高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】(原卷版+解析)

专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1曲线方程与双曲线】 1【题型2利用双曲线的定义解题】 2【题型3双曲线的标准方程的求解】 3【题型4求双曲线的轨迹方程】 3【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】 5【题型6双曲线的渐近线方程】 6【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】 6【题型8双曲线中的最值问题】 7【题型9双曲线的实际应用问题】 7【知识点1双曲线的标准方程】1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系【题型1曲线方程与双曲线】【例1】（2023·高二课时练习）当ab<0时，方程ax2−ay2=b所表示的曲线是（

）A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线C的方程为x2m+A．曲线C可以表示圆B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【变式1-3】（2022·高二课时练习）已知x21−k−(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【题型2利用双曲线的定义解题】【例2】（2023秋·江苏常州·高二校考期末）双曲线C:x225−y239=1上的点A．22 B．2 C．2或22 D．24【变式2-1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线C：x2a2−y212=1的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为3x+y=0A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【变式2-2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线C:x2−y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与CA．6 B．8 C．10 D．12【变式2-3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线x24−y212=1的两个焦点，PA．24 B．152 C．125 D．30【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】（2023秋·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A．x29−C．x2100−【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆C:y216+xA．x2−yC．y22−【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,−5，P是双曲线上一点且满足A．x216−y29=1 B．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在A．x212−C．x23−【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点F10,−5，F2A．x29−C．x29+【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点F1−3,0，F23,0，下列条件中满足动点A．PF1−C．PF1−【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆C1：x+52+y2=25和圆C2A．x24−C．x29−【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点F1(−2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为A．x2+y23=1 B．x【知识点2双曲线的简单几何性质】1．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程2．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.3．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）若双曲线C：x2a2−y2b2=1A．x22−y28=1 B．【变式5-1】（2023·四川成都·三模）已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22−y2A．x28−y24=1 B．【变式5-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆y24+A．3x216C．3y24【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，A．x29−C．x227−【题型6双曲线的渐近线方程】【例6】（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线x2a2−yA．y=±3x C．y=±23x【变式6-1】（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线x2−my2=1m>0的左、右焦点分别为A．y=±22x B．y=±33x【变式6-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为AA．−3 B．−22 C．−5 【变式6-3】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知双曲线C : x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为FA．y=±2x B．y=±C．y=±2x 【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为A．32 B．233 【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2A．2 B．2 C．3 D．5【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于AA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为A．22,2 B．52,5【题型8双曲线中的最值问题】【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点A．5 B．5+22 C．7 【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线A．9 B．10 C．11 D．12【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1A．PF1⋅PFC．PF1⋅PF2的最小值为【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别为双曲线x29−y2A．19 B．23 C．25 D．85【题型9双曲线的实际应用问题】【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4A．4米 B．82−4米 C．26−4米【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（

）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403m B．东偏南45°方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703m D．东偏南45°方向，距离1703m【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为x2a2−y2b2=1，F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点FA．2+1 B．2+3 C．5+22【变式9-3】（2023·江西鹰潭·统考一模）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cmA．423cm B．924cm

