教师资格认定考试初级中学数学模拟题26

教师资格认定考试初级中学数学模拟题26一、单项选择题1.

平面yOz内的一条直线绕z轴旋转一周所得的图形不可能是______。A.旋转单叶双曲面B.圆柱面C.圆锥面D.平面正确答案：A[解（江南博哥）析]坐标平面yOz内的一条直线，①如果平行于z轴，则直线绕z轴旋转一周得到的图形是圆柱面；②如果与z轴相交但不垂直，则直线绕z轴旋转一周得到的图形是圆锥面；③如果与z轴垂直，则直线绕z轴旋转一周得到的图形是平面。故本题选A。

2.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大影响。下列说法正确的是______。A.现代信息技术可以完全替代原有的教学手段B.在应用现代信息技术时，教师不需要课堂教学板书设计C.现代信息技术真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果D.现代信息技术的应用不利于培养学生的几何直观正确答案：C[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形的运动变化过程；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。

3.

设函数f(x)=asinx+xsin2x，在x0=π处取得极值，则______。A.a=π，f(π)是极小值B.a=π，f(π)是极大值C.a=2π，f(π)是极小值D.a=2π，f(π)是极大值正确答案：C[解析]计算f(x)的一阶导数和二阶导数，f'(x)=acosx+sin2x+2xcos2x，f"(x)=-asinx+4cos2x-4xsin2x。因为f(x)在x0=π处取得极值，所以f'(π)=-a+2π=0，于是a=2π，从而f"(π)=-2πsinπ+4cos2π-4πsin2π=4＞0。因此，f(x)在x0=π处取得极小值。故本题选C。

4.

设二次型正定，则数a的取值应满足______。A.a＞9B.-3＜a＜3C.3≤a≤9D.a≤-3正确答案：B[解析]因为二次型正定，所以A是正定矩阵，则A的所有顺序主子式应都大于0，即有，可得a的取值范围是-3＜a＜3。故本题选B。

5.

设随机变量X的分布律为：，k=1，2，…，N，则c=______。

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]离散型随机变量的概率分布之和等于1，即，所以。故本题选D。

6.

已知随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…，则常数C等于______。A.1B.eC.e-1D.e-2正确答案：C[解析]根据规范性，，所以C=e-1。故本题选C。

7.

下列属于情感态度目标明确的是______。A.建立数感、符号意识和空间概念B.学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式C.体会数学的特点，了解数学的价值D.建立模型，掌握数与代数的基础知识和基本技能正确答案：C[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，情感态度目标包括：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；体会数学的特点，了解数学的价值；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯；形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。故本题选C。

8.

设M，N为随机事件，P(N)＞0，且条件概率P(M|N)=1，则必有______。A.P(M∪N)＞P(M)B.P(M∪N)＞P(N)C.P(M∪N)=P(M)D.P(M∪N)=P(N)正确答案：C[解析]已知，所以P(MN)=P(N)，于是P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=P(M)。故本题选C。

二、简答题(每小题7分，共35分)我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后顺序，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100)，统计后得到如图所示的频率分布直方图。

1.

此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法?并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；正确答案：从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法叫作系统抽样。根据本题描述可知，此研究性学习小组在采样中，用到的是系统抽样方法。

由频率分布直方图知，[85，90)速段内的车速频率最高，故这40辆小型汽车车速的众数的估计值为87.5。将这40辆小型汽车的车速频数按照车速从小到大的顺序排列，依次为2，4，8，12，10，4。由中位数的定义知，40个车速数据的中位数为第20个和第21个车速数据和的一半。因为从小到大排列的第20个和第21个车速数据均为[85，90)速段内，所以这40辆小型汽车车速的中位数的估计值为87.5。

2.

从车速在[80，90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80，85)，[85，90)内都有车辆的概率；正确答案：车速在[80，90)的车辆共(0.2+0.3)×40=20(辆)，

车速在[80，85)，[85，90)的车辆分别有8辆和12辆，

则从车速在[80，90)的车辆中任意抽取3辆车，

车速在[80，85)，[85，90)内都有车辆的概率为。

3.

