2024年高考数学专项复习：排列组合12种题型归纳（解析版）

2024年高考数学专项复习排列组合12种

题型归纳（解析版）

排列组合12种题型归纳

i.排列与组合的概念

名称定义区别

排列按照一定的顺序排成一列

从n个不同元素中取出

排列有序，组合无序

冽（冽W"）个兀素

组合合成一组

2.排列数与组合数

定义计算公式性质联系

从n个不同元素中取出

冽（加〈加）个元素的所有

排A4=几(几—1)5—2),••5—冽+1)

不同排列的个数,叫做(l)Ag=«l；

列

从〃个不同元素中取出=——---(几，m且冽

数(n~m)!(2)0!=1

旭个元素的排列数.用符

号表示

5「tn-—.

m!

从n个不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)・・・(L冽+1)-L

加（加W几）个元素的所有。八一

组m!

不同组合的个数,叫做(2)a,=cp2；

合

从n个不同元素中取出=----------(n，加£N*,且加

mI(n­m)!

数(3)C?+i=Cf±

加个元素的组合数.用符

号“or表示

【题型一】人坐座位模型1:捆绑与插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:

2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻:

【变式演练】

1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场,

且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的

排法种数是（）

A.144B.120C.72D.48

3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安

全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣

讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）

A.28种B.32种C.36种D.44种

【题型二】人坐座位模型2:染色（平面）

【典例分析】

如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜

色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7c.3/7D.4/7

【变式演练】

1.正方体六个面上分别标有/、B、C、D、E、9六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色,

要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.

A.420B.600C.720D.780

2.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且

恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种

3.如图，用四种不同的颜色给图中的4,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中

每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不对

【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）：

【典例分析】

如图所示的几何体由三棱锥尸-在。与三棱柱/8C-44G组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表

面涂色（底面44G不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种

C.12种D.36种

【变式演练】

1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可

供使用，则不同的染色方法种数是（）

A.420B.210C.70D.35

2.在如图所示的H■^一面体4BCDEFG印中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜

色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为.

3.用五种不同颜色给三棱台斯的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不

同颜色.则不同的染色方法有种.

【题型四】书架插书模型

【典例分析】

有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相

对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.260C.840D.560

【变式演练】

1.从B,C,D,a,b,c,d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按，⑷,2（"C（c）,DS）

先后顺序，但大小写可以交换位置，如或〃5c都可以），这样的情况有种.（用数字作答）

2..在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少

种安排方法

3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有

（）.

A.210种B.252种C.504种D.505种

【题型五】球放盒子模型1:球不同，盒子也不同

【典例分析】

已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的

盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种数为（）

A.150B.240C.390D.1440

【变式演练】

1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）

A.30种B.90种C.180种D.270种

2.将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所

放小球的编号奇偶性均不相同的概率为

.11-67

A.-B.一C.—D.—

762524

3.将B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且/，8不能放

入同一个盒子中，则不同的放法种数为（)

A.15B.30C.20D.42

【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同

【典例分析】

把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i个盒子中至少有i个球（i=l,2,...,10）,则

不同放法的总数是

A.Cj®40B.C：940C.C；；49D.C：949

【变式演练】

1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）

A.22B.25C.20D.48

2.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每

盒至少4个球，共有种方法.

A.C；B./c.团D.C^Cf

3.将7个相同的小球放入A,B,C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法.

A.60种B.36种C.30种D.15种

【题型七】相同元素排列模型1:数字化法

【典例分析】

如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓才加志愿者活动，则

小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A.24B.18C.12D.9

【变式演练】

1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能

力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的

飞行方式有多少种？

A.5B.25C.55D.75

2.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外

跳到第8个格子的方法种数为

加I“小I小卜，

A.8种B.13种C.21种D.34种

3.如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A到B,乙从点C到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.则

甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（

213

B.D.——

7cA21

DB

A图3

【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等

【典例分析】

1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个

连在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.240B.360C.480D.720

2.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其

中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有

种

【变式演练】

1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市

内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空

座位的候车方式的种数是

A.48B.54C.72D.84

2.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲

车在乙、丙两车之间的停放方式共有种.