专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1曲线方程与双曲线】 1【题型2利用双曲线的定义解题】 3【题型3双曲线的标准方程的求解】 5【题型4求双曲线的轨迹方程】 7【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】 10【题型6双曲线的渐近线方程】 12【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】 14【题型8双曲线中的最值问题】 16【题型9双曲线的实际应用问题】 18【知识点1双曲线的标准方程】1．双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系【题型1曲线方程与双曲线】【例1】（2023·高二课时练习）当ab<0时，方程ax2−aA．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可．【解答过程】当ab＜0时，方程ax2−a∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；故选：D．【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先求方程mx【解答过程】因为方程mx2+n又当mn<0时，方程mx因此“mn<0”是“方程mx故选：C.【变式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线C的方程为x2m+A．曲线C可以表示圆B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【解题思路】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.【解答过程】对A，若曲线表示圆，则有m=2m+5>0，无解，A错；对BC，若曲线表示椭圆，则有m>02m+5>0m≠2m+5⇒m>0，此时2m+5>m，则曲线C对D，若曲线表示双曲线，则有m2m+5<0⇒−52<m<0，此时m<0<2m+5故选：CD.【变式1-3】（2022·高二课时练习）已知x21−k−(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【解题思路】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可．【解答过程】（1）因为x21−k−所以(k−1)(|k|−3)<0，解得k<−3或1<k<3；所以k<−3或1<k<3；（2）因为x21−k−y2则k−1＞03−所以1<k<3；（3）因为x21−k−y2则k−3＞0所以k<−3.【题型2利用双曲线的定义解题】【例2】（2023秋·江苏常州·高二校考期末）双曲线C:x225−y239=1上的点A．22 B．2 C．2或22 D．24【解题思路】根据双曲线的定义即可求解.【解答过程】由双曲线方程可得：a=5，c=25+39=8，设双曲线的左右焦点分别为F1若点P在双曲线的左支上，则由双曲线的定义可知：PF所以PF若点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可知：PF所以PF2=12−10=2综上：P到右焦点的距离为PF故选：A.【变式2-1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线C：x2a2−y212=1的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为3x+y=0A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【解题思路】由渐近线方程可得a=2，则c=4，后由双曲线定义可得答案.【解答过程】由3x+y=0，可得23a又因M在双曲线C，则由双曲线定义，有MF2−故选：B.【变式2-2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线C:x2−y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与CA．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】结合双曲线的定义来解决即可.【解答过程】双曲线x2−y由双曲线的定义，可得A所以AF则三角形ABF1的周长为故选：B.【变式2-3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线x24−y212=1的两个焦点，PA．24 B．152 C．125 D．30【解题思路】利用双曲线定义求出△PF【解答过程】3PF153PF2−根据余弦定理：cos∠则sin∠F1故选：A.【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】（2023秋·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A．x29−C．x2100−【解题思路】根据题意列式求解a,b,c，即可得结果.【解答过程】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2由题意可得c2=a∴双曲线的方程为x2故选：A.【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆C:y216+xA．x2−yC．y22−【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a的值，再由b=c2−【解答过程】椭圆C的焦点坐标为0,±2，设双曲线的标准方程为y2由双曲线的定义可得2a=1∴a=2，∵c=2，∴b=因此，双曲线的方程为y2故选：C.【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,−5，P是双曲线上一点且满足A．x216−y29=1 B．【解题思路】根据双曲线的定义求得正确答案.【解答过程】依题意c=5，PF所以b=c由于双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是y2故选：D.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在A．x212−C．x23−【解题思路】在△PF1D和△PF2D分别利用余弦定理得2n2+【解答过程】如图所示设PF1=n，PF2=m，∠PDF在△PF1D在△PF2D2×①+②在△PF1F③④联立消去x得2n因为S△PF1F2由均值不等式可得72=2n当且仅当2n2=12此时由④9x2=n2所以PF22=PF所以在△PF1D中n由双曲线的性质可得PF2−P所以双曲线E的方程为x2故选：C.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点F10,−5，F2A．x29−C．x29+【解题思路】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.【解答过程】点F10,−5，F20,5，令因此动点P的轨迹是以F10,−5，即双曲线的实半轴长a=4，而半焦距c=5，则虚半轴长b=c所以所求轨迹方程为y2故选：B.【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点F1−3,0，F23,0，下列条件中满足动点A．PF1−C．PF1−【解题思路】由双曲线的定义即可求解.【解答过程】解：由题意，因为F1所以由双曲线的定义知，当0<PF1故选：C.【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆C1：x+52+y2=25和圆C2A．x24−C．x29−【解题思路】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.【解答过程】设动圆M的半径为r，圆C1的圆心为C1−5,0，半径r1=5，圆C2的圆心为C25,0，半径r2=1，因为动圆M与圆C1和圆C2均外切，所以MC1=r+5，MC2=r+1，所以MC故选：A．【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点F1(−2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为A．x2+y23=1 B．x【解题思路】由N是圆O:x2+y2=1上任意一点,可得|ON|=−1，N为MF【解答过程】如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1，则|ON|=1结合PN为线段MF1的垂直平分线，可得所以PF同理，当点P在y轴右侧时，PF故点P的轨迹是双曲线，其方程为x2故选：B.