2024年北师大版中考数学模拟考试试卷-附答案

2024年中考数学模拟考试试卷-附答案（北师大版）

（满分：150分；考试时间：120分钟）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（）

2.万里长城是世界文化遗产之一，其总长大约为21200000m,将21200000用科学记数法

表示为（）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212xl07

3.如图,AB〃CD,直线I与AB,CD分别交于点E和F,CD上有一点G且GE=GF,Z1=122°,

则N2的度数为（）

A.54°B.64°C.58°D.68°

4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a

5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

6.下列运算正确的是（

A.（m-l）2=m2-1B.（2m）口6m□C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7.用如图所示的两个可自由转动的转盘进行"配紫色"游戏（红色和蓝色配成紫色），两个转盘

分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色

即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配得紫色的概率为（）

A.1B.lC.1D.1

6432

8.已知点A（Xjyj,B（X2,丫2）在反比例函数y=4的图象上，且xjOvx2,则下列结论一定正确

第1页共18页

的是（）

入％+丫2<。B.y^y^OC.y】-丫2<0D%%>。

9.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC,

BD于点E和F,大于工EF为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交

2

BP,AD于点M和N,则CN的长为（）

A.VinB.VTTC.2gD.4

10.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次

函数y=ax2+4x+c（aW0）的图象上有且只有一个完美点（。，3）,且当OWxWm时，函数

22

y，=ax2+4x+c-3（aW0）的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是（）

4

A.-lWmWOB.2WmW4C.2Wm<ZD.2-<mWZ

22

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分..

11.因式分解：xyz-4x=.

12.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一

点P,则点P落在阴影部分的概率为.

13.若关于x的一元二次方程X2+2x+h=0无实数根，则k的取值范围是.

14.如图，正方形的边AB=2,弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面

之差为.

15.为了增强学生身体素质，学校要求学生练习跑步.开始时男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s,当到达终点时男、女均停止

跑步，男、女生从开始匀速跑步到停止跑步分别用时100s,120s.已知x轴表示从开始匀速

跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则当男、女相遇时，此时男、女同学距离终

点的距离为.

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16.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点M是BC的中点,E是BM上的一点，连接AE,

作点B关于直线AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当BF最大时，点B'到BC的

距离为

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算：卜1|+（-1）2024-sin30°-（V3-V2）o

+1>-3©

18.（6分）解不等式组，_,并把它的解集在数轴上表示出来.

%—1<1+②

I3

19.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F,G,H分别在边AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求证：EF=GH.

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20.（8分）植物园是当地人民喜爱的休闲场所之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，

秋千链子的长度为3m,当摆角NBOC恰为26。时，座板离地面的高度BM为0.9m,当摆动

至最高位置时，摆角NAOC为50。，求座板距地面的最小和最大高度分别为多少？（结果精

确至U0.1m,参考数据：sin26°^0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°〜0.77,cos50°

心0.64,tan50°^1.19）

21.（8分）"小手拉大手，共创文明城某校为了解学生对所在城市创建全国文明城市相关知

识的知医情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分

用x表示.单位：分）:94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图.

等级成绩/分频数

A95W/W100a

B90Wx<958

C85W%<905

D80^x<854

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=,b=.

（2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校1600名学生中,达到优秀等级的人数；

⑶已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

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22.（8分）如图，AB是。0的直径，点E,C在。。上，点C是弧BE的中点，AE垂直于过点C

的直线CD,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点F.

⑴求证：CD是。0的切线；

⑵若AE=2,sinZAFD=l

3

①求。0的半径；

②求线段DE的长.

23.（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测

A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A

粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

⑴该商场节后每千克A粽子的进价为多少元？

（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前

每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最

大？最大利润为多少？

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24.（10分）当k值相同时，我们把正比例函数y二x和反比例函数y卫叫做"关联函数".小亮根

kx

据学习函数的经验，以函数y=-5（和y=-2为例对"关联函数"进行了探究，下面是小亮的探

2x

究过程，请你将它补充完整

⑴如图，在同一平面直角坐系中画出这两个函数的图象，两个函数图象在第二、四象限分别

交于点A、B,则点A、B的坐标分别是A、B

（2）点P是函数y=-lx在第二象限内的图象上的一个动点（不与点A重合），作直线PA、PB,

2

分别与x轴交于点C、D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到：在点P运动的过程中,

总有PC=PD.

证明PC=PD的过程如下（不完整）：

易知点P的坐标为（t,--）

t

设直线AP的表达式为y=ax+b

-2a+b=1

~2a+b—1

将点A、P的坐标分别代人，得

ta+b--2

i

解得

—2~t

b=V

...直线AP的表达式为y=-a—曰

tt

令y=0,得x=t-2,则点C的坐标为（t-2,0）

同理可得直线BP的表达式为y总x—生

tt

请你补充剩余的证明过程；

⑶当4PCD是等边三角形时，t=.

⑷随着点P的运动，4ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系，当t>-2

时，请你求出S关于t的函数表达式.

