2025高考数学一轮复习 直线与椭圆的位置关系 专项训练

2025高考数学一轮复习-8.52直线与椭圆的位置关系-专项训练

A级•基础达标

1.已知直线/：叶厂3=0,椭圆手+9=1,则直线与椭圆的位置关系是（）

4

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

2.直线x—y+l=0被椭圆9+V=l所截得的弦长IABI=（）

C.2V2D.3V2

3.如图，椭圆管+y2=i（°>1）与x轴，>轴的正半轴分别交于点A,B,点尸是过左焦点吊且垂直

于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB〃OP,则椭圆的焦距为（）

A.V3B.2V3

C.lD.2

4.已知椭圆C：1+V=l的左、右焦点分别为A，F2,直线y=x+:〃与C交于A,B两点,若△RA2

面积是△面积的2倍，则机=（）

B在

3

02

3D--

3

5.在椭圆『十言=1上求一点P,使它到直线/：3x—2y—16=0的距离最短，则点P的坐标为（

37

B.2’4

C.(0,1)D.(1,0)

6.（多选）已知椭圆的方程为［+1=1,斜率为左的直线不经过原点。，而且与椭圆相交于A,B两

24

点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线与0M垂直

B.若点M坐标为（1,1）,则直线方程为2x+y—3=0

C.若直线方程为y=x+l,则点M坐标为0，1）

D.若直线方程为y=x+2,则IABI=竽

7.已知椭圆C：9+产=1的左、右焦点分别为Fz,上顶点为A,直线与椭圆C的另一个交

点为8,贝必48巳的面积为.

8.已知直线/：y=fcc+l与椭圆J+y2=l交于加，N两点，且IMNI=誓，则％=.

2

9.（2024・临泉一模）直线尤+4y+m=0交椭圆v二十产=1于A,2两点，若线段42中点的横坐标为1,

贝Im—.

10.已知椭圆4f+y2=l及直线y=x+m.

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数机的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

B级•综合应用

11.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点"的“好弦”.在椭圆1+1=1中，过点/

6416

（4V3,0）的所有“好弦”的长度之和为（）

A.120B.130

C.240D.260

12.（多选）设椭圆篙+,=1的右焦点为尸，直线尸机（0＜机＜旧）与椭圆交于A,8两点，则（）

A.IA/N+II为定值BZA8尸的周长的取值范围是［6,12］

C.当机=?时，△ABB为直角三角形D.当机=1时，△ABF的面积为历

22

13.已知椭圆C：5+卷=1(。＞6＞。)的长轴长是短轴长的2倍，尸是椭圆C的一个焦点，点M(0,

a2bz

2),且I=V10.

(1)求椭圆c的方程；

(2)若过点M的直线/与椭圆C交于A,8两点，线段的中点为N,且满足IAMI=IBNI,

求直线/的方程.

C级♦能力提升

14.已知椭圆?+丁=1的左、右焦点分别为尸1，B，过尸2的直线与椭圆交于48两点，则△RA8

的周长是,AFiAB内切圆面积的最大值是.

15.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系。冲中，已知椭圆

22

G：9+5=1，Ai，4分别为椭圆G的左、右顶点.椭圆C2以线段4A2为短轴且与椭圆Ci为“相

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似椭圆”.

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设P为椭圆C2上异于4,42的任意一点，过P作PQLx轴，垂足为。，线段P。交椭圆C1

于点求证：AIH±R\2.

参考答案与解析

1.C联立丁+y一1'消去y,整理得，5f—24x+32=0,该方程判别式/=(—24)2

,x+y—3=0

4X5X32=576—640=-64<0,即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选C.

(x-y+1=0,

2.A由婷。得交点为(0,1),—1，甘)，贝WABI=J©2+(1+1)2=¥-

-+y2=l

37

由题意知，则点尸(一。，-),所以直线的斜率依

3.DFi(-c,0),A(a,0),B(0,1),a3AA=

i

直线尸。的斜率作>0=2=一2.由BA〃P。，得kBA=kpo,所以一工=一工，则c=l,所以椭圆

a—cacaac

的焦距为2c=2.故选D.

4.C由题意，Fi(-V2,0),F2(V2,0),△为45面积是△BAB面积的2倍，所以点尸i到直线

AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即।-空向=2X1今W，解得m=—*或m=—3近(舍

去)，故选C.

5.A设与椭圆相切并与/平行的直线方程为y=|x+如代入9+9=1,并整理得4/+33十加一

7=0,由/=9汴—16(加—7)=0得病=16,"=±4,故两切线方程为尸|x+4和尸|x—4,

(日+”=1(%=三，

显然y=1x—4距/最近，由447'得42即p(q,一：).

