2025年高考数学复习大题题型归纳：空间向量在立体几何中的三种考法（原卷）

专题10空间向量在立体几何中的三种考法

一、空间角的向量求法

I.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是边长为2的菱形，ACCBD=0,且P。1平面ABC。，PO=2,

F,G分别是PB,PD的中点，E是P力上一点，S.AP=3AE.

(1)求证：BD〃平面EFG；

(2)若=求直线P力与平面EFG所成角的余弦值.

2.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面为正方形，PAABCD,£为PD的中点，PA=AB=2.

⑴求证：PB//平面/EC；

(2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值.

3.已知图1是由等腰直角三角形力BE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为4,N4=90。/。=

60°.将三角形A8E沿8E折起，使得平面4BE1平面8CDE(如图2).

A\

图2

(1)求证：AXC1CD；

(2)求二面角8-ArC-。的正弦值.

4.如图，四棱锥P—力BCD中，四边形力BCD为梯形，AB//CD,AD1AB,AB=AP=2DC=4,PB=2AD=

4V2,PD=2瓜M,N分别是尸£),尸8的中点.

(1)求证：直线MN〃平面力BCD；

(2)求平面MCN与平面4BCD夹角的余弦值.

5.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为矩形，P4_L平面力BCD,P4=4D=鱼48,点M是PD的中点.

(1)证明：AM1PC；

(2)设4c的中点为。，点N在棱PC上(异于点P,C),且。N=04求直线4V与平面力CM所成角的正弦值.

6.已知三棱台AiBiM—力BC,4id1面ABC,4A1B1=AB=AC=4,cos4BAC=-。是线段力中点,

(2)请选择合适的基底向量，求直线/C与A4所成角的余弦值.

7.如图，在三棱柱力BC—AiBjCi中，AB=BC,ABX=BXC.

(1)证明：AC1BiB；

(2)若AB=BBi=2,AB1=V6,AABC=120°,求二面角4-BB1一C的余弦值.

8.如图，在四棱锥P-力BCD中，P4_L平面力BCD,AD1CD,ABIICD,PA=AD=CD=1,AB=2,点M

是PB的中点.

(1)证明：PB=2CM；

(2)求直线0M与平面力CM所成的角的正弦值.

9.如图，平行六面体48。。-481的01的体积为6,截面4<7的公的面积为6.

⑴求点B到平面力CC14的距离；

(2)若AB=4。=2,NB4D=60。，力&=逐，求直线与平面。的外。所成角的正弦值.

10.如图所示，在多面体ABCGFE中，底面BCFE为矩形，S.AE1底面BCFE,AG〃£T,4G=AE=BE=^EF=

2,BFClCE=0.

AG

(1)证明：4。〃平面GCF.

(2)求平面力B。与平面GCF夹角的余弦值.

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面/BCD是矩形，P41平面/5CD,PA^AD^^AB=1,E,M分

别为线段48,PC的中点，连接CE,延长CE并与94的延长线交于点尸，连接PE,PF.

(1)求证：ME〃平面PFD.

(2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值.

12.如图1,在五边形4BCDE中，四边形力BCE为正方形，CD1DE,CD=DE,如图2,将△力BE沿BE折

起，使得/至4处，且力1B1&D.

图1图2

(1)证明：DE1平面&BE；

(2)求二面角C-ArE-。的余弦值.

13.如图，在斜三棱柱ABC—力iBjCi中，AAi=AB,AB^VA^C,AB1的中点为。，BC的中点为D.

(1)证明：。。〃平面4CCM1；

(2)若乙4cB=90。，A8i=BiC,AC=28C=4,求平面4。的&与平面ABC所成角的大小.

14.如图，在底面为正方形的四棱台4BCD-4当的。1中，已知AD=2,DDi=1,BD1=夕,N到平面BD/

⑴求分到平面4BCD的距离;

(2)若=亨，求直线CCi与平面4所成角的正弦值.

15.如图，多面体力—4BCD中，四边形力BCD是菱形，AABC=60°,AB//ArBr,AB=2A1B1=4,

AD//A1D1,AD=2A1D1,4A11平面48CD,ArC1AB

⑴求A4;

(2)求二面角%-C&一。的正弦值.

二、已知空间角求其他量

16.如图，在三棱锥P-2BC中，P41底面ABC,ABAC=90。.点。、E、N分别为棱P4、PC、BC的中点，M

是线段力。的中点，PA=AC=4,AB=2.

⑴求证：MN//平面BDE；

(2)已知点H在棱P力上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为券，求线段4H的长.

17.已知正方体力点E为4中点，直线邑的交平面CDE于点F.

⑴证明：点尸为/Cl的中点；

⑵若点M为棱上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为竽，求普的值.

2541%

18.在三棱柱力BC—&8也1中，平面41B1BA1平面力BC,侧面AiBiBA为菱形，AABB^=/ABX1AC,AB=

HC=2,£是/C的中点.

(1)求证:A1B1平面ZB/

(2)确定在线段4E上是否存在一点P,使得/尸与平面力道速所成角为，若存在，求出署的值;若不存，说

明理由.

19.如图，在四棱锥P-力BCD中，侧棱PA1平面/2C。，底面四边形是矩形，P4=AD=4,点

N分别为棱P8,尸。的中点，点E在棱40上，AD-3AE.

p

(1)求证：直线AM〃平面AVE；

(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.

①平面PAB与平面PCD的交线/与直线BE所成角的余弦值为嘤;

②二面角N一BE-。的余弦值为书.

注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.

20.在底面/BCD为梯形的多面体中.力B〃CD,BCLCD,AB=2CD=2a,ZCBD=45°,BC=AE=DE,

且四边形BDBN为矩形.