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25.(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图1,点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM，x轴于点N,若QM=BM,且tanNMBN』,

3

请直接写出点Q的坐标；

(3)如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P

点F在线段CD上，且CF=OD,

26.(12分)原题再现：小强特别喜欢探究数学问题，一天李老师给他这样一个几何问题：4ABC

和4BDE都是等边三角形，将4BDE绕着点B旋转到图1位置，求证：AE=CD.小强很快就通

过△ABE^CBD,论证了AE=CD.

⑴请你写出小强的证明过程；

迁移应用：小强想，把等边^ABC和等边4BDE都换成等腰直角三角形，将4BDE绕着点B

旋转到图2位置，其中NACB=NEDB=90°,那么AE和CD有什么数量关系呢？

(2)请你帮助小强写出结论，并给出证明；

(3)如图3,如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形AFEG绕点A旋转a°,若AB=

6/2,AG=4,在旋转过程中，当C,G,E三点共线时，请求出DG的长度.

图3

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答案

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（C）

人日

2.万里长城是世界文化遗产之一，其总长大约为21200000m,将21200000用科学记数法

表示为（B）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212X107

3.如图，AB〃CD,直线I与AB,CD分别交于点E和F,CD上有一点G且GE=GF,Zl=122°,

则N2的度数为（B）

4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（C）

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a

5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）

6.下列运算正确的是（

A.（m-l）2=m2-1C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7.用如图所示的两个可自由转动的转盘进行"配紫色"游戏（红色和蓝色配成紫色），两个转盘

分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色

即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配得紫色的概率为（B）

A.lB.lC.1D.1

6432

8.已知点A（Xjyj,B（X2,丫2）在反比例函数y=2的图象上，且xjOvx2,则下列结论一定正确

的是（D）

A-y^y^OB.y^y^OC.y1-y2<0D/%>。

9.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC,

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BD于点E和F,大于工EF为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别交

2

BP,AD于点M和N,则CN的长为(A)

A.V10B.V11C.2/3D.4

10.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次

函数y=ax2+4x+c(aW。)的图象上有且只有一个完美点(|,|),且当0Wx<m时,函数

y，=ax2+4x+c-2(aW0)的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是(B)

4

A.-lWmWOB.2WmW4C.2<m<ZD.2-<mWZ

22

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分..

11.因式分解：xy2-4x=x(y+2)(y—2).

12.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一

点P,则点P落在阴影部分的概率为丝.

--------e-et--------

13.若关于x的一元二次方程x2+2x+h=0无实数根，则k的取值范围是k>l.

14.如图，正方形的边AB=2,弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面

之差为2n—4.

15.为了增强学生身体素质，学校要求学生练习跑步.开始时男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s,当到达终点时男、女均停止

跑步，男、女生从开始匀速跑步到停止跑步分别用时100s,120s.已知x轴表示从开始匀速

跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则当男、女相遇时，此时男、女同学距离终

点的距离为315m.

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16.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点M是BC的中点,E是BM上的一点，连接AE,

作点B关于直线AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当BF最大时，点B'到BC的

距离为竺.

5

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(6分)计算：卜1|+(-1)2024-sin300-(V5-V2)o

=1+1—1—1

22

2（x—1）+1>-3①

18.（6分）解不等式组<_,并把它的解集在数轴上表示出来.

X—1<"1+W②

3

解不等式①，得X>-1

解不等式②，得xW2

原不等式组的解集为-1<XW2

19.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F,G,H分别在边AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求证：EF=GH.

证明：四边形ABCD是平行四边形

/.AD=BC,ZA=ZC

第10页共18页

又.DE=BG

/.AE=CG

在4EAF和△GCH中，

(AE^CG

NA=ZC

AF=CH

.,.△EAF多△GCH(SAS)

/.EF=GH

20.（8分）植物园是当地人民喜爱的休闲场所之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，

秋千链子的长度为3m,当摆角NBOC恰为26。时，座板离地面的高度BM为0.9m,当摆动

至最高位置时，摆角NAOC为50°,求座板距地面的最小和最大高度分别为多少？（结果精

确至U0.1m,参考数据：sin26°〜0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°〜0.77,cos50°

^0.64,tan50°^1.19）

解：如图力X

过点B作BTLON于点T,过点A作AKLON于点K

在RtAOBT中，OT=OB•cos26°=3x0.90=2.7(m)

:ZBMN=ZMNT=ZBTN=90°

?.四边形BMNT是矩形

/.TN=BM=0.9m

/.ON=OT+TN=3.6(m)

/.CN=ON-OC=3.6-3=0.6(m)

在RtAAOK中，OK=OA•cos50°=3x0.64=1.92(m)

/.KN=ON-OK=3.6-1.92=1.7(m)

答：座板距地面的最小高度约为0.6m,最大高度约为1.7m.

第11页共18页

21.(8分)"小手拉大手，共创文明城某校为了解学生对所在城市创建全国文明城市相关知

识的知■情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩(成绩得分

用x表示.单位：分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图.