3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两

个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有种.

【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等

【典例分析】

欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有

A.34种B.55种

C.89种D.144种

【变式演练】

1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子

数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34..........在数学上，斐波那契数列以如下被

递推的方法定义：/（1）=1，/（2）=1,/（"）=/（〃-1）+/（〃-2乂”22,"eN*）.这种递推方法适合研究生活

中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到

二楼就餐有（）种上楼方法.

A.377B.610C.987D.1597

2.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有

走法.

A.12B.8C.70D.66

3.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二

阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则

他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.

A.6B.8C.10D.12

2010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

【题型十】多事件限制重叠型

【典例分析】

班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发

言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为

2333

A.—B.—C.—D.—

17162628

【变式演练】

1.某同学计划用他姓名的首字母T,X,身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号巴由。设置一

个六位的密码.若T,X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不

变，则他可设置的密码的种数为（)

A.864B.1009C.1225D.1441

2.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办

了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动

沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果

2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）

A.1860B.1320C.1140D.1020

3.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不

在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法.（用数字作答）

【题型十一】多重限制分类讨论

【典例分析】

高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1）,她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心

中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有

一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级（12+3）楼梯按分2段的

走法与原来一次性走15级的走法相比较少了种.

ffl1图2

【变式演练】

1.市内某公共汽车站有7个候车位（成一排），现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车，则

甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为;（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻,

但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为.（用数字作答）

2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各

一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该

戏曲节目演出顺序共有（）种.

A.120B.156C.188D.240

3.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》.《星火》的票价为50元/人，每人限购

一张票.甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞.他们六人排成一列到售票处

买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出

现找不出钱的状态.（）

A.720B.360C.180D.90

【题型十二】综合应用

【典例分析】

设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第甲=1,2,…，10）个人的水桶需0分钟，假设

方各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他（她）们的接水次序，使他（她）们的总的花费时间（包括

等待时间和自己接水所花费的时间）最少（）

A.从乃中最大的开始，按由大到小的顺序排队

B.从我中最小的开始，按由小到大的顺序排队

C.从靠近方平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队

D.任意顺序排队接水的总时间都不变

【变式演练】

1.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减,

后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率

是（）

2.设N是集合｛123,4,5,6,7,8,9,10｝的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集/的个数为（）

A.32B.56C.72D.84

3.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个

项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）

【经典题专练】

1.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜

色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则4c区域涂色不相同的概

率为（）

2.将一个四棱锥S-/B8的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,

则不同的染色方法的总数是

A.540B.480C.420D.360

3.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进

入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年

级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）

4.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对

顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A.C混B.C次C.C法D-CX

5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3,4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有

且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

6.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同

放法的种数是（）

A.28B.24C.18D.16

7.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连

在一起，则不同的停放方法的种数为

A.16B.18C.32D.72

8.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停

放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有种.（用数学作

答）

9.如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中4、4、4、4是道路网中位于一条对角

线上的4个交汇处.今在道路网N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最

短路径，以相同的速度同时出发，直到到达处为止.则下列说法正确的是（）

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过4到达N处的方法有64种

Q1

c.甲、乙两人在4处相遇的概率为K

400

D.甲、乙两人相遇的概率为3

10.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学

7步登完楼梯的概率为.

11,2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医

院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为耳，第二批派出两名医务人员的年龄最大者

为6,第三批派出三名医务人员的年龄最大者为4,则满足4<£<A的分配方案的概率为（）

12.如图，在某海岸尸的附近有三个岛屿。，R,S,计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥

只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.