【知识点2双曲线的简单几何性质】1．双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形标准方程范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b离心率渐近线方程2．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.3．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）若双曲线C：x2a2−y2b2=1A．x22−y28=1 B．【解题思路】根据双曲线一条渐近线的斜率可得b=2a，将点3,2的坐标代入方程x【解答过程】由题意可得ba=2，所以把点3,2的坐标代入方程x2a所以b2则C的标准方程为x2故选：A.【变式5-1】（2023·四川成都·三模）已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22−y2A．x28−y24=1 B．【解题思路】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线C的方程，再代入点，即可求解.【解答过程】由题意设双曲线C的标准方程为x22−得162−4=λ，得所以双曲线C的标准方程为x2故选：A.【变式5-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆y24+A．3x216C．3y24【解题思路】由椭圆方程可确定焦点在y轴上且离心率e=12，从而得双曲线的焦点也在y轴上，离心率e=2，再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为【解答过程】解：因为椭圆y24+x2所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e=2，即ca=2，所以又因为双曲线的虚轴长为4，即2b=4，所以b=2，即c2所以a2所以所求双曲线的方程为：3y故选：C.【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，A．x29−C．x227−【解题思路】根据离心率求出ba=22，得渐近线方程为y=±22x，设直线y=22【解答过程】因为双曲线Γ:x2a2−y所以双曲线Γ的渐近线方程为y=±2设直线y=22x的倾斜角为θ由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则∠AOB=2θ，于是得sin∠AOB=而双曲线的虚半轴长为b，即OA=显然四边形ABCD为矩形，其面积S=4S△AOB=4×12所以双曲线的方程为x2故选：B．【题型6双曲线的渐近线方程】【例6】（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线x2a2−yA．y=±3x C．y=±23x【解题思路】先应用双曲线x2a2−y【解答过程】由题知双曲线x2a2−y23所以a=1,b=3，双曲线焦点在x所以双曲线的渐近线方程为y=±b故选：A.【变式6-1】（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线x2−my2=1m>0的左、右焦点分别为A．y=±22x B．y=±33x【解题思路】由双曲线的定义与性质计算即可.【解答过程】由题意可得x2−my渐近线方程为y=±1故选：D.【变式6-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为AA．−3 B．−22 C．−5 【解题思路】设渐近线l的方程，由两直线垂直的条件可得直线PF1的方程，联立两直线方程求得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得【解答过程】解：设Pm,n，渐近线l的方程为y=−直线PF1的方程为联立①②可得x=−a2c即有A−由PA=2AF1，可得解得m=2c−3a2c，由P在双曲线上，可得2c−3化为4c2=13可得2b=3a，所以直线l的斜率为−3故选：D．【变式6-3】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知双曲线C : x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为FA．y=±2x B．y=±C．y=±2x 【解题思路】求得双曲线的渐近线方程，求得点P到双曲线C的两条渐近线的距离d1,d2，根据题意化简得到c2【解答过程】设P(x0,y0渐近线方程为y=±bax则点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为：d1因为F1F2可得c4=4a又由c2=a2+所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，故选：D．【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为A．32 B．233 【解题思路】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.【解答过程】双曲线C:3mx2−my2=3化为：因此双曲线C的实半轴长为1，所以双曲线C的离心率为2.故选：C.【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2A．2 B．2 C．3 D．5【解题思路】根据渐近线方程可得ba=1，再由【解答过程】因为双曲线C:x2a所以ba所以双曲线的离心率为e=c故选：B.【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于AA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【解题思路】求出点A、B的坐标，设点Px,y，其中x≤−a，可得出y2=b2x2a2−b【解答过程】将x=c代入双曲线C的方程可得c2a2不妨取点Ac,b2a、Bc,−b2AP=x−c,y−b因为PA⊥PB，所以AP=c因为x≤−a，则cax−a<0，所以，可得x=a2−整理可得e2−e−2≥0，因为e>1，解得故选：D.【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为A．22,2 B．52,5【解题思路】首先表示出直线AB的方程，利用距离公式表示出d1，d2，依题意可得2abc≥45c，再根据a【解答过程】依题意直线AB：xa+yb=1所以d1=2b−ab所以d1+d即25c2−a2又e>1，所以e∈5故选：B.【题型8双曲线中的最值问题】【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点A．5 B．5+22 C．7 【解题思路】由双曲线定义PF等于P到右焦点F1的距离PF1+4，而PF1【解答过程】记双曲线C的右焦点为F122,0，所以当且仅当点P为线段EF1与双曲线故选：C．【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线A．9 B．10 C．11 D．12【解题思路】分析可知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得PQ【解答过程】在双曲线C1中，a=4，b=3，c=5，易知两圆圆心分别为双曲线C记点F1−5,0、F25,0，当PQ−所以，PQ−故选：B.【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1A．PF1⋅PFC．PF1⋅PF2的最小值为【解题思路】设出点P的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.【解答过程】根据题意，F1,F2的坐标为0,6,0,−故PF又y2=41+x2又x∈R，故当x=0时，取得最小值−2故PF1⋅故选：D.【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别为双曲线x29−y2A．19 B．23 C．25 D．85【解题思路】设P(x,y)且x≥3，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求|PF【解答过程】令P(x,y)且x≥3，则|PF1|所以|PF1|则|PF1|2|P所以|PF故选：B.【题型9双曲线的实际应用问题】【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4A．4米 B．82−4米 C．26−4米【解题思路】将A−23,−8代入双曲线得到m=4，当x=−2【解答过程】根据题意：M0,−4，A−23,−8，故6416当水面宽度为46米时，即x=−2