教师资格认定考试初级中学数学模拟题14

教师资格认定考试初级中学数学模拟题14一、单项选择题1.

设在(-∞，+∞)内f"(x)＞0，f(0)≤0，则函数______A.在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增B.在(-∞，0)∪(0，+∞)内单调递减C.在(-∞，0)内单调递增，在(0，+∞)内单调递减D.在(-∞，0)∪(0，+∞)内单调递增正确答案：D[解析]，令F(x)=xf'(x)-f(x)，所以F'(x)=f'(x)+xf"(x)-f'(x)=xf"(x)，因为在(-∞，+∞)内f"(x)＞0，所以当x＞0时，F'(x)＞0，当x＜0时，F'(x)＜0。又F(0)=0·f'(0)-f(0)≥0，故可知在(-∞，0)及(0，+∞)内均有F(x)＞0，故，选D。

2.

已知矩阵有一个特征值为0，则______A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=0正确答案：A[解析]由题知|A|=5-2x，A有特征值0，则|A|=0，解得x=2.5，选A。

3.

曲线(a＞0，b＞0)和两坐标轴所围成的面积是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由得，0≤x≤a，令，0≤t≤1，则dx=2atdt，曲线(a＞0，b＞0)和两坐标轴所围成的面积

4.

x=0为函数的______A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点正确答案：A[解析]有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，则，而函数在x=0处没有意义，函数值不存在，因此x=0为函数的可去间断点。

5.

当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是______A.P(C)=P(AB)B.P(C)=P(A∪B)C.P(C)≥P(A)+P(B)-1D.P(C)≤P(A)+P(B)-1正确答案：C[解析]由于，故P(C)≥P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1。故选C。

6.

设A，B都是n阶实对称矩阵，且都正定，那么AB是______A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵正确答案：C[解析]由于矩阵A与B不一定可交换，故A、B不正确；又A与B不一定是正交矩阵，故AB也非正交矩阵，D项错误；因为|A|＞0，|B|＞0，故|AB|=|A||B|≠0，从而AB可逆。

7.

下列说法中正确的是______A.会重合的图形一定是轴对称图形B.中心对称图形一定是会重合的图形C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D.两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称正确答案：C[解析]两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心。

8.

下列关于《义务教育数学课程标准》(2011年版)中初中数学课程基本理念的表述错误的是______A.将信息技术作为学生从事数学学习活动的主要工具B.课程内容标准既要反映社会的需要、数学的特点，也要符合学生的认知规律C.教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程D.评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程正确答案：A[解析]《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出：“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具。”其内涵是指应该将信息技术作为学生从事数学活动的辅助性工具，而不是主要工具。故选A。

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)1.

求曲面x2+2y2+3z2=21的一个切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。正确答案：解：设曲面上过点(x0，y0，z0)的切平面和平面x+4y+6z=0平行。

曲面x2+2y2+3z2=21上过点(x0，y0，z0)的切平面方程为2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0，

故，所以2x0=y0=z0，

代入曲面方程得，，

解得x0=±1，

可见在点(1，2，2)和点(-1，-2，-2)处曲面的切平面与平面x+4y+6z=0平行，且切平面方程为x+4y+6z-21=0或x+4y+6z+21=0。

2.

设f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)=f(2a)，证明：在[0，a]上至少存在一个ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a)。正确答案：证：令F(x)=f(x+a)-f(x)，因为f(x)在[0，2a]上连续，则F(x)在[0，a]上连续，

又f(0)=f(2a)，故F(0)=f(a)-f(0)，F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)，

当f(a)-f(0)=0时，可取ξ为0或a，有f(ξ)=f(ξ+a)。

当f(a)-f(0)≠0时，有F(0)·F(a)=-[f(a)-f(0)]2＜0，

由零点定理，可知存在一个∈ξ(0，a)，使得F(ξ)=0，且f(ξ)=f(ξ+a)。

综上，在[0，a]上至少存在一个ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a)。

3.

已知二次型的秩为2，求参数c及此二次型对应矩阵的特征值。正确答案：解：此二次型的对应矩阵为，

因为r(A)=2，故

解得c=3。验证符合题意。

，可得A的特征值为λ1=0，λ2=4，λ3=9。

4.

如何在数学思想方法教学中贯彻实践性原则?正确答案：学生数学思想方法的发展水平最终取决于自身参与数学活动的过程。数学思想方法教学既源于知识教学又高于知识教学。知识教学是认知结果的教学，足重记忆理解的静态型的教学。学生无独立思维活动过程，具有鲜明的个性特征的数学思想方法也就无法形成。因此，遵循实践性原则，就是在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围，要给学生提供思维活动的素材、时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学知识的发展过程中，在亲自实践活动中，接受熏陶，不断提炼思想方法，活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动、探索问题解答策略的良好习惯。数学思想方法也只有在需要该种方法的教学活动中才能形成。

5.

数学命题教学的基本任务是什么?正确答案：数学命题教学的基本任务是使学生认识命题的条件、结论，掌握数学命题的内容和表达形式，掌握命题的推理过程或证明方法，运用所学的数学命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题，并在此基础上，熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的关系，把学过的数学命题系统化，形成结构紧密的知识体系。

三、解答题(本大题共1小题，10分)椭圆面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是由过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成。1.

求S1及S2的方程；正确答案：解：由题意知，椭圆面S1的方程为。

设切点为(x0，y0)，则椭圆在该切点的切线方程为，

将点(4，0)代入切线方程得x0=1，从而，

所以切线方程为，

故圆锥面S2的方程为，即(x-4)2-4y2-4z2=0。

2.