(1)求证：BDLAE；

⑵线段EN上是否存在点0,使得直线AE与平面04D所成的角为60。？若不存在，请说明理由.若存在,

确定点。的位置并加以证明.

21.如图1所示，在四边形2BCD中，BC1CD,E为BC上一点，AE=BE=AD=2CD=2,CE=V3,将

四边形2ECD沿2E折起，使得8。=再，得到如图2所示的四棱锥.

EB

(1)若平面BCDCl平面ABE=Z,证明：CD//I；

(2)点F是棱BE上一动点，且直线8。与平面/DF所成角的正弦值为孚，求告

11CD

22.如图，是圆。的直径，点C是圆。上异于4B的点，PC1平面ABC,AC=^3,PC=2BC=2,E,F

分别为P4PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为BD,。在圆。上.

(1)在图中作出交线BD(说明画法，不必证明)，并求三棱锥D-4CE的体积；

(2)若点M满足前=逆+ABP(AeR),且CM与平面PBD所成角的正弦值为平，求4的值.

23.如图，已知直角梯形ABCD与力DEF,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,ADLAF,ED//AF,ADVAB,

BC//AD,G是线段BF上一点.

(1)平面ABCD工平面ABF

(2)若平面4BCD，平面力DEF,设平面CEG与平面4BF所成角为仇是否存在点G,使得cos。=普，若存在

确定G点位置；若不存在，请说明理由.

24.如图，在正方体ABCD-中，E是棱CCi上的点(点E与点C,的不重合).

⑴在图中作出平面与平面N5CD的交线，并说明理由；

(2)若正方体的棱长为1,平面力。止与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为等，求线段CE的长.

25.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面48CD为平行四边形，侧面PHD是边长为2的正三角形，平面24。1

平面ABC。，AB1PD.

(1)求证：平行四边形4BCD为矩形；

(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面4BP所成角的余弦值为乎，求点B到平面力CE的距离.

26.如图1,菱形4BCD的边长为2®乙ABC=*将小力BD沿BD向上翻折，得到如图2所示得三棱锥4-BCD.

(1)证明：AC1BD-,

(2)若A'C=3,在线段8。上是否存在点G,使得平面力'CG与平面BCD所成角的余弦值为苧？若存在，求出BG；

若不存在，请说明理由.

27.如图，在四棱锥P—4BCD中，AB||CD,CP1CD,CD=2AB=2,APACAD.

P

(1)证明：平面PBC_L平面PCD；

(2)已知CP=V^BC=2,DQ=WP,4e[0,1].若平面力BP与平面4CQ夹角的余弦值为半，求4的值.

6

28.已知在直三棱柱A8C—A181cl中，其中44=2AC=4,AB=8C,尸为的中点，点E是＜7的上靠近的

的四等分点，4尸与底面4BC所成角的余弦值为苧.

(1)求证：平面AFC1平面4EF；

(2)在线段&F上是否存在一点N,使得平面4FC与平面NBiCi所成的锐二面角的余弦值为若存在，确定

点N的位置，若不存在，请说明理由.

29.直三棱柱ABC—力iBiQ中，AC=BC=CCi=2,。为BC的中点，点E在A4i上，AD1DCr.

(1)证明：BC1平面人力D；

⑵若二面角力1-DE-的大小为30。，求以力i，E,D,Ci为顶点的四面体体积.

30.如图1,在AABC中，AB=4C=2,NB4C=g,E为BC的中点，F为4B上一点，且EF14B.将△BEF沿EF

翻折到△B'EF的位置，如图2.

B'

A

图1图2

(1)当AB'=加时，证明：平面BNE1平面ABC；

(2)已知二面角B'-EF-4的大小为:，棱4C上是否存在点M,使得直线B'E与平面B'MF所成角的正弦值为

*？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.

三、空间距离的向量求法

31.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，AABC=60°,四边形P4CQ为矩形，PA=1,从下列三个条件

中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

①BP,DP与平面4BCD所成角相等；②三棱锥P—力BD体积为?；③cosNBP4

⑴平面P4CQ1平面4BCD；

(2)求二面角B-PQ-。的大小;

⑶求点C到平面BPQ的距离.

32.如图所示，在四棱锥P—4BCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面4BCD垂直，BC〃平面PAD,BC=

^AD=1,E是棱PD上的动点.

p

E

B

(1)当E是棱PD的中点时，求证：CE〃平面PAB；

(2)若48=1,ABLAD,求点8到平面2CE距离的范围.

33.在如图所示的圆锥中，已知P为圆锥的顶点，。为底面的圆心，其母线长为6,边长为3百的等边△力BC

内接于圆锥底面，赤=4而且26停,11

(1)证明：平面DBC1平面ZM。；

(2)若E为中点，射线。E与底面圆周交于点M,当二面角4-DB-C的余弦值为得时，求点M到平面BCD

的距离.

34.在多面体ABCCi&Bi中，四边形BBiCiC是边长为4的正方形，AB1B±B,zUBC是正三角形.

广

⑴若公为的中点，求证：直线4C//平面48的；

⑵若点为在棱上且力公=24/1，求点。到平面&BC1的距离.

35.如图,该几何体是由等高的半个圆柱和1个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点、，且C,£0,G四点共面.

G

(1)证明：平面BDF1平面BCG；

(2)若平面BDF与平面力BG所成二面角的余弦值为V，且线段长度为2,求点G到直线DF的距离.

36.如图，在三棱锥4一BCD中，平面平面BCD,ABVAD,AB=AD,。为3。的中点.

A

(1)证明：OA_LCD.

⑵若△BCD是等腰直角三角形,NBDC=90。,CD=2,点E在棱4D上(与/，。不重合)，若二面角E-