2024-2025学年湖南省长沙某中学高三数学模拟考试试卷（含解析）

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若时，ex-\2x-a\>G,则。的取值范围为()

A.[-U]B.[2-e,e-2]C.[2-e,l]D.[21n2-2,l]

(jr\jrjr

2.已知函数/(x)=2cosox—耳3>0)在一上单调递增，则力的取值范围()

C.D.(0,2]

2x-i-］的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

4.在AABC中，内角A,瓦。所对的边分别为"c,若依次成等差数列，贝！J()

tanAtan5tanC

A.”,仇。依次成等差数列B.而，无依次成等差数列

C.依次成等差数列D.//3c3依次成等差数列

5.已知函数=gsin0x+3cosfta(o>O),对任意的王，/，当/(玉)〃/)=一12时，|玉一百.='，

则下列判断正确的是()

B.函数/(九)在上递增

77T

C.函数/(%)的一条对称轴是x=:D.函数/(%)的一个对称中心是

6

6.设a,/?为两个平面，则a〃/?的充要条件是

A.a内有无数条直线与/?平行

B.a内有两条相交直线与/?平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,《垂直于同一平面

7.设函数/(x)=2cos2x+2Gsinxcos%+/n,当XE0,^时，/(x)e—17,则用=()

137

A.—B.—C.1D・一

222

8.已知/(九)为定义在R上的奇函数，若当xNO时，f(x)=2x+x+m(现为实数)，则关于x的不等式

—2</(x—1)<2的解集是()

A.(0,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(1,3)

9.给出下列三个命题：

①“五°eR,xj-2x0+l<0”的否定；

②在ABC中，“3>30°”是“cos5〈且”的充要条件;

2

③将函数y=2cos2x的图象向左平移煮个单位长度，得到函数y=2cos[2x+£]的图象.

其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

10.设函数g(x)=e]+(1——a(〃£H,e为自然对数的底数),定义在R上的函数满足/(-%)+/(x)=X2,

且当x<0时，f\x)<x.若存在/£(刈/(%)+；2/(1-％)+%卜且％为函数y=g(x)-％的一个零点，则实数

〃的取值范围为()

B.(Ve,+oo)C.[>Je,+oo)D.——,+oo

2

11.设。、bsR*，数列｛qj满足4=2,an+i=a-a~+b,“eN*，贝!1()

A.对于任意。，都存在实数〃，使得a,<M恒成立

B.对于任意b,都存在实数使得4<M恒成立

C.对于任意be(2-4a,+8),都存在实数〃，使得为〈”恒成立

D.对于任意be(0,2—4a),都存在实数"，使得为<〃恒成立

12.已知全集。=R,集合/={x|—3<%<1},N={x||x|,,l},则阴影部分表示的集合是()

A.[-1,1]B.(-3,1]C.(f—3)U(—l,y)D.(-3,-1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝的首项。1=1,函数/(力=*氏+1-(2%+1)85X在7?上有唯一零点,则数列|｛4｝的前〃项和

S"=

14.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥尸-ABCD为

阳马，侧棱底面ABC。，且R4=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为广，则

R

r

15.已知｛q｝是等比数歹U,若。=(%，2),8=(%，3),且a〃6,则手言

16.已知非零向量a，8满足网=2同，且仅-耳，4,则。与的夹角为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=lnx-%2+ax(aeR).

(1)若/(%)W0恒成立，求。的取值范围;

(2)设函数f(x)的极值点为5,当。变化时，点(/，/(/))构成曲线M，证明：过原点的任意直线丫=履与曲线M

有且仅有一个公共点.

18.(12分)在AABC中，内角A8,C所对的边分别为“,仇c,已知疝b,且

cos2A-cos2B=V3sinACOSA-A/3sinBcosB•

(I)求角C的大小；

(II)若c=求AABC面积的取值范围.

19.(12分)设歹为抛物线C：V=4x的焦点，P,。为抛物线C上的两个动点，。为坐标原点.