P

A.24种B.20种C.16种D.12种

13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司

机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

（c；c；+c；c；）W

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊

都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字

的表示法如下:

数字123456789

形式IIIIIIIVVVIVIIVIIIIX

其中“I”需要1根火柴，"V”与“X”需要2根火柴，若为0,则用空位表示.（如123表示为

405表示为IVV）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同

的三位数的个数为（）

B.95C.100D.103

15.如图为3x3的网格图，甲、乙两人均从A出发去5地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一

个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、

N,则M—N的值为（）

A.10B.14C.15D.16

排列组合12种题型归纳

1.排列与组合的概念

名称定义区别

排列按照一定的顺序排成一列

从n个不同元素中取出

排列有序，组合无序

冽（冽W几）个兀素

组合合成一组

2.排列数与组合数

定义计算公式性质联系

从n个不同元素中取出

个元素的所有

排-1)(〃-2)…-冽+1)

不同排列的个数,叫做(l)Ag=«l；

列

从〃个不同元素中取出=——---(几，m且冽

数(n~m)!(2)0!=1

旭个元素的排列数.用符

号表示

5「tn-—.

m!

从n个不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)・・・(L冽+1)-L

个元素的所有。八一

组m!

不同组合的个数,叫做(2)a,=cp?i；

合

从n个不同元素中取出=----------(n,冽£N*,且

m!(n-m)!

数Gg=驾土

加个元素的组合数.用符

mWn)

号“or表示

【题型一】人坐座位模型1:捆绑与插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻：

2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻:

解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可,

(1)都不相邻：A"；;(2)两队各自相邻:上工出国用；(3)一对两人相邻：C：团

(2)分类讨论2!

【方法技巧】

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，

剩余座位随人排列。主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容

斥原理来等价处理：容斥原理〃"(/)+〃(3)_〃(/c3)

【变式演练】

1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，

且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】记事件/：2位男生连着出场，事件从女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法

种数为,。)+〃®卜"JcB)],再利用排列组合可求出答案.

【详解】

记事件N：2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的排法种数

为〃(4)=$<=48,

记事件8:女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件8的排法种数为

〃⑶=/：=24,

事件Nc8:女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形

成三个元素，所以，事件/口8的排法种数为£/；=12种，

因此，出场顺序的排法种数用-["(/)+〃©)-〃0cBl

=120—(48+24-12)=60种，故选C.

2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的

排法种数是()

A.144B.120C.72D.48

【答案】B

【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相

邻的排法，相减可得.

【详解】

先考虑只有3个歌舞类节目不相邻，排法有耳耳=144种，

再考虑3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有：444=24,

因此同类节目不相邻的排法种数是144-24=120.

故选：B.

3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安

全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣

讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）

A.28种B.32种C.36种D.44种

【答案】B

【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所

高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.

【详解】

根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论

高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有=12种排法，当乙或丙不排

在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有省用=4种排法，所以高校甲排在第二个时共有

16种排法；

高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有

=16种排法；

综上：共有32种排法满足题意.

故选：B.

【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）

【典例分析】

如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜

色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7C.3/7D.4/7

答案：D

涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE作为“三角形”

1、用了5色：Ag-------/与C不相同

2、用了4色：⑴先涂ABE:A：;（2）C用第4色：C；（不相同）；（3）D用第4种：（相同）

3、用了3色：先涂ABE:A：—结束。/与C相同

归入A；+A；xC；_240_4

A；+A：x2C；+A：4207

【方法技巧】

染色问题：

1.用了几种颜色

2.尽量先从公共相邻区域开始。

【变式演练】

1.正方体六个面上分别标有/、B、C、D、E、尸六个字母,现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，

要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.

A.420B.600C.720D.780

【答案】D

【解析】【分析】

根据对面的颜色是否相同，分①三对面染相同的颜色、②两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、③一

对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.

【详解】

分三类：

1、若三对面染相同的颜色，则有W=6。种；

2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有WC；C；=360种；

3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有WCM=360种；

共有60+360+360=780种.

故选：D

2.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且

恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.

A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种

【答案】D

【解析】【分析】

先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结

合图形的对称性，即可求解.

【详解】

先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有C；=7种方法，

再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有£种方法，

由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，

所以不同的涂色方法，共有上a=2520种不同的涂法.

2

故选：D.

3.如图，用四种不同的颜色给图中的4,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中

每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不对

【答案】C

【解析】【分析】

根据题意，结合计数原理，先排£,F,G,然后根据4B,C,。的情况讨论.

