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文档简介
2024年中考数学模拟考试试卷-附答案(北师大版)
(满分:150分;考试时间:120分钟)
学校:班级:姓名:考号:
一.选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,此几何体的俯视图是()
2.万里长城是世界文化遗产之一,其总长大约为21200000m,将21200000用科学记数法
表示为()
A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212xl07
3.如图,AB〃CD,直线I与AB,CD分别交于点E和F,CD上有一点G且GE=GF,Z1=122°,
则N2的度数为()
A.54°B.64°C.58°D.68°
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论不正确的是(
A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a
5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.
6.下列运算正确的是(
A.(m-l)2=m2-1B.(2m)口6m□C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7
7.用如图所示的两个可自由转动的转盘进行"配紫色"游戏(红色和蓝色配成紫色),两个转盘
分别被分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘一次,转盘停止时指针所指扇形的颜色
即为转出的颜色(若指针停在分界线上,则重转),则配得紫色的概率为()
A.1B.lC.1D.1
6432
8.已知点A(Xjyj,B(X2,丫2)在反比例函数y=4的图象上,且xjOvx2,则下列结论一定正确
第1页共18页
的是()
入%+丫2<。B.y^y^OC.y】-丫2<0D%%>。
9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BC,
BD于点E和F,大于工EF为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交
2
BP,AD于点M和N,则CN的长为()
A.VinB.VTTC.2gD.4
10.在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点,已知二次
函数y=ax2+4x+c(aW0)的图象上有且只有一个完美点(。,3),且当OWxWm时,函数
22
y,=ax2+4x+c-3(aW0)的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是()
4
A.-lWmWOB.2WmW4C.2Wm<ZD.2-<mWZ
22
二.填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分..
11.因式分解:xyz-4x=.
12.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一
点P,则点P落在阴影部分的概率为.
13.若关于x的一元二次方程X2+2x+h=0无实数根,则k的取值范围是.
14.如图,正方形的边AB=2,弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧,则图中空白两部分的面
之差为.
15.为了增强学生身体素质,学校要求学生练习跑步.开始时男生跑了50m,女生跑了80m,
然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s,当到达终点时男、女均停止
跑步,男、女生从开始匀速跑步到停止跑步分别用时100s,120s.已知x轴表示从开始匀速
跑步到停止跑步的时间,y轴代表跑过的路程,则当男、女相遇时,此时男、女同学距离终
点的距离为.
第2页共18页
16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,点M是BC的中点,E是BM上的一点,连接AE,
作点B关于直线AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当BF最大时,点B'到BC的
距离为
三.解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)计算:卜1|+(-1)2024-sin30°-(V3-V2)o
+1>-3©
18.(6分)解不等式组,_,并把它的解集在数轴上表示出来.
%—1<1+②
I3
19.(6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G,H分别在边AD、AB、BC、CD±,
且DE=BG,AF=CH.求证:EF=GH.
第3页共18页
20.(8分)植物园是当地人民喜爱的休闲场所之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,
秋千链子的长度为3m,当摆角NBOC恰为26。时,座板离地面的高度BM为0.9m,当摆动
至最高位置时,摆角NAOC为50。,求座板距地面的最小和最大高度分别为多少?(结果精
确至U0.1m,参考数据:sin26°^0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°〜0.77,cos50°
心0.64,tan50°^1.19)
21.(8分)"小手拉大手,共创文明城某校为了解学生对所在城市创建全国文明城市相关知
识的知医情况,通过发放问卷进行测评,从中随机抽取20份答卷,并统计成绩(成绩得分
用x表示.单位:分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,
93,98,94,93,92.整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图.
等级成绩/分频数
A95W/W100a
B90Wx<958
C85W%<905
D80^x<854
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a=,b=.
(2)若成绩不低于90分为优秀,请估计该校1600名学生中,达到优秀等级的人数;
⑶已知A等级中有2名男生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法
求出恰好抽到一男一女的概率.
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22.(8分)如图,AB是。0的直径,点E,C在。。上,点C是弧BE的中点,AE垂直于过点C
的直线CD,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点F.
⑴求证:CD是。0的切线;
⑵若AE=2,sinZAFD=l
3
①求。0的半径;
②求线段DE的长.