(I)若点尸在线段P。上，求|PQ|的最小值；

(II)当OPLPQ时，求点。纵坐标的取值范围.

20.(12分)已知数列｛%｝的各项均为正数，且满足力―(〃+1)4-2/—〃=0.

(1)求%,%及｛4｝的通项公式；

(2)求数列隹｝的前几项和S“.

21.(12分)如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ZABD=30°,A3=2CD=2AO=2,ABCD,EF//BD,且

BD=2EF.

(I)求证：平面AOE_L平面BDEFi

(ID若二面角C—5尸—O的大小为60。，求C尸与平面A8CZ)所成角的正弦值.

22.(10分)已知椭圆E:0+/=1(。〉6〉0)的离心率为f,且过点(弓,：)，点P在第一象限，4为左顶点,

3为下顶点，交V轴于点C,必交x轴于点D.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若CDHAB,求点P的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由题得2x-/<a<2x+e*对Vxw［0』恒成立，令〃x)=2x-g(x)=2x+/,然后分别求出

/(%)皿，g(£L即可得。的取值范围•

【详解】

由题得2%—e*<a<2x+"对立e［。,日恒成立，

令/(x)=2x-ex,g(x)=2x+e”,

r(x)=2_/在［0,1］单调递减，M/,(ln2)=0,

/(x)在(O,ln2)上单调递增，在(In2,1)上单调递减，

:.a>f(x)max=/(ln2)=21n2-2,

又g(x)=2x+e"在［0,1］单调递增，:.a<g(x)n.n=g(0)=l,

二。的取值范围为［21n2—2,l］.

故选：D

本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变

量分离法去求解.

2.B

【解析】

'JI,JIJ111J111JI

由<X<—，可得3<CDX---<-0)，结合y=COS光在［—71,0］上单调递增，易得

3233323

---CD---,—CD&［—兀,0］,即可求出力的范围.

3323__

【详解】

,兀兀一，口兀兀兀兀兀

由——<一,可得——3——<CDX——<—(0——,

3233323

(Q兀兀

X=0时,/(0)=2cos-一，而。£

\3)3,2

7T

又y=cosX在[-71,0]上单调递增，且——G[-71,0],

3

nn

---(D------>—71

33a)<2

7171717122

所以--3---,—a)——之[—兀,0],则;G—gvo，即《口《一,故0<GV—.

332333

6t?>0。〉0

故选:B.

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

3.D

【解析】

令x=］得a=l.故原式=(^+-)(2x--)5.(x+-)(2x--)5的通项4+1=C5‘(2x)"2'(_xT)'=C5‘(_l)'25fx5-2"

XXXX

由52二1得『2,对应的常数项=80,由5-2『-1得口3,对应的常数项=40,故所求的常数项为40,选D

解析2.用组合提取法，把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出-；

X

若第1个括号提出工，从余下的括号中选2个提出工，选3个提出x.

XX

故常数项=X.《(2X)2y(―,)3+1.c；(_f2.《(2X)3=40+80=40

4.C

【解析】

,2T)

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2cos5=」^—,由正弦定理可得

sinAsinC

2acosB=b2,再由余弦定理可得4+°2=2。2,从而可得结果.

【详解】

•.依次成等差数列，

tanAtanBtanC

112cosAsinC+sinAcosC_sin(A+C)sinB2cosB

-----1-----,---------------------------------------------，

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinJ5

.2A

2cos3=sm匕正弦定理得2acos8=加，

sinAsinC

由余弦定理得1+02—32=〃，4+°2=2尸，即依次成等差数列，故选

本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定

理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式

子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

5.D

【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T,从而得到0,即可求出解析式，然后利

用函数的性质即可判断.