求S1及S2之间的立体体积。正确答案：解：记，由记，

四、论述题(本大题共1小题，15分)1.

函数知识一直是中学代数内容的主线，是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，这就决定了函数在中学数学中的重要地位。请结合自己的教学说明如何进行函数概念的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么，并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。正确答案：在进行函数概念教学时，第一，要从实际背景和定义两方面帮助学生理解函数的本质。从学生容易掌握的描述性定义入手，采用函数变量说，便于和实际相联系。构建函数的一般概念后，通过对一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数的研究，结合图形分析，加强学生对函数概念的理解。这里注意函数体现着变量之间的关系，而不仅仅是一种表达类型。

第二，弄清楚函数与代数式、方程的关系。初中代数课程到了函数阶段，是对前面的知识的提炼升华，函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机地整合。因此，弄清概念之间的关系是学习函数的重要基础。

第三，利用数量关系建立函数模型。在教学中，以数量关系的发现作为基础，引出函数的结构模型，尤其是从实际事例中寻找函数关系，构造事物变化过程中的具体函数模型。

第四，注意函数的几种表征形式的联系与转化。教学中，用列表法、图象法、解析法表示函数，实质上是说明一种依赖关系的不同呈现方式。图示法可以直接由表格生成，也可改换角度，用另一种方式加以解释。几种表征形式的整合，可以更好地让学生理解概念之间的关系和解决问题。

第五，注重函数概念的形成过程。教学中，先进行具体的操作运算或作图，然后进行特定的思考和演算过程，接着把所学的函数概念形成一个独立的数学对象加以研究，最后在学生头脑中形成一个该函数概念的思维模型，得到比较抽象的数学符号表达式和抽象意义，加以理解确认。

利用函数思想解决问题时要注意的问题：①函数知识的横向、纵向联系；②把函数、方程、不等式看成一个整体；③将函数性质、特征与图象紧密结合；④二次函数的综合运用：⑤实际问题通过建立函数模型解决等。

(举例略)

五、案例分析题(本大题共1小题，20分)案例：阅读下列两个教师有关有理数乘方的教学片段。

甲教师导入的教学过程：

在大屏幕上依次呈现问题1(已知正方形的边长为a，则它的面积是多少?)和问题2(已知正方体的棱长为a，则它的体积是多少?)。待同学回答后，教师出示结果：边长为a的正方形的面积为a·a，简记作a2，读作a的平方(或二次方)；棱长为a的正方体的体积为a·a·a，简记作a3，读作a的立方(或三次方)。

然后提出问题3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，报纸有几层?如果对折两次、三次呢?

每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么?层数和对折的次数之间有什么关系?

学生折叠并思考，教师巡视并提问。归纳：每一次对折后的层数都是上一次对折层数的2倍。概括层数和对折次数的关系及表示方法，填入下表中：对折次数报纸层数层数表示1次221(2)2次422(2×2)3次823(2×2×2)4次1624(2×2×2×2)………n次

接下来，甲教师引出乘方的相关概念(大屏幕显示)：一般地，把n个相同的因数。相乘的运算叫作乘方运算，把a·a·a·…·a(n个a)简记作an，读作n的a次方。由此引出乘方、底数、指数、幂的概念。乙教师导入的教学过程：在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个可以分裂成多少个?引导学生思考：分裂的次数与细胞的个数之间有什么关系?并完成下表：经过时间分裂次数(次)细胞个数(个)30分钟121小时24=2×21.5小时38=2×2×2………5小时10

为了方便，可将记作210，一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即。

由此，引出乘方、底数、指数、幂的概念。

问题：1.

分析甲、乙两位教师导入的相同点；正确答案：甲教师的导入是由学生的已有经验(问题1和问题2)出发，通过问题3引出了乘方的相关概念。乙教师的导入是由细胞学的分裂实例，直接给出了乘方的相关概念。两位教师导入的共同点是导入简洁、快速。

2.

分析甲、乙两位教师导入中存在的问题。正确答案：甲、乙两位教师的导入有三点不足：

①没有突出为什么引入乘方运算。事实上，数的算式和算法的发展都与原算式或原算法不满足实际的需要及其内部的矛盾运动有关。当相同的因数相乘运算有大量需求，且因数的个数很多时，造成相同的因数相乘的算式和算法的冗繁，此时创造一种新的运算势在必行。乘方运算的创造，充分表明了数的运算发展从量变到质变的辩证过程。教师可通过适当的活动，渗透这一辩证观点。同时通过对概念引入必要性的体验，诱发学生的内部学习动机。

②由2n直接给出an，不仅使学生缺失了一次归纳概括的机会，而且也易使学生误以为底数a为正数。即使后面的练习有底数a为负数的，但先入为主(首因效应)，使得部分学生对乘方运算的理解不完整。

③没有让学生探究乘方运算记法的合理性。数学符号语言简洁、抽象的美，没有教师的点拨，学生是很难自主发现的。通过探究乘方运算记法的合理性，使学生对这种记法有较深刻的认识，避免一些无谓的错误，同时感受到数学家的智慧和数学符号语言的美。

六、教学设计题(本大题共1小题，30分)初中“反比例函数及其图象”的教学目标设计如下：

①进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。

②逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质；初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式。

③培养观察能力，以及从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力。

完成下列任务：1.

本节课的教学重点是什么?正确答案：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质。

2.

作为初中阶段的基础内容，其难点是什么?正确答案：教学难点：画反比例函数的图象。它的图象有两个分支，且其变化趋势又非直线，学生初次接触，会感到有些困难。

3.

请设计一个教学导入并说明设计意图。