23.(10分)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测
A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A
粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息,解答下列问题:
⑴该商场节后每千克A粽子的进价为多少元?
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克,且总费用不超过4600元,并按照节前
每千克20元,节后每千克16元全部售出,那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最
大?最大利润为多少?
第5页共18页
24.(10分)当k值相同时,我们把正比例函数y二x和反比例函数y卫叫做"关联函数".小亮根
kx
据学习函数的经验,以函数y=-5(和y=-2为例对"关联函数"进行了探究,下面是小亮的探
2x
究过程,请你将它补充完整
⑴如图,在同一平面直角坐系中画出这两个函数的图象,两个函数图象在第二、四象限分别
交于点A、B,则点A、B的坐标分别是A、B
(2)点P是函数y=-lx在第二象限内的图象上的一个动点(不与点A重合),作直线PA、PB,
2
分别与x轴交于点C、D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到:在点P运动的过程中,
总有PC=PD.
证明PC=PD的过程如下(不完整):
易知点P的坐标为(t,--)
t
设直线AP的表达式为y=ax+b
-2a+b=1
~2a+b—1
将点A、P的坐标分别代人,得
ta+b--2
i
解得
—2~t
b=V
...直线AP的表达式为y=-a—曰
tt
令y=0,得x=t-2,则点C的坐标为(t-2,0)
同理可得直线BP的表达式为y总x—生
tt
请你补充剩余的证明过程;
⑶当4PCD是等边三角形时,t=.
⑷随着点P的运动,4ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系,当t>-2
时,请你求出S关于t的函数表达式.
第6页共18页
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.
⑴求抛物线的表达式;
⑵如图1,点Q是x轴上方抛物线上一点,射线QM,x轴于点N,若QM=BM,且tanNMBN』,
3
请直接写出点Q的坐标;
(3)如图2,点E是第一象限内一点,连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P
点F在线段CD上,且CF=OD,
26.(12分)原题再现:小强特别喜欢探究数学问题,一天李老师给他这样一个几何问题:4ABC
和4BDE都是等边三角形,将4BDE绕着点B旋转到图1位置,求证:AE=CD.小强很快就通
过△ABE^CBD,论证了AE=CD.
⑴请你写出小强的证明过程;
迁移应用:小强想,把等边^ABC和等边4BDE都换成等腰直角三角形,将4BDE绕着点B
旋转到图2位置,其中NACB=NEDB=90°,那么AE和CD有什么数量关系呢?
(2)请你帮助小强写出结论,并给出证明;
(3)如图3,如果把等腰直角三角形换成正方形,将正方形AFEG绕点A旋转a°,若AB=
6/2,AG=4,在旋转过程中,当C,G,E三点共线时,请求出DG的长度.
图3
第7页共18页
答案
一.选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,此几何体的俯视图是(C)
人日
2.万里长城是世界文化遗产之一,其总长大约为21200000m,将21200000用科学记数法
表示为(B)
A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212X107
3.如图,AB〃CD,直线I与AB,CD分别交于点E和F,CD上有一点G且GE=GF,Zl=122°,
则N2的度数为(B)
4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论不正确的是(C)
A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a
5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
6.下列运算正确的是(
A.(m-l)2=m2-1C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7
7.用如图所示的两个可自由转动的转盘进行"配紫色"游戏(红色和蓝色配成紫色),两个转盘
分别被分成面积相等的几个扇形,同时转动两个转盘一次,转盘停止时指针所指扇形的颜色
即为转出的颜色(若指针停在分界线上,则重转),则配得紫色的概率为(B)
A.lB.lC.1D.1
6432
8.已知点A(Xjyj,B(X2,丫2)在反比例函数y=2的图象上,且xjOvx2,则下列结论一定正确
的是(D)
A-y^y^OB.y^y^OC.y1-y2<0D/%>。
9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BC,
第8页共18页
BD于点E和F,大于工EF为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交
2
BP,AD于点M和N,则CN的长为(A)
A.V10B.V11C.2/3D.4
10.在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点,已知二次
函数y=ax2+4x+c(aW。)的图象上有且只有一个完美点(|,|),且当0Wx<m时,函数
y,=ax2+4x+c-2(aW0)的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是(B)
4
A.-lWmWOB.2WmW4C.2<m<ZD.2-<mWZ
22
二.填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分..