【详解】

71

/(%)=^3sinox+3cosa>x=2^/3sinCOXH-----

3

71

又，-<sin(+y<1,即一26<2岔sinCOXH----<-273,

3

二有且仅有-2A/3x2有=-12满足条件；

「II兀L\T兀m

又石一工2.=一'则一二一=>T=万，

I1zImin222

:.(o=^-=2,二函数/(x)=2百sin(2x+(

对于A,

对于B,

jJTJT

解得一行■+五+左乃(左eZ),故B错误;

对于C,当x=V时，/［葛］=2百sin(告+?］=2J^sin

故C错误;

故D正确.

故选：D

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.

6.B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质

定理即可作出判断.

【详解】

由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与夕平行是。//月的充分条件，由面面平行性质定理知，若。//月，

则2内任意一条直线都与夕平行，所以c内两条相交直线都与夕平行是。//月的必要条件，故选B.

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

aua,bu/3,al1b,则。///”此类的错误.

7.A

【解析】

由降幕公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值.

【详解】

/(%)=2cos2尤+2Gsinxcosx+m=l+cos2x+bsin2x+m=2sin(2x+—)+m+1,

6

xe0,—时，2x+工e[工,卫],sin(2x+—)e[--,1],Af(x)e[m,m+3],

_2J66662

171

由题意[zn,zn+3]=[5,5],.=5.

故选：A.

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键.

8.A

【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.

【详解】

据题意，得〃0)=1+m=0,得加=—1,所以当xNO时，〃x)=2、+x—1.分析知，函数/(九)在R上为增函数.

又/(1)=2,所以/(—1)=—2.又—2</(x—1)<2,所以—l<x—1<1,所以0〈尤<2,故选A.

本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.

9.C

【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假，即可选出答案.

【详解】

对于命题①,因为君—2%+1=(%-1)&0,所以“m/eR,x；-2x0+1<0”是真命题，故其否定是假命题，即①是假命

题；

对于命题②，充分性：ABC中，若B>30°,则30°<3<180°,由余弦函数的单调性可知,cosl80°<cosB<cos30°,即

-1<COSB<—，即可得到cos3〈且，即充分性成立;必要性:.ABC中,0°<8<180°,若cos5(且，结合余弦函数

222

的单调性可知,cos180°<cos5<cos30°，即30°<B<180°内得到B>30°,即必要性成立.故命题②正确；

对于命题③，将函数y=2cos2x的图象向左平移晟个单位长度,可得到y=2cos2eJ=2cos)的图象，即命

题③是假命题.

故假命题有①③.

故选:C

本题考查了命题真假的判断，考查了余弦函数单调性的应用，考查了三角函数图象的平移变换，考查了学生的逻辑推理能

力,属于基础题.

10.D

【解析】

先构造函数T(x)=/(x)-3必，由题意判断出函数T(x)的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=〃x)—g/,

因为+/(X)=X2,

所以T(x)+T(—x)=/(x)—；/+〃_力_1(_x)2=/(x)+/(-x)-x2=0,

所以T(x)为奇函数，

当xWO时，T'(x)=/'(x)-x<0,所以T(x)在(—8,0］上单调递减，

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在不Xf(x)+^>f(l-x)+x>,

所以/(Xo)+5?/(l_Xo)+Xo，

1112

所以丁(%0)+］苍+5"(1-/)+5(1-%0)+x0,

化简得T（Xo）2T（l_/），

令〃(x)=g⑺-x=/_y/ex-a

因为/为函数y=g（x）—x的一个零点，

所以〃（X）在X<g时有一个零点

11

因为当时，〃1（无）=e*—八=0,

所以函数网可在时单调递减，

〃八1

由选项知a>0,--广<。<2,

-a-e&〉0,

所以要使h（x）在％；时有一个零点，

只需使力工——8—a<Q,解得a>,

所以a的取值范围为—,+℃,故选D.

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

11.D

【解析】

取a=b=l,可排除AB；由蛛网图可得数列｛4｝的单调情况，进而得到要使4<",只需2<上百三迪，由此

可得到答案.

【详解】

取a=b=l,4+i=a；+l,数列｛a“卜恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项;

因为当0<q<七时，数列{a“}单调递增，则。“<石；

当石<%<々时，数列{。”}单调递减，则石</<。1；

所以要使4</，只需要0<4<々，故2<1+"幽,化简得b<2—4。且b>0.