若从车速在[70，80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75，80)的车辆数的数学期望。正确答案：车速在[70，80)的车辆共6辆，车速在[70，75)，[75，80)的车辆分别有2辆和4辆。

记从车速在[70，80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75，80)的车辆数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则有

某单位6名员工借助互联网开展丁作，每名员工上网的概率都是0.5，且是否上网相互独立。4.

求至少3人同时上网的概率；正确答案：记同时上网的人数为ξ，则至少3人同时上网的概率。

5.

至少几人同时上网的概率小于0.3。正确答案：设至少m(m≤6)人同时上网的概率小于0.3，则，即①，而，当m=5时不等式①成立，而m=4时不等式①不成立，所以m=5，即至少5人同时上网的概率小于0.3。

6.

《义务教育教学课程标准(2011年版)》对利用不等式解决实际问题的要求是：能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的问题。请简要分析如何进行这节课的教学。正确答案：运用不等式来解决实际问题的教学本质就是解题的教学，即解决实际问题的教学，其关键点是结合不等式的相关知识建立适当的数学模型。

首先，教师应结合生活实际创设问题情境，供学生自主思考探究。如给出例题：某次数学竞赛共有20道题，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题?

其次，教师带领学生复习一元一次不等式的相关旧知，让学生结合旧知思考问题，学生小组交流讨论，教师引导列式。

最后，教师讲解建立一元一次不等式数学模型的过程，向学生渗透模型思想，使学生感受数学知识与实际生活的联系。

7.

求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。正确答案：过直线的平面束方程为λ(2x+y-2z+1)+μ(x+2y-z-2)=0，即(2λ+μ)x+(λ+2μ)y-(2λ+μ)z+λ-2μ=0，其中λ，μ不同时为0。要使所求平面与平面x+y+z-1=0垂直，则有(2λ+μ)×1+(λ+2μ)×1-(2λ+μ)×1=0，整理得λ=-2μ，不妨令μ=-1，则λ=2，所求平面方程为3x-3z+4=0。

某市旅游局为了了解游客情况，针对情况制定策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，统计得到茎叶图如下：

8.

若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率为概率P。今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为ξ，求P(ξ≤2)；正确答案：根据茎叶图知，景点甲中游客数超过130人的概率为。根据题意知，随机变量，所以。

9.

现从上图20天的数据中任取2天(甲、乙各1天)，记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为η，求η的分布列和数学期望。正确答案：根据茎叶图知，景点甲中游客数不低于125人且不高于135人的概率为；景点乙中游客数不低于125人且不高于135人的概率为。

根据题意知，η的取值为0，1，2。

η的分布列如下表：

三、解答题(本大题共10分)1.

设ε1，ε2，ε3，ε4为数域P上4维线性空间V的一个基，V上的一个线性变换σ在这个基下的矩阵，求σ的核σ-1(0)与σ的秩。正确答案：解：σ的秩等于矩阵的秩。对矩阵A进行初等行变换，，所以r(A)=2，即得σ的秩为2。

σ-1(0)={X|σ(X)=0}，又σ在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为A，所以σ-1(0)为齐次线性方程组AX=0的解空间。易知AX=0的基础解系为，α2=(-1，-2，0，1)T，通解为。所以核，k1，k2为任意实数}。

四、论述题(本大题共15分)1.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”请举例论述数学建模对学生学习数学的影响。正确答案：数学建模是一种数学思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段，使用数学语言描述的事物就称为数学模型，培养学生的模型思想有助于发挥学生的主观能动性，培养其一定的思维发散能力。

数学建模也是一种教学手段，为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用；有助于学生体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

例如，在教学概率统计相关知识的时候，教师结合生活实际创设教学情境，并从中抽象出相应的数学问题，引导学生探索相应的数学方法来解决问题。其中，实际问题向数学表述的转化就是模型思想的充分体现。在这一过程中，学生可以直观地感受数学与生活实际的联系，感受数学在生活实际中的应用价值，从而激发学生学习数学的积极性，培养其相应的数学思想和思维能力。

五、案例分析题(本大题共20分)阅读案例，并回答问题。案例：

在进行《同底数幂的运算》这一教学内容的拓展课时，同一道题目两位教师采用了不同的教学方法，下面分别是教师甲和教师乙的教学片段。

【教师甲】

师：现在我要用一道抢答题来考考你们，已知三个数字2，3，4，你能从中任取两个数字组成算式，使其运算结果最大吗?(有人脱口而出3×4=12)

师(微笑而不作答)：想想我们都学过了哪些运算?(停顿)

生1：4的3次方!

