高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 立体几何 文

立体几何G1空间几何体的结构8．G1，G6[·北京卷]如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析]设棱长为1，∵BD1＝eq\r(3)，∴BP＝eq\f(\r(3),3)，D1P＝eq\f(2\r(3),3).联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝eq\f(\r(3),3)，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝eq\f(\r(6),3)，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．18．G1，G4，G5[·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：G2空间几何体的三视图和直观图10．G2，G7[·北京卷]某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3[解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝eq\f(1,3)×(3×3)×1＝3.18．G2，G4[·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量eq\o(AD,\s\up6(→))的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4eq\r(3).正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝eq\f(1,2)AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝eq\f(1,3)S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4eq\r(3)，所以VD－PBC＝8eq\r(3).6．G2[·广东卷]某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是()图1－2A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．16．B[解析]由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)，选B.5．G2[·广东卷]执行如图1－1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()图1－1A．1B．2C．4D．75．C[解析]1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；4>3，故输出s＝4，选C.7．G2[·湖南卷]已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)7．D[解析]由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为eq\r(2)，选D.8．G2[·江西卷]一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为()图1－2A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π8．A[解析]该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为eq\f(1,2)π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.13．G2[·辽宁卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16[解析]由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.9．G2[·新课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图1－39．A[解析]在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－44．G2[·山东卷]一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图1－1A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8，84．B[解析]由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，∴侧面积＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，体积为eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).12．G2[·陕西卷]某几何体的三视图如图1－2所示，则其表面积为________．图1－212．3π[解析]由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×12＝3π.11．G2[·新课标全国卷Ⅰ]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π11．A[解析]该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是eq\f(1,2)×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5．G2[·浙江卷]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是()图1－1A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm35．B[解析]此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×4＝108－8＝100(cm3)．所以选择B.19．G2和G5[·重庆卷]如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2eq\r(3)，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3).(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)·2·2·sineq\f(2π,3)＝eq\r(3).由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为eq\f(1,8)PA，故VF－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·eq\f(1,8)PA＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,8)×2eq\r(3)＝eq\f(1,4)，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).8．G2和G7[·重庆卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为()图1－3A．180B．200C．220D．2408．D[解析]该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为eq\f(1,2)(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.G3平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系17．G4，G5，G7[·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．G2，G4[·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量eq\o(AD,\s\up6(→))的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4eq\r(3).正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝eq\f(1,2)AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝eq\f(1,3)S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4eq\r(3)，所以VD－PBC＝8eq\r(3).18．G1，G4，G5[·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：8．G4、G5[·广东卷]设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．B[解析]根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[·江苏卷]如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.15．G4[·江西卷]如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1－515．4[解析]直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．图1－418．G4，G5[·辽宁卷]如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO.MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.18．G4，G7，G11[·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.19．G4，G5[·山东卷]如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.18．G4，G11[·陕西卷]如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1