2a

故选：D.

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

12.D

【解析】

先求出集合N的补集乐N,再求出集合M与电N的交集，即为所求阴影部分表示的集合.

【详解】

由。=R,N={x||x|,,1},可得"N={、x<-L或%>1},

又〃={x[—3<x<1}

所以McdN={x[—3<x<—1}.

故选：D.

本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2"+1-»-2

【解析】

由函数”X）为偶函数，可得唯一零点为％=0,代入可得数列{4}的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后

运用分部求和可得答案.

【详解】

因为/（%）为偶函数，/（%）在R上有唯一零点，

所以/（0）=a"+i=24+1,，％+]+1=2（。“+1）,

n+1

，｛%+1｝为首项为2,公比为2的等比数列.所以%=2"-1,Sn=2-n-2.

故答案为：2n+i-n-2

本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项，考查了数列的分部求和，属于中

档题.

14.叵

2

【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出尺=巫，内切球。1在侧面B4D内的正视图是

2

R

AR4D的内切圆，从而内切球半径为由此能求出一.

r

【详解】

四棱锥P—ABCD为阳马，侧棱24,底面ABCD,

且R4=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,

,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

:.R=叵,

2

侧棱24,底面ABCD，且底面为正方形，

•••内切球。1在侧面QAD内的正视图是△出。的内切圆，

・•・内切球半径为「=产=1,

♦PAD

,R741

故+一=二一.

r2

故答案为西.

2

p.

/少----、——少"

BC

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

2

15.-

3

【解析】

若0=（%,2）,A且a〃b,则3。2=2%,由｛%｝是等比数歹!J,可知公比为q=&=；.

%+〃4_1_2

a3+a5q3'

­、,2

故答案为一.

3

7T

16.y（或写成60°）

【解析】

设■与b的夹角为。，通过仅-4，。，可得仅-a1a=0,化简整理可求出cos。，从而得到答案.

【详解】

设。与b的夹角为。

（b—a^l.a

可得仅,

=0

故kHq.coseTN=o,将网=2时代入可得

得到cos。=!，

2

于是〃与匕的夹角为

故答案为：—■

本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能

力及计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)«＜1；(2)证明见解析

【解析】

InVInx

(1)由7(x)wo恒成立，可得——恒成立，进而构造函数g(x)=x-----,求导可判断出g(x)的单调性,

XX

进而可求出g(x)的最小值g(x)min，令。＜g(x)min即可；

(2)由=—2厂+奴+1,可知存在唯一的x0C(0,+8),使得八%)=0,则一2焉+”+1=0,a=2x0--,

XX0

进而可得=即曲线”的方程为y=lnx+x2—1,进而只需证明对任意人eR,方程

lnx+d—1=丘有唯一解，然后构造函数尸(x)=lnx+x2—^x—l,分化＜0、0〈左＜20和左＞2夜三种情况，

分别证明函数E(x)在(0,+8)上有唯一的零点，即可证明结论成立.

【详解】

InY

(1)由题意，可知%＞0,由/(x)＜0恒成立，可得QV九-----恒成立.

./、Inxm,%2—1+Inx

令g(x)=九-----，则g(%)=

Xx2

令〃(%)=%2—1+inx,贝!J〃(x)=2%+工，

x

\-x>0,hr(x)>0,

h(x)=/—i+m%在(0,+oo)上单调递增,又h(l)=0,

％£(0,1)时，/z(x)<0；X£(l,+oo)时，/z(x)>0,

即(0,1)时，g'(龙)<0；X£(l,+8)时，g'(龙)>0,

.,.X£(0,l)时，g(%)单调递减；X£(l,+8)时，g(%)单调递增,

."=1时,g(%)取最小值g0)=l,

(2)证明：由r(x)」—2x+a=2r+仆+1,4T(x)=-2x2+tzx+1,

XX

由T(0)=l>0,结合二次函数性质可知，存在唯一的与£(0,+8),使得/'(%)=0,故/(%)存在唯一的极值点与,

9c1

贝ij-2%+axQ+1=0,a=2x0,

22

/./(x0)=Inx0-x0+ax0=Inx0+x0-1,

•••曲线"的方程为y=lnx+x2-l.

