浙江2024高考数学二轮复习：平面向量（含解析）

课时跟踪检测（一）小题考法一一平面对量

A组—10+7提速练

一、选择题

1.已知平面对量@=以4）,b=（x,若@〃上则实数万为（）

22

B.

33

33

C.D.

88

13

解析：选CVa//b,.\3X-=4x,解得x=小故选C.

Zo

2.(2025届高三•杭州六校联考)已知向量a和b的夹角为120。，且|a|=2,|b|=5,

则(2a—b)•a=()

A.9B.10

C.12D.13

解析：选D•・,向量a和b的夹角为120°,

且|a|=2,|b|=5,

Aa•b=2X5Xcos120°=—5,

(2a—b),a=2a2—a•b=2X4+5=13,

故选D.

3.（2024•全国卷I）在△/阿中，助为9边上的中线，£为/〃的中点，则EB=（）

3-1—>1*3»

A.~AB-ACB.IAB——AC

44

3—►1—►1—*•3—

C.-AB+-ACD.IAB+-AC

__.一,,,_.—►—►—►]—►]—>

解析:选A作出示意图如图所示.EB=ED+DB=-AD+-CB=

11—►—►1—►—►3—*■1—►

-X-(AB+JO+-(AB-AC)^-AB--/C.故选A.

4.设向量a=(—2,1),a+b=(勿，—3),c=(3,1),若(a+b)J_c,则cos(a,b)=

()

亚

5

解析：选D由(a+b)J_c可得，力义3+(—3)X1=0,解得m=l.所以a+b=(1,—3),

故b—(a+b)—a=(3,—4).

a•b________—2X3+1X—4_________2^5

所以cos(a,b)a•|b|N^~2+l2X^3H~—4z-5'0'

5.P是AABC所在平面上一点，满意|PB-PC\~PB+PC—2PA|=0,则△/阿

的形态是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析：选B:户是△N6C所在平面上一点，且|PB-PC\-\PB+PC—2PA|=0,

|CB\~\{PB-PA)+{PC-PA}\=0,

即|CB|=AB+AC\,

\AB-AC|=|AB+AC\,

两边平方并化简得46•4C=0,

/.ABLAC,.,.NA=90°,

则是直角三角形.

6.（2024•浙江二模）如图，设A,8是半径为2的圆。上的两个动

点，点C为中点，则CO•"的取值范围是()

A.[-1,3]B.[1,3]

C.[—3,—1]D.[—3,1]

解析：选A建立平面直角坐标系如图所示，

可得。（0,0）,力（-2,0）,<7（-1,0）,设8（2cos0,2sin6）.0

e[0,2JI）.

贝！JCO•⑦=(1,0)•(2cos夕+1,2sin夕)=2cos夕+1G[一

1,3].

故选A.

7.（2025届高三•浙江名校联考）已知在△/回中，46=4,AC=2,ACLBC,，为N6的

---A1---AQ1---►---►---►---►

中点，点产满意a=-九+——AD,则为•（阳+小）的最小值为（)

aa

28

A.12B.T

257

一D.

0A2

—>■[—>■a]—►

解析：选c由/尸=-/0+——知点尸在直线冲上，以点

aa

。为坐标原点，/所在直线为x轴，。所在直线为y轴建立如图所示

的平面直角坐标系，则C(o,o),4(0,2),B(2小，2(十,1),...直线切的方程为y=

亚X,42坐_、

3X'设p\，贝IJ阳=—x,PBX,3X,PC

2#、

：.~PA•(万十元)=-x(24一2x)

-x,,：.PB+PC=3x,

+|x4m8210#x=平时，万•(万'+元)取得最

X=~X-—

oOOOO

一士25

小值一■

o

8.已知单位向量a,b,c是共面对量，a•b=；,

a,c=b,c<0,t己m=\4a-b|+|

一cl(XGR),则序的最小值是()

A.4+73B.2+y/3

C.2+取D.4+y/2

解析：选B由a•c=b•c,可得c,(a—b)=0,故c与a—b

垂直，又a•c=b•c<0,记的=a,OB=b,OC=c,以。为坐标

原点，OA的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设

OD=4a,则|4a—b|+|Xa—c|=|BD\+|CD121b—c|=|BC

|,由图可知最小值为6。，易知/0BC=/BC0=15°,所以N80C=150。,在△8%中，比2

=Bd+0d—2B0・05cosN60C=2+/.所以君的最小值是2+4.

9.在矩形/交9中，AB=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与物相切的圆上.若北

=儿AB+nAD,贝!J八十〃的最大值为()

A.3B.2y[2

C.乖D.2

解析：选A以/为坐标原点，AB,4〃所在直线分别为x轴，y轴建

立如图所示的平面直角坐标系，贝I4(0,0),8(1,0),C(l,2),。(0,2),一j/J

可得直线曲的方程为2x+y—2=0,点C到直线劭的距离为次、=泉Vj

所以圆C：(x—1片+(y—2)2=*.

u

因为〃在圆。上，所以(L+^^COS0,2+~^sin

又加=(1,0),AD=(0,2),2尸=448+〃/〃=(几，2〃)，

1+;cos0=X,

5

所以《

2+芈sin

。=2〃，

5

2-\/5

4+〃=2+^-cos，+季in0=2+sin（夕+0）W3（其中tan0=2）,当且仅当

5

JI

。=万+2«兀-0,AEZ时，4十〃取得最大值3.