瘙
綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1

瘙
綊B1C1

∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－OA2)＝1，又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1所以直线l⊥平面ADD1A1(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C所以DE⊥平面AA1C由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2).又S△A1QC1＝eq\f(1,2)A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝eq\f(1,3)DE·S△A1QC1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6).因此三棱锥A1－QC1D的体积是eq\f(\r(3),6).17．G4，G5、G11[·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝eq\f(\r(5)a,2)，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝eq\f(\r(5)a,5).在Rt△BGC中，sin∠BCG＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(\r(5),5).所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).4．G4，G5[·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C[解析]对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.G5空间中的垂直关系图1－518．G5[·安徽卷]如图1－5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．18．解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝eq\f(1,2)VC－PAB＝eq\f(1,2)VB－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，故PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝eq\f(1,2)VB－APC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·S△APC·BO＝eq\f(1,2).17．G4，G5，G7[·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.19．G5、G11[·全国卷]如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，OP＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(2)，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝eq\f(1,2)PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.18．G1，G4，G5[·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：8．G4、G5[·广东卷]设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．B[解析]根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[·江苏卷]如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.19．G5，G7[·江西卷]如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C(2)求点B1到平面EA1C1图1－719．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝eq\r(3).在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6).在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.所以BE⊥平面BB1C(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝eq\f(1,3)·AA1·S△A1B1C1＝eq\r(2).在Rt△A1D1C1中，A1C1＝eq\r(A1Deq\o\al(2,1)＋D1Ceq\o\al(2,1))＝3eq\r(2).同理，EC1＝eq\r(EC2＋CCeq\o\al(2,1))＝3eq\r(2)，A1E＝eq\r(A1A2＋AD2＋DE2)＝2eq\r(3).故S△A1C1E＝3eq\r(5).设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1V＝eq\f(1,3)·d·S△A1C1E＝eq\r(5)d，从而eq\r(5)d＝eq\r(2)，d＝eq\f(\r(10),5).图1－418．G4，G5[·辽宁卷]如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO.MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.19．G4，G5[·山东卷]如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.19．G4，G5，G7，G11[·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1所以直线l⊥平面ADD1A1(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C所以DE⊥平面AA1C由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2).又S△A1QC1＝eq\f(1,2)A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝eq\f(1,3)DE·S△A1QC1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6).因此三棱锥A1－QC1D的体积是eq\f(\r(3),6).17．G4，G5、G11[·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝eq\f(\r(5)a,2)，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝eq\f(\r(5)a,5).在Rt△BGC中，sin∠BCG＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(\r(5),5).所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).19．G5[·新课标全国卷Ⅰ]如图1－5所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°(1)证明：AB⊥A1C(2)若AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．图1－519．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C平面OA1C，故AB⊥A(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝eq\r(3).又A1C＝eq\r(6)，则A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1又△ABC的面积S△ABC＝eq\r(3)，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.4．G4，G5[·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C[解析]对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.19．G2和G5[·重庆卷]如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2eq\r(3)，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝eq\f(π,3).(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)·2·2·sineq\f(2π,3)＝eq\r(3).由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为eq\f(1,8)PA，故VF－BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·eq\f(1,8)PA＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,8)×2eq\r(3)＝eq\f(1,4)，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).G6三垂线定理8．G1，G6[·北京卷]如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析]设棱长为1，∵BD1＝eq\r(3)，∴BP＝eq\f(\r(3),3)，D1P＝eq\f(2\r(3),3).联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝eq\f(\r(3),3)，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝eq\f(\r(6),3)，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．G7棱柱与棱锥17．G4，G5，G7[·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.10．G2，G7[·北京卷]某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3[解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝eq\f(1,3)×(3×3)×1＝3.8．G7[·江苏卷]如图1－1，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2图1－18．1∶24[解析]设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2＝Sh，又D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，所以S△AED＝eq\f(1,4)S，且三棱锥F－ADE的高为eq\f(1,2)h，故V1＝eq\f(1,3)S△AED·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,3)·eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh，所以V1∶V2＝1∶24.19．G5，G7[·江西卷]如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C(2)求点B1到平面EA1C1图1－719．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝eq\r(3).在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6).在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.所以BE⊥平面BB1C(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝eq\f(1,3)·AA1·S△A1B1C1＝eq\r(2).在Rt△A1D1C1中，A1C1＝eq\r(A1Deq\o\al(2,1)＋D1Ceq\o\al(2,1))＝3eq\r(2).同理，EC1＝eq\r(EC2＋CCeq\o\al(2,1))＝3eq\r(2)，A1E＝eq\r(A1A2＋AD2＋DE2)＝2eq\r(3).故S△A1C1E＝3eq\r(5).设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1V＝eq\f(1,3)·d·S△A1C1E＝eq\r(5)d，从而eq\r(5)d＝eq\r(2)，d＝eq\f(\r(10),5).18．G4，G7，G11[·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.19．G4，G5，G7，G11[·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1所以直线l⊥平面ADD1A1(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C所以DE⊥平面AA1C由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2).又S△A1QC1＝eq\f(1,2)A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝eq\f(1,3)DE·S△A1QC1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6).因此三棱锥A1－QC1D的体积是eq\f(\r(3),6).8．G2和G7[·重庆卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为()图1－3A．180B．200C．220D．2408．D[解析]该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为eq\f(1,2)(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.G8多面体与球10．G8[·天津卷]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．10.eq\r(3)[解析]设正方体的棱长为a，则eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9,2)π，解之得a＝eq\r(3).15．G8[·新课标全国卷Ⅱ]已知正四棱锥O－ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．15．24π[解析]设O到底面的距离为h，则eq\f(1,3)×3×h＝eq\f(3\r(2),2)h＝eq\f(3\r(2),2)，OA＝eq\r(h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，故球的表面积为4π×(eq\r(6))2＝24π.16．G8[·湖北卷]我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．3[解析]积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆台的高为九寸，故此时积水的体积是eq\f(1,3)π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面积是π×142＝196π，所以平均降雨量是eq\f(196×3π,196π)＝3寸．15．G8[·新课标全国卷Ⅰ]已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．15.eq\f(9π,2)[解析]截面为圆，由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r，则AH＝eq\f(2,3)r，所以OH＝eq\f(1,3)r，所以eq\f(1,3)r2＋12＝r2，r2＝eq\f(9,8)，所以球的表面积是4πr2＝eq\f(9π,2).G9空间向量及运算G10空间向量解决线面位置关系G11空间有与距离的求法19．G5、G11[·全国卷]如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，OP＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(2)，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝eq\f(1,2)PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.11．G11[·全国卷]已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)11．A[解析]如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，所以CE＝eq\f(CC1·OC,OC1)＝eq\f(4\r(2),3\r(2))＝eq\f(4,3)，所以sin∠CDE＝eq\f(CE,CD)＝eq\f(2,3).22．G11[·江苏卷]如图1－2所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．图1－222．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2，0，－4)，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(1，－1，－4)．因为cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(C1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(C1D,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))||\o(C1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(18,\r(20)×\r(18))＝eq\f(3\r(10),10)，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq\f(3\r(10),10).(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0，2，4)，所以n1·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，n1·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(2,\r(9)×\r(1))＝eq\f(2,3)，得sinθ＝eq\f(\r(5),3).因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为eq\f(\r(5),3).18．G4，G7，G11[·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.18．G4，G11[·陕西卷]如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1