【详解】

解：E,F,G分别有4,3,2种方法，

①当4与尸相同时，N有1种方法，此时3有2种，

⑴C若与F相同有。有1种方法，同时。有3种方法,

（2）若C与尸不同，则此时。有2种方法，

故此时共有：4x3x2xlx2x（lx3+lx2）=240种方法；

②当N与G相同时，/有1种方法，此时3有3种方法,

（1）若C与尸相同，C有1种方法，同时D有2种方法，

（2）若C与尸不同，则。有1种方法，

故此时共有：4乂3*2*良3*”2+卜1）=216种方法；

③当4既不同于尸又不同于G时，N有1种方法,

⑴若2与尸相同，则C必须与/相同，同时。有2种方法；

（2）若8不同于尸，则8有1种方法，

（I）若C与尸相同则。有1种方法同时。有2种方法；

（n）若C与尸不同则必与/相同，。有1种方法，同时。有2种方法；

故此时共有：4x3x2xlx[lxlx2+lx（l><2+lx2]=144种方法；

综上共有240+216+144=600种方法.

故选：C.

【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）：

【典例分析】

如图所示的几何体由三棱锥尸-N8C与三棱柱NBC-431G组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表

面涂色（底面4片G不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种

C.12种D.36种

【答案】C

【解析】三棱锥尸-48。三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱的侧面染色,

保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.

【详解】

先涂三棱锥尸的三个侧面，有C；C；C；=6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C；C；C：=2种情况，

共有6*2=12种不同的涂法.

故选：C.

【方法技巧】

空间几何体，可以"拍扁"，转化为平面图形

【变式演练】

1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可

供使用，则不同的染色方法种数是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

将不同的染色方案分为：/C相同和NC不同两种情况，相加得到答案.

【详解】

按照"8CD的顺序：

当NC相同时：染色方案为5x4x3x1x3=180

当ZC不同时：染色方案为5x4x3x2x2=240

不同的染色方案为：420种

故答案为A

2.在如图所示的H--面体48CDE■尸G8Z中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜

色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为.

【答案】6

【解析】【详解】

分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果.

详解：空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：

假设/点涂色为颜色C4,3点涂色为颜色C2,C点涂色为颜色CC,

由AC的颜色可知D需要涂颜色CB,

由AB的颜色可知E需要涂颜色CC,

由BC的颜色可知F需要涂颜色CA,

由DE的颜色可知G需要涂颜色CA,

由DF的颜色可知/需要涂颜色CC,

由G/的颜色可知〃需要涂颜色CB,

据此可知，当A48C三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，

用三种颜色给A48C的三个顶点涂色的方法有⑷=6种，

故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.

3.用五种不同颜色给三棱台/3C-QE尸的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不

同颜色.则不同的染色方法有种.

【答案】1920.

【解析】【详解】

分析：分两步来进行，先涂48,C,再涂尸，然后分若5种颜色都用上、若5种颜色只用4种、若5

种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即可得结果.

详解：分两步来进行，先涂4SC,再涂尸.

第一类：若5种颜色都用上，先涂4B,C,方法有百种，再涂2瓦厂中的两个点，方法有团种，最后剩余

的一个点只有2种涂法，故此时方法共有H•团◊=720种；

第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；

先涂4SC,方法有彳种，再涂2旦尸中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此

时方法共有C；・•3・3=1080种；

第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C；种；

先涂48,C,方法有H种，再涂D,E,F,方法有2种，故此时方法共有C；-Wx2=120种；

综上可得，不同涂色方案共有720+1080+120=1920种，

故答案是1920.

点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分

类计数加法原理，要认真分析题的条件，列式求得结果.

【题型四】书架插书模型

【典例分析】

有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相

对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先从后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排人顺序不变可用倍缩法，再由分步乘法

计数原理即可求解.

【详解】

解：从后排8人中抽2人有C；种方法；

将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有有种，

由分步乘法计数原理可得：共有C；•冬=28x6x5=840种，

A4

故选：C.

【方法技巧】

（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；

【变式演练】

1从A,B,C,a,"c,d中任选5个字母排成一排,要求按字母先后顺序排列（即按4。）,8（6）,C（c）,。⑷

先后顺序，但大小写可以交换位置，如或都