被减数三．向量的数乘运算1.向量的数乘运算（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ.（2）规定：①|λ|＝|λ|||②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.（3）运算律：设λ，μ为实数，则①λ(μ)＝λμ；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)．2.共线定理：3.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算四．向量的数量积1.夹角（1）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝，eq\o(OB,\s\up12(→))＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角(2)图示：注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角（3）范围：当θ＝0时，两向量，共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量，相互垂直，记作⊥；当θ＝π时，两向量，共线但反向2.向量的数量积定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)记法：·，即·＝||||·cosθ，其中θ是与的夹角注意：数量积的结果为数量,不再是向量。（3）设，是非零向量，它们的夹角是θ，则①⊥⇔·＝0.②当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.③·＝||2或||＝3.数量积的运算律(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：向量数量积的运算不满足乘法结合律：4.投影：设θ是，的夹角，则||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影知识简用知识简用题型一向量的加法运算【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知下列各组向量，，求作．【例1-2】．（2022山西）化简下列各式：(1)；(2)；(3)．题型二向量的减法运算【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，在各小题中，已知，分别求作．【例2-2】（2022浙江）化简下列各式：（1）(＋)＋(－－)；（2）－－.（3）（4）；（5）＋．题型三向量的数乘运算【例3-1】（2022·福建）计算：（1）；（2）.（3）；（4）．【例3-2】（2022·黑龙江）已知非零向量，不共线．(1)如果，，，求证：，，三点共线；(2)欲使和共线，试确定实数的值．题型四向量的数量积【例4-1】（2022·上海市）已知单位向量满足，则向量的夹角为______．【例4-2】（2022·上海市）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影是______.【例4-3】（2022·台州市）已知，，与的夹角为，那么等于【例4-4】（2022·上海市金山中学高一期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．【例4-5】（2022·河北）已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为__．6.2平面向量的运算（学案）知识自测知识自测一．向量的加法运算法则1.三角形法则已知非零向量、，在平面上任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(BC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做与的和，记作＋，即＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。记忆口诀：作平移，首尾连，由起点指终点．2.平行四边形法则已知两个不共线向量，，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则记忆口诀：作平移，共起点，四边形，对角线3.加法的运算律(1)交换律：＋＝＋.(2)结合律：(＋)＋＝＋(＋).二．向量的减法运算1.相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－.性质：①和－互为相反向量。②零向量的相反向量仍是零向量。③由两个向量的和的定义可知：＋(－)＝(－)+=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。2.向量的减法(1)定义：向量加上的相反向量，叫做与b的差，即－＝＋(－)，求两个向量差的运算叫做向量的减法；向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.（2）运算法则：三角形法则或平行四边形法则记忆口诀：共起点，箭头指向被减数三．向量的数乘运算1.向量的数乘运算（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ.（2）规定：①|λ|＝|λ|||②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.（3）运算律：设λ，μ为实数，则①λ(μ)＝λμ；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ(分配律)．2.共线定理：向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使＝λ3.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算四．向量的数量积1.夹角（1）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝，eq\o(OB,\s\up12(→))＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角(2)图示：注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角（3）范围：当θ＝0时，两向量，共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量，相互垂直，记作⊥；当θ＝π时，两向量，共线但反向2.向量的数量积定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)记法：·，即·＝||||·cosθ，其中θ是与的夹角注意：数量积的结果为数量,不再是向量。（3）设，是非零向量，它们的夹角是θ，则①⊥⇔·＝0.②当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||.③·＝||2或||＝3.数量积的运算律(1)交换律：·＝·(2)数乘结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．(3)分配律：(＋)·＝·＋·.向量数量积的运算不满足乘法结合律：4.投影：设θ是，的夹角，则||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影||cosθ叫做向量在向量的方向上的投影知识简用知识简用题型一向量的加法运算【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知下列各组向量，，求作．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析.【解析】（1）将的起点移至的终点，即可得，如下图：（2）将的起点移至的终点，即可得，如下图：（3）以，为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得，如下图：（4）将的起点移至的终点，应用三角形法则可得，如下图：【例1-2】．（2022山西）化简下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1).(2).(3).题型二向量的减法运算【例2-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，在各小题中，已知，分别求作．【答案】见解析【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，，

(1)

(2)

(3)

(4)【例2-2】（2022浙江）化简下列各式：（1）(＋)＋(－－)；（2）－－.（3）（4）；（5）＋．【答案】（1）；（2）（3）；（4）；（5）.【解析】（1）法一：原式法二：原式;（2）法一：原式.法二：原式.（3）方法一(统一成加法)：方法二(利用)：（4）．（5）题型三向量的数乘运算【例3-1】（2022·福建）计算：（1）；（2）.（3）；（4）．【答案】（1）；（2）.(3)；(4).【解析】（1）=.（2）=（3）原式．（4）原式．【例3-2】（2022·黑龙江）已知非零向量，不共线．(1)如果，，，求证：，，三点共线；(2)欲使和共线，试确定实数的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：，，，，，且有公共点，故，，三点共线；（2）解：和共线，存在实数，使得，且，可得．题型四向量的数量积【例4-1】（2022·上海市）已知单位向量满足，则向量的夹角为______．【答案】【解析】已知为单位向量，则，，，故答案为：.【例4-2】（2022·上海市）已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影