10.如图，在四边形/四中，点£，尸分别是边/〃8。的中点，设下•~BC=m,~AC•~BD

n若4B=巾,EF=\,CD=^3,贝U（

A.2m—n=lB.2%一2刀=1

C.m—2n=lD.2n—2m=l

—►

解析：选DAC•BD=（AB+BC）•AB+AD）-~AB2JV~AB・~AD-

-------->--------►

AB•BC+AD•BC-AB2+AB•（AD-BC）+以=-AB2+ABAB+BC+

CD-BC）+m=AB•CD又EFEA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,两式相

加，再依据点£,户分别是边欧的中点，化简得2厮=48+"7,两边同时平方得4

111

即

所以

贝n+

*-*--如

=2+3+2AB•DC,2u22

=1,故选D.

二、填空题

11.（2024•龙岩模拟）已知向量a,b夹角为60°,且|a|=1,12a—b|=2噂，贝!||b|

解析：V|2a-b|=273,.'.4a2-4a•b+b2=12,

/.4Xf-4XlX|b|cos60°+|b产=12,

即b|2—21b—8=0,

解得⑻=4.

答案：4

12.（2025届高三•宁波效实模拟）如图，在平面四边形/灰/中，

\AC\=3,\BD\=4,贝I］（万+左）•（■+万）=.A\/

解析：：在平面四边形/反/中，\AC\=3,|即=4,B

AB+DC=AC+CB+DB+BC=AC+DB=AC—BD,

—►—►—►—►

BC+AD=BD+DC+AC+CD=AC+BD,

：.{AB+DC)•(BC+/，)=(AC-BDHAC+BD)=AC2-劭？=9—16=—7.

答案：一7

13.设向量a,13满意忆+13|=2忆一1)|,瓜|=3,贝1b|的最大值是；最小值

是.

解析:由|a+b|=21a—b|两边平方，a2+2a•b+b2=4(a2—2a,b+b2),化简得到

3a2+3b2=10a«b^lO|a||b|,|b|2-101b|+9^0,解得lW：|b|W9.

答案：91

AD

14.(2024•嘉兴期末)在中，AB=AC=2,D为四边上的点，且说=2,则

DU

CD,CA=；若CD=xCA+yCB,则xy=.

解析：以/为坐标原点，~AB,下分别为x轴，y轴的正方向建立如图

所示的平面直角坐标系，则4(0,0),6(2,0),C(0,2),噌，0),所以说•西

(^\一一一(4\L

=匕，-2I-(0,—2)=4.由5+y%,得［j,-21=^(0,-2)+

4122

y(2,—2),所以1=2%—2=—2x—2y,解得y=~,所以灯=g.

oooy

a山2

答案：4-

15.(2024•温州二模)若向量a,b满意(a+b)?—b?=|a|=3,且|b|22,则a•b=

，a在b方向上的投影的取值范围是.

解析：向量a,b满意(a+b)?—b?=|a|=3,

/.a2+2a•b+b2—b2=3,

.*.9+2a,b=3,Aa,b=-3；

a•h—3

则a在b方向上的投影为|a|cos9=-=~,

3—3

又|b|22,J—2^7bT<0,

；.a在b方向上的投影取值范围是一米0；

答案：一3-|,0)

16.（2024•温州适应性测试）已知向量a,b满意|a|=|b|=a・b=2,向量x=Xa+

(1一4)b,向量丫=侬+疝，其中A,m,T?£R,且勿>0,〃>0.若(y—x)•(a+b)=6,则H?

+力的最小值为.

解析：法一：依题意得，[加+〃b—Xa—(1—4)b]•(a+b)=6,所以[(〃-A)a+(〃

—1+4)b],(a+b)=6,因为|a|=|b|=a•b=2,所以4(m—4)+4(〃-1+吹)+2[(必一

1)+(〃-1+4)]=6,所以〃+〃-1=1,即/+〃=2,所以〃2+〃2=苏+(2—42=2/?/—4/

+4=25—1尸+2》2,当且仅当卬=1时取等号，所以帮+〃2的最小值为2.

法二：依题意得，[困+〃b—4a—(1—4)b]•(a+b)=6,

即[(m一A)a+(〃-1+A)b],(a+b)=6,

因为|a|=|b|=a・b=2,所以4(nr—/)+4(A—1+/)+2](勿—1)+(〃—1+4)]=

6,

所以必+〃-1=1,即R+〃=2,所以序+4=(必+〃)2—23=4-207724-2仔^y=2,

当且仅当1n=n=l时取等号，所以苏十〃2的最小值为2.