[y=|x-4(7=一7

6.BD对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质以B«OM=一9=—2W—1,所以A项不

正确；对于B项，根据ZA夕上OM=-2,所以上A8=—2,所以直线方程为y—1=—2(x—1),即2x+y

—3=0,所以B项正确；对于C项，若直线方程为y=x+l,点M》，则—碗=1X4=4W

-2,所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y=x+2,与椭圆方程9+9=1联立，得到2r十

(x+2)2—4=0,整理得Bf+AxuO,解得尤i=0,尤2=-右所以IABI=71+F卜)—0|=竽,

所以D项正确.

7.1解析：由题意知A(0,1),Fi(-1,0),F2(1,0),直线AQ的方程为y=x+l,联立方程

(立+y2=1,

2>解得

即3(Y，所以S“BFZ=；X2X(1+p

、y=久+1,

y=kx+1,

8+1解析：设M（尤1,以），N（x,以），由消去y并整理得（1+2於）必+4日=0,

21+y2=1

所以为+%2=-mt即冗2=0.由IMNI=竽，得（即一刀2）2+（以一y2）2=拳所以（1+K）（X1

一X2）2=拳所以（1+F）［（X1+X2）2—4xiX21=景即（1+F）•（五券）=卷化简得左4+^—2=0,

所以必=1,所以k=±l.

9.—2解析：,.•％+4丁+m=0,；・y=—%—~9设A(xi,yi),B(松,

相减得，纥及一小及、T，由为+及=2,得?+以=；,则A3中点的纵坐标为I将（1,

%1-％216（yi+y2）424

-）代入直线＞=一4：一"，解得根=-2.

4,44

10.解：（1）由］y'消去y,整理得5f+2mx+m2—1=0,

y=x+m

因为直线与椭圆有公共点，所以/=4疗一20（m2—1）20,解得一日WmW日,

即实数机的取值范围是［―亨，争.

（2）设所截弦的两端点分别为ACxi,第），B（必，＞2）,

由（1）可得•2

出犯=m三~l

所以弦长IA8I（久1+久2）2-4久1%2=泥乂/黑-嗯二=^X）5-4m2,

因此当m=0时，弦长最大，此时所求直线的方程为丫=乂

11.C由已知可得。=8,6=4,所以c=4百，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点

的弦垂直龙轴时弦长最短，所以当x=4百时，最短的弦长为空=等=4,当弦与x轴重合时，弦长

最长为2a=16,则弦长的取值范围为［4,16］,故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”

的长度和为4+16+（5+6+7HH15）X2=240.

12.ACD设椭圆的左焦点为F',贝ijIA尸I=I8尸I,IAPI+I2尸I=IAFI+IAF'I=6

为定值，A正确；△A3尸的周长为IABI+IAFI+I8尸I,；IAFI+II为定值6,且IABI

的取值范围是（0,6）,...△A3F的周长的取值范围是（6,12）,B错误；设点A在点8的左侧，将

尸日与椭圆方程联立，可解得A（—苧，y）,8（娱当），XVF（V6,0）,：.AF-BF=（y/6+

2

手）x（6一崂+停）=（）...•△AM为直角三角形，C正确；将尸1与椭圆方程联立，解得A（一

V6,1）,B（V6,1）,.，.SAABF=|X2V6X1=V6,D正确.故选A、C、D.

（a=2b,厂

13.解：（1）由题意，可得Ic2+4=10,解得［=曾2,故椭圆c的方程为三+。=1.

_lb=五,82

\b2+c2=a2,

（2）根据题意可得，点A必在点B的上方，才有=

当/的斜率不存在时，IAMI=2-V2,IBNI=V2,IAMI#IBNI,不符合题意，故/的斜

率必定存在.

住!十”=1

设/的方程为y=fcc+2,由82'得（1+4妤）；^+16履+8=0,

y=kx+2

则/=（16左）2—32（1+4M）=128妤一32＞0,即标＞士

4

设A（xi,yi）,B（X2,”），

则Xl+%2=一二l+4：/：c2,即％2=一l+4：/“c2・

设N（xo,加），则为=守=一蒜.

由IAMI=IBNI可得，IABI=IMNI,

.*.V1+k2Ixi—X2I=V1+/c2I必一0I,

则j（久i+汽2）2—4%62=I%0I，

2

即一4V2XN4k~l=I*|,

1l+4k21l+4fc2।'

整理得妤*＞工，故—±£

242

.•.直线/的方程为y=±yx+2.

14.4a-解析：根据椭圆定义可知△—AB的周长C=4a=4企；在ABAB内，S=-Cr=242r,

42

问题转化为求△尸1A5面积最大值，设AS：x=my+l,A（xi,%）,B（必＞2）,贝I（m2+2）y2+2my

_2m

yi+y2m2+2

1=001于是s=iIF1F2I-Iyi

y，2=29

Vm+2

2

2V2Vm2+l2V22V2

—2m4V2则

2222

7712+2m+2m+2Vm+1+,n2Vm+1-?=4=

2

N