高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用 章节复习 教学设计

第五章一元函数的导数及其应用章节复习夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1正确理解导数定义，了解掌握利用导数定义解决导数问题例1（1）若，则___________.【解析】令则原式可变形为.【答案】例1（2）已知在处可导，且，则等于（）A．B.C.D.【解析】，故选B重点2正确理解导数的几何意义，掌握解决有关切线的问题例2（1）曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.【解析】由已知得，即，故选A例2（2）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为为正整数，，则_______.【解析】由已知，，点处的切线的斜率，在点处的切线方程为当时，解得，所以.【答案】21例2（3）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】由已知得，所以，解得，故选D重点3快速利用求导公式以及运算法则正确求出函数导数例3（1）设若则（）A.B.C.D.【解析】由已知得，所以，故选B例3（2）等比数列中，，函数，则（）A．B.C.D.`【解析】观察函数形状，变形为所以所以，故选C例3（3）函数，满足，则________.【解析】由已知，所以所以【答案】重点4利用导数解决函数的单调性问题例4（1）函数的递增区间为___________________.【解析】由已知，由得，解得或，所以的递增区间为和【答案】和例4（2）函数，若在其定义域内为单调函数，则的取值范围为_________．【解析】由已知的定义域为，若在内为单调函数，则或在区间上恒成立当时，，在单调递减当时，方法一：，要使在上恒成立只须，解得，综上，方法二：，令，则在上恒成立满足，所以，其余同上.方法三：，因为，所以只有在上恒成立即在上恒成立，即在上恒成立又，所以当且仅当时成立，所以，其余同上.例4（3）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．【解析】（1）当时，所以令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减.（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.重点5利用导数解决函数的极值问题、最值问题例5（1）函数的极大值是________，极小值是________．【解析】由已知由得，即或，在和上单调递增由得，即，在上单调递减所以，【答案】例5（2）已知（Ⅰ）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（Ⅱ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【解析】（Ⅰ）已知，，依题意，在能成立，即在能成立，令，则只须，又，因此时，函数在上存在单调递增区间.（Ⅱ）令所以在和上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在区间上的最大值为又所以在上的最小值为从而在区间上的最大值为例5（3）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）由已知，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，由，解得或，由，解得，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）由（1）知，若有三个零点，则，且，即，所以，解得，所以的取值范围为.重点6利用导数解决实际问题例6（1）某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为,则银行获得最大收益的存款利率为()A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%【解析】依题意知,存款量是,银行应支付的利息是,银行应获得的利息是0.048,所以银行的收益，所以令,得或(舍去).因为,所以当时,，当时,.因此,当时,取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.故选A.例6（2）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的等边的中心为.为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.【解析】如图，连接交于点，设重合于点，正三角形的边长为，则.，，三棱锥的体积.设，，则，令，则，解得，易知在处取得最大值.∴.【答案】二、拓展思维，熟知方法1.已知为偶函数，当QUOTEx<0时，QUOTEfx=ln-x+3x，则曲线在点处的切线方程是____________．【解析】当时，，则．又为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【答案】2.已知函数有唯一零点，则（）A．B． C．D．1【解析】方法一：，令，则，，是偶函数因为有唯一零点，所以也有唯一零点由偶函数性质知，即，所以，故选C方法二：由得因为，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号若，则，要使有唯一零点，则必有，即若，则的零点不唯一，故选C方法三：函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得.故选C.三、感悟问题，提升能力1.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【解析】由已知所以，，点即为将代入得，故选D．2.若直线与曲线和都相切，则的方程为（）A. B. C. D.【解析】设直线在曲线上的切点为，则，由已知得，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，即，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选D.3.设函数.若实数满足,则()A. B.C. D.【解析】因为,所以在其定义域内是单调递增的,由知,又因为,,故在上也是单调递增的,由知,所以,,因此.故选A.4.已知上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为.【解析】由曲线以及函数的单调性,可知,或不等式,即或，所以或所以【答案】5.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）由得，当时，，有，在上单调递增当或时，由得由或由在和单调递增，在单调递减.（Ⅱ）若函数在区间内是减函数，则有在区间恒成立只需的取值范围是6.设为实数，函数.（Ⅰ）求的单调区间及极值；（Ⅱ）求证：当且时，【解析】（Ⅰ）由已知得由得，所以，由得，所以的变化如下表：－0＋单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，（Ⅱ）证明：欲证，即证设，即证且时，可得（这个形式下不易解）令