11.因式分解:xy2-4x=x(y+2)(y—2).
12.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一
点P,则点P落在阴影部分的概率为丝.
--------e-et--------
13.若关于x的一元二次方程x2+2x+h=0无实数根,则k的取值范围是k>l.
14.如图,正方形的边AB=2,弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧,则图中空白两部分的面
之差为2n—4.
15.为了增强学生身体素质,学校要求学生练习跑步.开始时男生跑了50m,女生跑了80m,
然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s,当到达终点时男、女均停止
跑步,男、女生从开始匀速跑步到停止跑步分别用时100s,120s.已知x轴表示从开始匀速
跑步到停止跑步的时间,y轴代表跑过的路程,则当男、女相遇时,此时男、女同学距离终
点的距离为315m.
第9页共18页
16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,点M是BC的中点,E是BM上的一点,连接AE,
作点B关于直线AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当BF最大时,点B'到BC的
距离为竺.
5
三.解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)计算:卜1|+(-1)2024-sin300-(V5-V2)o
=1+1—1—1
22
2(x—1)+1>-3①
18.(6分)解不等式组<_,并把它的解集在数轴上表示出来.
X—1<"1+W②
3
解不等式①,得X>-1
解不等式②,得xW2
原不等式组的解集为-1<XW2
19.(6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G,H分别在边AD、AB、BC、CD±,
且DE=BG,AF=CH.求证:EF=GH.
证明:四边形ABCD是平行四边形
/.AD=BC,ZA=ZC
第10页共18页
又.DE=BG
/.AE=CG
在4EAF和△GCH中,
(AE^CG
NA=ZC
AF=CH
.,.△EAF多△GCH(SAS)
/.EF=GH
20.(8分)植物园是当地人民喜爱的休闲场所之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,
秋千链子的长度为3m,当摆角NBOC恰为26。时,座板离地面的高度BM为0.9m,当摆动
至最高位置时,摆角NAOC为50°,求座板距地面的最小和最大高度分别为多少?(结果精
确至U0.1m,参考数据:sin26°〜0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°〜0.77,cos50°
^0.64,tan50°^1.19)
解:如图力X
过点B作BTLON于点T,过点A作AKLON于点K
在RtAOBT中,OT=OB•cos26°=3x0.90=2.7(m)
:ZBMN=ZMNT=ZBTN=90°
?.四边形BMNT是矩形
/.TN=BM=0.9m
/.ON=OT+TN=3.6(m)
/.CN=ON-OC=3.6-3=0.6(m)
在RtAAOK中,OK=OA•cos50°=3x0.64=1.92(m)
/.KN=ON-OK=3.6-1.92=1.7(m)
答:座板距地面的最小高度约为0.6m,最大高度约为1.7m.
第11页共18页
21.(8分)"小手拉大手,共创文明城某校为了解学生对所在城市创建全国文明城市相关知
识的知■情况,通过发放问卷进行测评,从中随机抽取20份答卷,并统计成绩(成绩得分
用x表示.单位:分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,
93,98,94,93,92.整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图.
等级成绩/分频数
A95^x^100a
B90Wx<958
C85W*<905
D80近4<854
根据以上信息,解答下列问题:
⑴填空:a=,b=.
(2)若成绩不低于90分为优秀,请估计该校1600名学生中,达到优秀等级的人数;
⑶已知A等级中有2名男生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法
求出恰好抽到一男一女的概率.
解:(l)a=20-8-5-4=3.
b%=8+20xl00%=40%
/.b=40
故答案为3,40
(2)1600X11=880(名)
20
即估计该校1600名学生中,达到优秀等级的人数为880.
(3)A等级中有2名男生,则有1名女生.
画树状图如下:
开始
男男女
AAA
男女男女男男
共有6种等可能的结果,恰好抽到一男一女的结果
・•.恰好抽到一男一女的概率为士工
63
22.(8分)如图,AB是。O的直径,点E,C在。。上,点C是弧BE的中点,AE垂直于过点C
的直线CD,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点F.
⑴求证:CD是。O的切线;
(2)若AE=2,sinZAFD=l
3
第12页共18页
①求。0的半径;
②求线段DE的长.