等级成绩/分频数

A95^x^100a

B90Wx<958

C85W*<905

D80近4<854

根据以上信息，解答下列问题：

⑴填空：a=,b=.

(2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校1600名学生中,达到优秀等级的人数；

⑶已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

解：(l)a=20-8-5-4=3.

b%=8+20xl00%=40%

/.b=40

故答案为3,40

(2)1600X11=880(名)

20

即估计该校1600名学生中，达到优秀等级的人数为880.

(3)A等级中有2名男生，则有1名女生.

画树状图如下：

开始

男男女

AAA

男女男女男男

共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果

・•.恰好抽到一男一女的概率为士工

63

22.(8分)如图，AB是。O的直径，点E,C在。。上，点C是弧BE的中点，AE垂直于过点C

的直线CD,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点F.

⑴求证：CD是。O的切线；

(2)若AE=2,sinZAFD=l

3

第12页共18页

①求。0的半径；

②求线段DE的长.

22.(1)证明：如图，连接0C

\AD±DF

/.ZD=90°

:点C是弧BE的中点

/.弧CE=MCB

/.ZDAC=ZCAB

VOA=OC

/.ZCAB=ZOCA

/.ZDAC=ZOCA

/.AD/7OC

/.ZOCF=ZD=90°

VOC是。O的半径

/.DC是。O的切线.

(2)解：①如图，过点。作OGLAE,垂足为G

AG=EG=1AE=I

2

VOG±AD

/.ZAGO=ZDGO=90°

VZD=ZAGO=90°

/.OG/7DF

/.ZAFD=ZAOG

sinZAFD=l

3

/.sinZAOG=sinZAFD=l

3

第13页共18页

在RtAAGO中，AO=l^i=3

3

/.O0的半径为3

②：ZOCF=90°

/.ZOCD=180°ZOCF=90°

VZOGE=ZD=90°

/.四边形OGDC是矩形

/.OC=DG=3

\GE=1

/.DE=DG-GE=3-1=2

，线段DE的长为2

23.（10分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测

A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A

粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

⑴该商场节后每千克A粽子的进价为多少元？

⑵如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前

每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最

大？最大利润为多少？

解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元

240_4240

xx2

解得x=10或x=-12（舍去）

经检验，x=10是原分式方程的根，且符合题意.

答：该商场节后每千克A粽子的进价为10元.

（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元

未艮据题意，得（10+2）m+10（40dm）W4600

解得m<300

w=（20-12）m+（16-10）（400-m）=2m+2400.

,/2>0

.*.w随着m增大而增大

当m=300时，w取得最大值，最大利润为2x300+2400=3000（元）

答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大

24.（10分）当k值相同时，我们把正比例函数y=*和反比例函数y=A叫做,'关联函数小亮根

kx

据学习函数的经验，以函数y=-&和y=-2为例对"关联函数"进行了探究，下面是小亮的探

2%

究过程，请你将它补充完整

⑴如图，在同一平面直角坐系中画出这两个函数的图象，两个函数图象在第二、四象限分别

交于点A、B,则点A、B的坐标分别是A、B.

第14页共18页

（2）点P是函数y=-lx在第二象限内的图象上的一个动点（不与点A重合），作直线PA、PB,

2

分别与x轴交于点C、D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到：在点P运动的过程中,

总有PC=PD.

证明PC=PD的过程如下（不完整）：

易知点P的坐标为（t,--）

t

设直线AP的表达式为y=ax+b

-2a+b=1

-2a+b1

将点A、P的坐标分别代人，得

ta+b—2

解得

直线AP的表达式为y=-人一二

tt

令y=0,得x=t-2,则点C的坐标为（t-2,0）

同理可得直线BP的表达式为y二X一生

tt

请你补充剩余的证明过程；

⑶当4PCD是等边三角形时，t=.

⑷随着点P的运动，4ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系，当t>-2

时，请你求出S关于t的函数表达式.

解：(1)令-ix=-则X2=4

2x

\=-2，X2=2

分别代入关系式，得％=1,y2=-l.

/.A(-2,1),B(2,-1)

(2)令人一20,得x=l+2

tt

则点D的坐标为(t+2,0)

如图，过点P作PH，x轴于点H,则H(t,0).

又:C(t-2,0),D(t+2,0)

第15页共18页

CH=DH

，PH是线段CD的中垂线

Z.PC=PD

⑶-迎

3

划5工-士

t

25.(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.

⑴求抛物线的表达式；

(2)如图1,点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM，x轴于点N,若QM=BM,且tan/MBN=2,

3

请直接写出点Q的坐标；

(3)如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D,AE的延长线交抛物线于点P

点F在线段CD上，且CF=OD,连接AF,EF,BE,BP,若S4知=$ABE，求^PAB的面积.

△AFEAABE

⑴设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-3)=

a(x2-2x-3),当x=0时，y=3

-3a=3,解得a=-L