故只需证明对任意％eR,方程lnx+尤2—1=丘有唯一解.

1or2-kxA-}

令P(x)=lnx+龙2—而一1,则户(乃=上+2]—左=上一竺匚，

XX

①当上<0时，尸(左)>0恒成立，・•.b(x)在(0,+8)上单调递增.

-eA<l,e2i<1,F(e")=^+e2"--1=^(1-)+e2i-1<0,

/⑴=一%之0,.••存在f满足d</<l时，使得尸⑺=0.

又1/(x)单调递增，所以％=/为唯一解.

②当0<女<20时，二次函数y=2》2—乙+1,满足八=左2一84o，

则F'(x)'O恒成立，二厂(x)在(0,+8)上单调递增.

F(l)=-k<0,F(e3)=3+e6-te3-l=(e3-V2)2+e3(2V2-k)>0,

..・存在/e(l,e3)使得/⑺=0,

又一歹(x)在(0,+co)上单调递增，.•.%=/为唯一解.

③当左〉2夜时，二次函数丁=2/一乙+1,满足A=r—8>0，

此时—(x)=。有两个不同的解石，龙2，不妨设占<9，

_1,n72

再，“2-5，..0<玉<”2，<%2f

列表如下:

（%2，+8）

XX]（西㈤工2

F,M+0—0+

F(x)/极大值极小值/

由表可知，当X=%1时，方(%)的极大值为厂(%i)=ln玉+药2一村一1.

2xJ-^+1=0,/.b(%)=ln%[_xj_2,

0<M<---<，/.In%<%+2,

2

/.方(%)=ln%i—_2v0,「.F(X2)<尸(玉)<0.

F(e^)=^2+e2^-k^-l=(e^2-k)^+fc2-l.

下面来证明e%2-左〉0，

[02]

构造函数加(%)=-2虚)，贝1」加'(%)=2%——=-....，

xx

.•・当工£(20,+8)时，m(x)>0,此时m(%)单调递增，

m(x)>OT(2A/2)=8--ln2>0,

，xe(20,+co)时，x2>lnx，>etoxx>

故—左〉0成立•

•••F(J)=(g2-k)e/+左2_]〉0,

二存在fe(9,eM)，使得P⑺=0.

又・尸。)在(々,+8)单调递增，「.％=，为唯一解.

所以，对任意上eR,方程Inx+V—1=近有唯一解，即过原点任意的直线y=区与曲线“有且仅有一个公共点.

本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的

计算求解能力与推理论证能力，属于难题.

18.(I)C=—；(II)S^BCe(0,^^-)

【解析】

(I)根据cos2A—cos?5=J^sinAcosA-百sinBcosB,利用二倍角公式得到

l+cos24—l+cos25=^sin2A—3sin25,再由辅助角公式得到sin（2A—2]=sin（25—/],然后根据正

2222I6；k6J

弦函数的性质求解.

（II）根据（I）由余弦定理得到3=片+尸—而，再利用重要不等式得到0/^3,然后由5乂80=3。法由。求解.

【详解】

（I）因为cos?A-cos?5=gsinAcosA一百sinBcosB，

叱…1+cos2A1+cos2BJ3J3

所以---------------------=—sin2A--sin2B,

2222

且sin2A-B3=3sin25-小生

2222

sin12A—?J=sin126—?J,

2A-工=23-2或2A-2+23-,

6666

A=3或A+B=-^-，

因为a】b,

所以A+八年

71

所以C=上；

3

(II)由余弦定理得：/=储+6?—2aZ?cosC

所以a?+从=3+ab>2ab，

所以"W3,当且仅当a=b取等号,

又因为疝b,

所以ab<3,

所以S%BC=—absinc=

2

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.(I)4(II)°0,-8]U[8,+oo)

【解析】

（1）由抛物线的性质，当PQ，x轴时，|PQ|最小；（2）设点P（玉,%），Q（%，%），分别代入抛物线方程和OPPQ=U

得到三个方程，消去石，尤2,得到关于弘的一元二次方程，利用判别式即可求出为的范围.