22.(1)证明:如图,连接0C
\AD±DF
/.ZD=90°
:点C是弧BE的中点
/.弧CE=MCB
/.ZDAC=ZCAB
VOA=OC
/.ZCAB=ZOCA
/.ZDAC=ZOCA
/.AD/7OC
/.ZOCF=ZD=90°
VOC是。O的半径
/.DC是。O的切线.
(2)解:①如图,过点。作OGLAE,垂足为G
AG=EG=1AE=I
2
VOG±AD
/.ZAGO=ZDGO=90°
VZD=ZAGO=90°
/.OG/7DF
/.ZAFD=ZAOG
sinZAFD=l
3
/.sinZAOG=sinZAFD=l
3
第13页共18页
在RtAAGO中,AO=l^i=3
3
/.O0的半径为3
②:ZOCF=90°
/.ZOCD=180°ZOCF=90°
VZOGE=ZD=90°
/.四边形OGDC是矩形
/.OC=DG=3
\GE=1
/.DE=DG-GE=3-1=2
,线段DE的长为2
23.(10分)端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测
A粽子能够畅销.根据预测,每千克A粽子节前的进价比节后多2元,节前用240元购进A
粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息,解答下列问题:
⑴该商场节后每千克A粽子的进价为多少元?
⑵如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克,且总费用不超过4600元,并按照节前
每千克20元,节后每千克16元全部售出,那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最
大?最大利润为多少?
解:(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元
240_4240
xx2
解得x=10或x=-12(舍去)
经检验,x=10是原分式方程的根,且符合题意.
答:该商场节后每千克A粽子的进价为10元.
(2)设该商场节前购进m千克A粽子,总利润为w元
未艮据题意,得(10+2)m+10(40dm)W4600
解得m<300
w=(20-12)m+(16-10)(400-m)=2m+2400.
,/2>0
.*.w随着m增大而增大
当m=300时,w取得最大值,最大利润为2x300+2400=3000(元)
答:该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大
24.(10分)当k值相同时,我们把正比例函数y=*和反比例函数y=A叫做,'关联函数小亮根
kx
据学习函数的经验,以函数y=-&和y=-2为例对"关联函数"进行了探究,下面是小亮的探
2%
究过程,请你将它补充完整
⑴如图,在同一平面直角坐系中画出这两个函数的图象,两个函数图象在第二、四象限分别
交于点A、B,则点A、B的坐标分别是A、B.
第14页共18页
(2)点P是函数y=-lx在第二象限内的图象上的一个动点(不与点A重合),作直线PA、PB,
2
分别与x轴交于点C、D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到:在点P运动的过程中,
总有PC=PD.
证明PC=PD的过程如下(不完整):
易知点P的坐标为(t,--)
t
设直线AP的表达式为y=ax+b
-2a+b=1
-2a+b1
将点A、P的坐标分别代人,得
ta+b—2
解得
直线AP的表达式为y=-人一二
tt
令y=0,得x=t-2,则点C的坐标为(t-2,0)
同理可得直线BP的表达式为y二X一生
tt
请你补充剩余的证明过程;
⑶当4PCD是等边三角形时,t=.
⑷随着点P的运动,4ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系,当t>-2
时,请你求出S关于t的函数表达式.
解:(1)令-ix=-则X2=4
2x
\=-2,X2=2
分别代入关系式,得%=1,y2=-l.
/.A(-2,1),B(2,-1)
(2)令人一20,得x=l+2
tt
则点D的坐标为(t+2,0)
如图,过点P作PH,x轴于点H,则H(t,0).
又:C(t-2,0),D(t+2,0)
第15页共18页
CH=DH
,PH是线段CD的中垂线
Z.PC=PD
⑶-迎
3
划5工-士
t
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.
⑴求抛物线的表达式;
(2)如图1,点Q是x轴上方抛物线上一点,射线QM,x轴于点N,若QM=BM,且tan/MBN=2,
3
请直接写出点Q的坐标;
(3)如图2,点E是第一象限内一点,连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P
点F在线段CD上,且CF=OD,连接AF,EF,BE,BP,若S4知=$ABE,求^PAB的面积.
△AFEAABE
⑴设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-3)=
a(x2-2x-3),当x=0时,y=3
-3a=3,解得a=-L
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