答案：2

17.已知在△/6C中，ACLAB,46=3,47=4.若点户在△26C的内切圆上运动，则

PA•kPB+47)的最小值为,此时点尸的坐标为

解析：因为/口血，所以以/为坐标原点，以/氏/C所在的直线

分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则/(0,0),6(3,0),

以0,4).由题意可知△力6c内切圆的圆心为。(1,1),半径为1.因为点尸

在△力回的内切圆上运动，所以可设户(1+cos9,1+sin

夕)(0W0〈2n).所以商=(—1—cos9,-1-sin夕)，~PB+^C

=(l-2cos9,2-2sin6),所以必•(必+R?)=(—1—cos«)(1—2cos9)+(一

1—sinO')(2—2sin9)=—1+cos9+2cos29—2+2sin29=—1+cos。》一1一1

=一2,当且仅当cos6=-1,即P(0,1)时，PA•(如+PC)取到最小值，且最小值为

-2.

答案：一2(0,1)

B组一一实力小题保分练

1.已知△/回是边长为1的等边三角形，点。，£分别是边8c的中点，连接施并

延长到点户，使得龙=2鳍，则/b•8c的值为()

51

B

-8-8-

1U

C--

4D.8

解析：选B如图所示，AFAD+DF.A

又D,£分别为AB,8c的中点，且DE=2EF,所以ADAB,DF

1—*■1—*■3—►

2AC+]AC=~AC,

—**1—►3—►

所以AF=-AB+]AC,

又BC=AC—AB,

—►—►(1—>3—>■、—►—►

则AF・BC=1-AB+-ACh(AC-AB)

1133

工

而

2/万8

-2-2-4-4-

311311

72T一22

-C--8-

412-4-4-2-4-ACX|AB|XcosABAC.

又I万I=|~AC|=1,Z^4C=60°,

31111

故AF•^=I-i-iX1X1X2=i

2.如图,在等腰梯形/以小中，已知加〃/6,/4DC=120°,

---*-1---►

胴=4,电2,动点£和厂分别在线段充和DC上,且庞=1TBC,

DF=ADC,则/£-BF的最小值是（）

A.4^6+13B.4-76-13

C.4m十今

D.4^/6-y

解析：选B在等腰梯形/反力中，AB=4,CD=2,N49C=120°,易得49=8C=2.由

1

0<rr<b1---►---►---►

动点£和尸分别在线段功和2c上得所以'〈"I.所以AE-BF=(AB+

[0</<1,

BE)*(BC+CF)=AB•BC+BE-BCAB•CF+BE•CF=|AB\'\BC

------►------►

jcos120°+BE|•iBCI-AB|•|CF\+BE\•|CF|cos60°=4X2X+4

113

X2-4X(1-2)X2+—X(1—4)X2X-=-13+8-13+2

AA

13,当且仅当儿=平时取等号.所以下•赤的最小值是4m—13.

3.（2024•台州一模）已知单位向量ei,e2,且ei・e2=—],若向量a满意（a—ej•（a

-e2）贝！J|a|的取值范围为（）

1

且e2---

解析：选B・・•单位向量ei,e2el2

J<ei,e2>=120°，

若向量a满意(a-ej•(a—e2)

2

则a—a•(ei+e2)+ei•e2=]

27

Ia|2-a•(ei+a)=1,

2

|a|—|a|•cos(a,ei+e2)

BPcos(a,ei+es)=~i~i-

|a|

V—l^cos〈a,e1+e2〉＜1,

wI

4aX

11

-+-

Ja的取值范围为22

4.（2024・丽水模拟）在△Z6C和斯中，夕是厮的中点，28=鳍=1,比三6,CA=y]33f

若下•~AE+1C•~AF=2,则定与无的夹角的余弦值等于.

解析：由题意可得而2=（记一下）2=下2+/2—2定•~AB=33+1-

2AC•U=36,・••丞・/=-1.

由45・AE+AC•AF=2,

可得AB,(AB+BE)+AC•(AB+BF)

=万2+而•肉+元•方+元•赤

=1-U•而+(-1)+记•~BF

=乐•CAC-~AB")

1--->,--->•

=《EF•BC=2,

故有乐・~BC=4.

再由鳍•BC=lX6Xcos(EF,BC)，

—►—►—►—►2

可得6Xcos(EF,BC)=4,.'.cos(EF,BC)="

u

答案：I

JI,,

5.(2025届局三•镇海中学模拟)已知向量a,b的夹角为"，|b|=2,对随意x£R,

有

|b+xa|2|a—b|,贝!||砧一a|+fb—|(Z£R)的最小值为.

解析：向量a,b夹角为丁，|b|=2,对随意x£R,有|b+xa|2|a—b|,

O

两边平方整理可得/a2+2Aa•b—(a2—2a,b)20,

贝ljzl=4(a•b)2+4a2(a2—2a,b)^0,

即有(a2—a,b)2^0,即为a2=a,b,

则(a—b)±a,

JI

由向量a,b夹角为|b|=2,

由a2=a・b=|a|•|b|•cos-,得|a|=l,

贝!J|a—b|=yja+tf—2a•b=y13,

画出/0=a,AB=b,建立平面直角坐标系，如图所示:

则2(1,0),8(0,^3),

.*.a=(—1,0),b=(—1,十)；

/.|^b—a|+tb--

当肱P,"共线时，取得最小值2|恻.

即有2|恻=2