瘙
綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1

瘙
綊B1C1

∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－OA2)＝1，又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1所以直线l⊥平面ADD1A1(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C所以DE⊥平面AA1C由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2).又S△A1QC1＝eq\f(1,2)A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝eq\f(1,3)DE·S△A1QC1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6).因此三棱锥A1－QC1D的体积是eq\f(\r(3),6).17．G4，G5、G11[·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝eq\f(\r(5)a,2)，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝eq\f(\r(5)a,5).在Rt△BGC中，sin∠BCG＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(\r(5),5).所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).G12单元综合图1－315．G12[·安徽卷]如图1－3，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1①当0<CQ<eq\f(1,2)时，S为四边形；②当CQ＝eq\f(1,2)时，S为等腰梯形；③当CQ＝eq\f(3,4)时，S与C1D1的交点R满足C1R＝eq\f(1,3)；④当eq\f(3,4)<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为eq\f(\r(6),2).15．①②③⑤[解析]对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝eq\f(1,2)时，PQ＝eq\f(\r(2),2)，这时过A，P，Q三点的截面与DD1交于D1，AP＝D1Q＝eq\f(\r(5),2)，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形．当CQ<eq\f(1,2)时，过A，P，Q三点的截面与直线DD1的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR并延长交DD1的延长线于N点，联结AN交A1D1于M，取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN，且GH＝eq\f(1,2)AN.设CQ＝t(0≤t≤1)，则DN＝2t，ND1＝2t－1，eq\f(ND1,C1Q)＝eq\f(D1R,RC1)＝eq\f(2t－1,1－t)，当t＝eq\f(3,4)时，eq\f(D1R,C1R)＝eq\f(2,1)，可得C1R＝eq\f(1,3)，故③正确；当eq\f(3,4)<t<1时，S为五边形，故④错误；当t＝1时，Q与C1重合，M为A1D1的中点，S为菱形PC1MA，AM＝AP＝PC1＝C1M＝eq\f(\r(5),2)，MP＝eq\r(2)，AC1＝eq\r(3)，S的面积等于eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，故⑤正确．20．G12[·湖北卷]如图1－4所示，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1－A2B2(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1－A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算，已知V＝eq\f(1,3)(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．图1－420．解：(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，由AA2∥平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥又M，N分别为AB，AC的中点．则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A因此DE＝eq\f(1,2)(A1A2＋B1B2)＝eq\f(1,2)(d1＋d2)，FG＝eq\f(1,2)(A1A2＋C1C2)＝eq\f(1,2)(d1＋d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．(2)V估<V，证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2而EM∥A1A2由MN是△ABC的中位线，可得MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)a即为梯形DEFG的高，因此S中＝S梯形DEFG＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d1＋d2,2)＋\f(d1＋d3,2)))·eq\f(a,2)＝eq\f(a,8)(2d1＋d2＋d3)．即V估＝S中h＝eq\f(ah,8)(2d1＋d2＋d3)，又S＝eq\f(1,2)ah，所以V＝eq\f(1,3)(d1＋d2＋d3)S＝eq\f(ah,6)(d1＋d2＋d3)．于是V－V估＝eq\f(ah,6)(d1＋d2＋d3)－eq\f(ah,8)(2d1＋d2＋d3)＝eq\f(ah,24)[(d2－d1)＋(d3－d1)]．由d1<d2<d3，得d2－d1>0，d3－d1>0，故V－V估>0，即V估<V.2．G2[·四川卷]一个几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体可以是()图1－1A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台2．D[解析]结合三视图原理，可知几何体为圆台．16．G8、G12[·全国卷]已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝eq\f(3,2)，且圆O与圆K所在的平面所成