高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第06讲对数与对数函数(分层精练)(原卷版+解析)

第06讲对数与对数函数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（

）A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍4．（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（

）A． B． C． D．8．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，则（

）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）____________12．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考开学考试）已知函数过定点，若，则最小值为______.四、解答题13．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）（1）计算求值：；（2）解不等式：.14．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过5730年（半衰期），残存含量为原始含量的一半．考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法．一般地，经过年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为，满足函数关系：，其中常数为自然对数的底，称为碳-14衰变常数．(1)求的值；(2)通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中的某物的碳-14含量约占原始含量的78.13%，请推测悬棺距今多少年？（精确到个位数）15．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设（且）.(1)若，求实数的值及函数的定义域；(2)若，求函数的值域.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（

）．A．B．C．D．2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数，若，当时，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）1904年，瑞典科学家海里格･冯･科赫引人一条曲线一一科赫曲线，曲线是这样构造的：①作一直线段；②将直线段三等分，以中间三分之一线段为底作一个等边三角形，并擦去等边三角形的底，得到由四条线段构成的折线图；③对的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段，得到折线图；④无限重复上述过程，依次得到，，最后得到一条复杂曲线即称为科赫曲线，若线段的长度为1米，则的长度为__________；若米，则正整数的最小值为__________.（参考数据：）C综合素养1．（2023·全国·高三专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（

）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.262．（多选）（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）函数，则正确的有（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．在区间上是增函数3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是________．4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升(2)已知信号功率，证明：；(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）5．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(3)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.6．（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知函数（）.(1)当时，解关于的不等式：；(2)若在时都有意义，求实数的取值范围.7．（2023秋·山东烟台·高一统考期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．第06讲对数与对数函数(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，解得，故定义域为.故选：B.2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即，又，所以.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（

）A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍【答案】B【详解】由题意知，，得，则，即，解得.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B选项错误；对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，又，则故选：B6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得．根据函数的图象及，得，，所以．令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，所以．故，故选：C.7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为令，又在定义域内为减函数，故只需求函数在定义域上的单调递减区间，又因为函数在上单调递减，的单调递区间为.故选：B8．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】要使函数在R上为减函数，需满足，解得.故选：D．二、多选题9．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；对C：，C正确；对D：，D正确.故选：ACD.10．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，在单调递增且其图象恒过点，则选项B符合要求；当时，在单调递减且其图象恒过点，在单调递减且其图象恒过点，则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.故选：BD.三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）____________【答案】【详解】原式.故答案为：.12．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考开学考试）已知函数过定点，若，则最小值为______.【答案】4【详解】令，可得，故函数过定点，所以.所以，即.所以,当且仅当时等号成立.所以最小值为4.故答案为:4.四、解答题13．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）（1）计算求值：；（2）解不等式：.【答案】(1)7；(2).【详解】(1)(2)又是减函数则，即，解得：,故原不等式的解集为.14．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）碳-14是碳的一种具有放射性的同位素，生物生存时体内的碳-14含量大致不变，生物死亡后，停止新陈代谢，碳-14含量逐渐减少，约经过5730年（半衰期），残存含量为原始含量的一半．考古人员可以透过古生物标本体内的碳-14含量来推测其死亡年份，以此推断与其共存的遗迹距今时间，这就是碳-14测年法．一般地，经过年后，碳-14的残存含量和原始含量之比为，满足函数关系：，其中常数为自然对数的底，称为碳-14衰变常数．(1)求的值；(2)通过专业测量，巫山大宁河小三峡悬棺中的某物的碳-14含量约占原始含量的78.13%，请推测悬棺距今多少年？（精确到个位数）【答案】(1)(2)2040年【详解】（1）函数两边取对数得，所以.（2）由题意可得，所以，即距今2040年．15．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设（且）.(1)若，求实数的值及函数的定义域；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)，定义域为；(2).【详解】（1）由，解得，所以，由解得，所以定义域为.（2）由（1）可知函数的定义域为，因为，因为函数在单调递增，单调递减，又因为，所以在单调递增，单调递减，且，所以函数的值域为.B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（

）．A．B．C．D．【答案】D【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；函数有意义满足解得或，当时函数无意义，排除B、C选项；对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当与及时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；故选：D2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数，若，当时，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，函数在上单调递减．令，由复合函数单调性可知，函数在上单调递增，故，则，故实数a的取值范围为.故选：D3．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，为定义域上的单调递增函数，故不成立；，为定义域上的单调递增函数，，故C和D不成立.故选：B.4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）1904年，瑞典科学家海里格･冯･科赫引人一条曲线一一科赫曲线，曲线是这样构造的：①作一直线段；②将直线段三等分，以中间三分之一线段为底作一个等边三角形，并擦去等边三角形的底，得到由四条线段构成的折线图；③对的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段，得到折线图；④无限重复上述过程，依次得到，，最后得到一条复杂曲线即称为科赫曲线，若线段的长度为1米，则的长度为__________；若米，则正整数的最小值为__________.（参考数据：）【答案】

【详解】解：因为的长度为的长度为，所以的长度为.由，得，即正整数的最小值为32.故答案为：；.C综合素养1．（2023·全国·高三专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（

）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26【答案】B【详解】由题意得，代入数据得，整理得，即，解得；所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．故选：B．2．（多选）（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）函数，则正确的有（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．在区间上是增函数【答案】ACD【详解】依题意，函数的定义域为R，A正确；，对于B，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在上递增，因此，B错误；对于C，，因此函数是R上的偶函数；对于D，令，，，因为，则，即有，因此，即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在上递增，D正确.故选：ACD3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是________．【答案】【详解】因为为上的偶函数，且在区间上单调递减，所以在上单调递增；因为，所以，即，所以，即或，解得：或，即实数的取值范围为.故答案为：.4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升(2)已知信号功率，证明：；(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）【答案】(1)2047(2)证明见解析(3)把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量【详解】（1）当时，，令，得，解得：，所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升.（2）证明：右边=左边，所以，原式成立；（3）分配到信道上能获得最大的信道容量.理由：由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢，所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量.5．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)当，函数存在零点，求实数的取值范围；(3)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)