【详解】

解：(1)由抛物线的标准方程，p=2,根据抛物线的性质，当尸轴时，|PQ|最小，最小值为2p,即为4.

(2)由题意，设点P(%，％),。(9,%)，其中%7为-

因为OPLPQ,OP=a，yJ,PQ=(x2-xl,y2-yl),

所以OPPQ=玉(/_%J+X(%—X)=°・③

由①②③，得蜡+%%+16=0,

由%eR,且％w0,得△=乂-64»0,

解不等式，得点。纵坐标内的范围为(—,-8][8,转).

本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.

20.(1)q=3；4=5=2〃+1；(2)S“=：(4"—1)

【解析】

(1)根据题意，知〉0,且+—2〃-—77=0,令〃=1和〃=2即可求出的,%，以及运用递推关系求

出｛%｝的通项公式；

(2)通过定义法证明出也｝是首项为8,公比为4的等比数列，利用等比数列的前九项和公式，即可求得｛2%｝的前几

项和S..

【详解】

解：(1)由题可知，〉0,且a；—(〃+l)a“一2〃一一〃=0,

当〃=1时，a；—2q-3=0,贝!]%=3,

当〃=2时，«2—3a2—10=0,“2=5,

由己知可得(4+〃)[a“—(27?+1)]=0,且a”>0,

；•{%}的通项公式:an=2n+l.

(2)设a=2""，则6“=22”+1,

A?2n+1

所以亡=尹=2』，『2』,

得也｝是首项为8,公比为4的等比数歹U，

所以数列出｝的前九项和S,,为:

S“=伪+&++bn,

即S”=23+25+…+22n+1=80―4)=-(4,,-1]>

"1-43V7

所以数列付｝的前几项和：S„=|(4n-1).

本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前〃项和公式，考查计算能力.

21.(1)见解析(2)，亘

11

【解析】

分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面AOE_L平面BDEF-,

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求b与平面ABC。所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角,

放在三角形当中来求解.

详解：(1)在4人8。中，ZABD=30°,由AO2=AB2+Br>2-2A8BOcos30。，

解得8O=S，所以&82+即2=482,根据勾股定理得乙4。8=90。；.&。，8。

又因为。E_L平面ABC，AOu平面A8CZ),：.AD±DE.

又因为2。DE=D,所以AO_L平面8DEE又：平面ABC。，

平面A£)E_L平面BDEF,

(II)方法一：

如图，由已知可得NAQ3=90，ZABD=3Q，则

ZBDC=3Q，则三角形BCD为锐角为30。的等腰三角形.

CD=CB=1,则CG=L

2

过点C做CH//ZM,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则

CG1BD,DEL^ABCD,则CGL平面

过G做G/工■于点I,贝IJBF,平面GCT,即角GQ为

二面角的平面角，则NGC/=60。.

i]

则tan60=—，CG——,则GI=.

在直角梯形BDEF中，G为BD中点，BD=6，GILBF,=

设DE=x,则Gb=x,S^GF=-BGGF=-BFGI,则。E=逅.

228

tanZFCG,则sinZFCG=—,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为叵.

GC41111

(II)方法二：

可知D4、DB、OE两两垂直，以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

设DE=h,则D(0,0,0),B(0,J3,0),C(一；,—R,h).

BC\.OpBF=0-三川

设平面BCF的法向量为根=(无，y,z),

—0.5%------y=0

m-BC=0〜,

则所以《2取工二所以机=(J5，-1,-g),

m-BF=0

———y+hz=0

取平面8。£尸的法向量