第1讲三角函数基础

第1讲三角函数基础【复习目录】题型一、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限 题型二、与扇形的弧长、面积有关的计算题型三：任意角的三角函数 题型四：同角三角函数关系题型五、诱导公式 题型六：正弦函数的图像与性质题型七：余弦函数的图像与性质 题型八：正弦函数的图像与性质题型九：三角函数的图像和性质【知识归纳】知识点一：任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－知识点二：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).知识点三．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限知识点四：．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无【题型归纳】题型一、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限1．（2324高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.【详解】因为，，所以为第二象限角，即，所以，则的终边所在象限为所在象限，即的终边在第一、二、四象限.故选：D.2．（2223高一下·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【分析】由，得到，对k赋值判断.【详解】解：因为是第二象限角，所以，，当时，，在第一象限；当时，，在第二象限；当时，，在第四象限；故选：D3．（2223高一下·上海奉贤·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角【答案】B【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.【详解】对于A，终边相同的角可表示为，故A错误；对于B，锐角的取值范围为，故B正确；对于C，第二象限角的取值范围为，故C错误；对于D，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故D错误.故选：B.题型二、与扇形的弧长、面积有关的计算4．（2324高一上·云南德宏·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（

）（结果取整数，参考数据：）

A．4平方米 B．5平方米C．8平方米 D．9平方米【答案】D【分析】根据弧田面积公式求得正确答案.【详解】依题意，圆弧所对圆心角为，所以，“矢”等于，“弦”等于，所以弧田面积约为平方米.故选：D5．（2324高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.【详解】可得：扇形面积，三角形面积，可得弓形面积，故选：C6．（2324高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（

）①；

②的长等于；③扇形的周长为；

④扇形的面积为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解.【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确；由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确；由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以扇形的周长为，所以③正确；由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确.故选：A.题型三：任意角的三角函数7．（2324高一上·安徽蚌埠·期末）若，且角的终边经过点，则点的纵坐标是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由三角函数定义，先表示出，再化简运算即可求出.【详解】由，又点在的终边上，故角为第四象限角，故，即，解得或(舍去)．故选：D8．（2324高一上·天津·期末）若角的终边经过点，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据终边经过点的坐标可得正切值，利用齐次式可得答案.【详解】因为角的终边经过点，所以；.故选：C.9．（2324高一上·江苏南通·期末）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数定义可得、，即可得解.【详解】由角的终边经过点，故，，故.故选：C.题型四：同角三角函数关系10．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由两边平方得：，而，，则，因此，所以.故选：D11．（2324高一上·四川成都·期末）若，且是方程的两实根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.【详解】由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以，故选：D12．（2223高一下·河南南阳·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，平方可得，可得，因为，所以，所以，又由，所以.故选：B.题型五、诱导公式13．（2324高一上·宁夏银川·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】注意到，后结合诱导公式可得答案.【详解】.故选：A14．（2324高一上·江苏连云港·期末）求值(1)已知是第三象限角，且，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果；（2）根据条件得到，从而得到，通过求出，联立，求出，即可求出结果.【详解】（1）因为是第三象限角，且，所以，又，所以.（2）因为①，得到，即，又，所以，由，得到②，联立①②得到，所以.15．（2324高一上·山东临沂·期末）已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可；（2）利用诱导公式结合（1）的结论弦化切计算即可.【详解】（1）点的横坐标为，，又为第二象限角，．；（2）.题型六：正弦函数的图像与性质16．（2324高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可.【详解】令得，因为函数在恰好有3个零点，所以函数在上恰有条对称轴，当时，，函数在上恰有条对称轴，如图：

，则，解得.故选：C.17．（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为.【详解】由及可得，根据其值域为，且，由正弦函数图象性质可得，即可得，解得.故选：B18．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；【详解】当时，因为，则，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；当时，．又因为2，因此的取值范围是．故选：C．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.题型七：余弦函数的图像与性质19．（2223高一下·山西朔州·期中）函数，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的图像，即可得出时的最小值．【详解】由的图像可知，时，，所以，故选：D．20．（2223高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.【详解】，∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，又因为，∴.故选：A21．（2223高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，且，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】D【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质求出，，不妨取，即可得到的解析式，再根据余弦函数的性质求出其单调区间，结合选项判断即可.【详解】因为且，所以，即，所以，即，所以，，则，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，结合各选项可知只有D正确；故选：D题型八：正弦函数的图像与性质22．（2023高二下·湖南）函数在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断，【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A23．（2324高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先求方程左侧函数的值域，后解不等式求参数范围即可.【详解】因为，可知，所以．又方程有解，所以．所以，，故选：A．24．（2223高一上·云南昆明·期末）已知，且，则x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将转化为或，利用数形结合法求解.【详解】解：等价于或，如图所示：由正切函数图象知，故选：B．题型九：三角函数的图像和性质25．（2324高一下·上海·期末）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．(1)求的解析式和周期．(2)当时，求的值域．【答案】(1)，周期为(2)【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解；（2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，可得最小正周期，所以.又由图象上一个最低点为，可得，且，即，可得，即，因为，所以，所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为.（2）解：由（1）知，当时，可得，所以，当时，即时，函数取得最小值为；当时，即，函数取得最大值为，所以函数的值域为.26．（2324高一上·湖北武汉·期末）如图是函数（，，）图象的一部分(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解；（2）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解.【详解】（1）由图可得，函数的最小正周期为，则，所以，因为，则，因为，所以，解得，所以.（2）由，可得，即，即，即，其中，因为，则，令，则有，则关于t的方程在上有解，由可得，令，则，因为，在上均为减函数，所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大，则，所以，解得，故实数a的取值范围是.27．（2324高一上·浙江·期末）设函数(1)求函数的对称中心；(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦函数的对称性，即可求得答案；（2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）令，则，故函数的对称中心为；（2），函数在区间上有最小值，即区间上有最小值，而，即需，则，即实数m的最小值为.【专题强化】一、单选题28．（2324高一上·贵州安顺·期末）已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据扇形面积公式求解即可.【详解】由题意，该扇形的面积.故选：B29．（2324高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解.【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为，则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为.故选：C.30．（2324高一上·山东聊城·期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，则，.则.故选：A.31．（2324高一上·福建三明·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于点，且为第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函数定义、平方关系以及角的范围即可求解.【详解】由题意，所以.故选：D.32．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：A33．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值.【详解】由诱导公式可得，故.故选：D.34．（2324高一下·广东·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则（