生2：不对，是3的4次方!(其他同学点头表示认同)

师：3的4次方这里进行的是什么运算呢?这里的3叫作什么?4叫作什么?

生：幂运算，3叫作底数，4叫作指数。

师：那这三个数还能组成哪些幂呢?学生进行小组讨论。

【教师乙】

师：根据上节课的学习，现在给大家出一道题：已知有三个数字，2，3，4，任取其中两个数组成算式，最大的组合是哪个?这里老师先把可能的结果罗列出来，大家进行判断。可能的结果有2×3，2×4，3×4，23，24，32，34，43，42，大家可以计算出哪个最大?

生1：3×4=12(脱口而出)

师：抬手示意其坐下没有进行理会。

学生经过计算后得到3的4次方是最大的。

师：那么现在给出大家1，3，5这三个数，同样是任取其中两个数组成算式，哪个算式最大呢?小组交流讨论。(教师乙在小组交流时进行巡视，并参与到各小组的交流中进行指点)1.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，“有效的数学活动是教师教与学生学的统一”，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。请说明这两位教师的教学是否符合要求?正确答案：教师甲在教学过程中，落实了课标中的要求。教师甲组织学生进行小组讨论，这体现了教师是学生活动的组织者，在最初的题目设置上，教师甲提出铺垫性问题，引导学生去思考，对问题不断地分析，引领学生突破惯性思维，注重学生的思考和动脑能力，加深对知识点的理解，巩固所学知识，在这点上体现了教师甲的引导者角色，但教师甲的提问过程过于详细，从而限制了学生的发散思维，除此之外，教师甲也没有对学生进行明确的分组并参与到其讨论中，所以教师甲在身为组织者和合作者方面存在不足。

教师乙在教学过程中缺乏对授课过程中实际情况的应急处理，而且没有引导学生对题目进一步思考，把可能结果自行罗列，不利于发展学生的创新思维，限制了学生的思考，所以教师乙在身为组织者和引导者方面存在不足，但是当学生进行小组讨论时，教师乙能够进行巡视指导并参与到学生的讨论之中，在学生思路受阻时给以一定的引导，体现了教师是学生活动的组织者和合作者。

2.

请说明组织数学探究活动时，需要注意哪些事项?正确答案：组织数学探究活动，需要注意以下事项。

①探究活动内容的选择要合理。要使探究活动更有效，需要发现和提出有意义的数学问题，同时探究内容要有激发性，也就是说，探究的问题能激发学生的探究欲望，问题的设置要在学生的“最近发展区”。

②探究活动的指导要合理。在探究活动中，教师要扮演好组织者、引导者、合作者的角色。首先要给学生创设探究的情境，其次要保证学生有探究的时问，再次探究活动并不是让学生毫无节制的谈论，而是精心编制的教学活动，所以教师不能孤立于学生之外，要及时进行指导，并对学生的探究结果做出合理的评价。

③在探究活动中，正确处理教师引导和学生探究的关系。学生作为探究活动的主体，需要通过自己的探究去发现新知识。教师作为引导者要发挥引导的作用，既要在学生脱离主题的时候，适时地引导方向，又不能过分地牵制学生的思想，造成“伪探究”的现象，还要注重学生的参与程度，让每个学生体验参与活动的乐趣。

六、教学设计题(本大题共30分)下面是《义务教育教科书(人教版)·数学七年级上册》中的内容，据此回答下列问题。

1.2.4绝对值

两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A，B两处(图1.2-6)。它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相等吗?

图1.2-6

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolutevalue)，记作|a|。例如，图1.2-6中A，B两点分别表示10和-10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和-10的绝对值都是10，即

|10|=10，|-10|=10

显然|0|=0。

由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

(1)如果a＞0，那么|a|=a；

(2)如果a=0，那么|a|=a；

(3)如果a＜0，那么|a|=-a。

问题：1.

学生学习绝对值这一节内容的知识背景；正确答案：学生在学习了有理数、数轴、相反数等概念后，能够用数轴上的点表示有理数，知道数轴上的点到原点的距离，并能比较这些距离的大小，已经具备了一定的数形结合的能力。