）A． B．当时，在区间上不单调C．在区间上无最大值 D．在区间上的最小值为【答案】A【分析】把相位看成一个整体变量，再结合正弦曲线，即可分析各选项.【详解】对于A，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知直线在线段之间，不含点，可以含，

所以，得.故A正确；对于B，当，且时，设，则，由正弦函数在区间是单调递减，故B错误；对于C，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，故C错误；对于D，由，设，则，由在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则说明相邻的那条对称轴不在这个区间内，所以结合正弦曲线可知，这条对称轴正好取到最大值，说明在这个区间内没有取到最小值，故D错误；故选：A.35．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递减C．在区间上有3个零点 D．的最小值为1【答案】C【分析】根据给定的函数，结合正弦函数性质，利用奇偶性、单调性、零点及最值依次判断即得.【详解】函数的定义域为R，对于A，，是偶函数，又，因此不是奇函数，A错误；对于B，当时，，而函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，B错误；对于C，当时，，由，得，当时，，由，得或，因此在区间上有3个零点，C正确；对于D，当时，，，由是偶函数，得，，D错误.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题36．（2324高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（

）A．与的终边相同B．若为第二象限角，则为第一象限角C．终边经过点的角的集合是D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为【答案】ACD【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D.【详解】对于A，因为，所以与的终边相同，正确；对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误；对于C，终边经过点的角的集合是，正确；对于D，设扇形的半径为，则，可得，因此，该扇形的面积为，正确.故选：ACD37．（2324高一上·宁夏吴忠·期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据三角函数值的正负判断A；利用三角函数基本关系求值时，一般关于正余弦的加减法运算需要注意平方的应用，其次开方时一定要注意判断三角函数值的正负，进而判断BCD.【详解】因为，则，又因为，则，可知，故A错误；因为，可得，则，且，所以，故D正确；联立方程，解得，故B错误；所以，故C正确；故选：CD.38．（2324高一上·河南信阳·期末）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC39．（2324高一下·河南·阶段练习）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的解析式B．直线是函数图象的一条对称轴C．在区间上单调递增D．不等式的解集为，【答案】ABD【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项．【详解】对于A，由图知函数的最小正周期，所以，所以，将点代入，得，所以，解得，又，所以，所以，故A正确；对于B，当时，，故B正确；对于C，当时，，当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误；对于D，由，得，所以，，解得，，故D正确．故选：ABD．三、填空题40．（2324高一上·浙江宁波·期末）杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为.若，则.【答案】2【分析】根据扇形的面积公式及求解即可.【详解】设扇形的面积为，，则.所以，即，所以.故答案为：241．（2324高一上·贵州安顺·期末）已知函数图象恒过定点，在直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角的终边也过点，则的值是.【答案】/【分析】由题意，结合正弦值的定义求解即可.【详解】当时，故，则.故答案为：42．（2324高一上·浙江台州·期末）已知，的值为.【答案】2【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：2.43．（2324高一上·北京东城·期末）函数，关于函数的零点情况有下列说法：①当取某些值时，无零点；

②当取某些值时，恰有1个零点；③当取某些值时，恰有2个不同的零点；

④当取某些值时，恰有3个不同的零点.则正确说法的全部序号为.【答案】①②③【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】画出函数的图象，如图所示，因为，令，即，则函数的零点，即为与的交点的横坐标，对于①中，当时，在上与无公共点，所以①正确；对于②中，当时，在上与只有1个公共点，所以②正确；对于③中，当时，在上与有2个公共点，所以③正确；对于④中，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即，因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确.故答案为：①②③四、解答题44．（2324高一上·湖北荆门·期末）已知(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求，.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简；（2）利用同角三角函数的基本关系求值计算，注意“符号优先”.【详解】（1）.（2）∵为第三象限角，∴，，又因为.故，.45．（2324高一上·陕西宝鸡·期末）已知.(1)求的值；(2)求的