河南湿封市金明区某中学2024年中考数学二模试题（含解析）

河南省开封市金明区水稻中学2024年中考数学二模试题

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.下列各数中，最小的数是（

C-r11

A.-2024B.20192019D-2019

2.2024年我市粮食总产量为69520000000斤，69520000000科学记数法表示为（）

A.6.952X106B.6.952X109C.6.952X1O10D.695.2X108

3.下列不是正二棱柱的表面绽开图的是

4.下列计算正确的是（）

A.2-2=-4B.y=2

C.2a+3a—5aD.(a5)2—a

x-a》0

5.己知关于x的不等式组只有5个整数解，则实数a的取值范围是（)

5-2x>l

A.--2B.3<xW-2C.4<x<-3D.4Wx<-3

6.已知在中，点4E、尸分别在边46、47和以上，鱼DE〃BC,DF//AC,那么下列比例式中,

正确的是（）

AE_CFAE_DEDF__DEEC_FC

A-EC=FBB-EC=BCC-AC=BCD-AC=BC

7.小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费状况，并将结果绘制成了如图的统计图.在

这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）

⑤①

①1o一

②8o07元1

元

生5o

元

再3o

⑨2O元

A.50,50B.50,30C.80,50D.30,50

8.关于x的一元二次方程底-4履+必=0根的状况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

9.如图，抛物线了=@*+6*+(?(a=0)与x轴交于点/(1,0),对称轴为直线x=-l,当y>0时,

A.-1<^<1B.-3<^<-1C.x<lD.-3<^<1

10.如图，把半径为2的。。沿弦AB,4C折叠，使源和祕都经过圆心0,则阴影部分的面积为()

A.零B.«C.2«D.4爪

二.填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)

11.-l2024+(V3-1)°=.

12.如图，口力腼的对角线相交于点。，且/吐切，过点。作加4C,交/〃于点〃.假如△6W的

周长为8,那么力8切的周长是.

13.已知一组数据10,15,10,x,18,20的平均数为15,则这组数据的方差为.

14.如图所示，在正方形18切中，G为切边中点，连接/G并延长交8c边的延长线于£点，对角

线初交/G于尸点.已知刀G=2,则线段/£的长度为.

15.如图，在等边三角形/比■中，羔=2«谶，点〃为边以7的中点，点”为边四上的随意一点（不

与点46重合），若点6关于直线腑的对称点月恰好落在等边三角形/回的边上，则册的长

三.解答题（共8小题，满分75分）

16.（8分）先化简，再求值：11―22--ab+b其中6=\"/"Q'.、-J~E'i

a+ba-b/a+1

17.（9分）在甲、乙两个不透亮的布袋中，甲袋装有3个完全相同的小球，分别标有数字0,1,2；

乙袋装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1,-2,0；现从甲袋中随机抽取一个小球，小

球上的数字记为x,再从乙袋中随机抽取一个小球，小球上的数字记为y,设点〃的坐标为（x,

y）.

（1）用树形图或列表法求出点〃的全部等可能个数；

（2）分别求点〃在函数y=-x+1图象上的概率和点〃在第四象限的概率.

18.（9分）如图，切是。。的直径，且切=2m，点尸为切的延长线上一点，过点尸作。。的切

线为、PB,切点分别为4B.

（1）连接4G若N/S30°,试证明△/"是等腰三角形；

（2）填空：

①当巅的长为cm时，四边形/〃必是菱形；

19.（9分）如图，8c是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆切的顶端。处有一

探射灯，射出的边缘光线DA和如与水平路面四所成的夹角和NZW分别是37°和60°

（图中的点/、B、aD、M、”均在同一平面内，CM//AN）.

（1）求灯杆切的高度；

(2)求的长度(结果精确到0.1米).(参考数据：避=1.73.sin37°七0.60,cos37°

20.80,tan37°"0.75)

D

20.(9分)2018年4月8日-11日，博鳌亚洲论坛2024年年会在海南省博鳌镇召开.本届博鳌

亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲，旺盛发展的世界”.围绕这一主题，年会设置了“全球化

与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再动身”四大板块，绽开60多场正式探讨.某厂

打算生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件

乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.

(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

21.(10分)如图，在平面直角坐标系x配中，已知正比例函数％=-2x的图象与反比例函数先

=［的图象交于/(-1,〃)，6两点.

(1)求出反比例函数的解析式及点8的坐标；

(2)视察图象，请干脆写出满意j<2的取值范围；

(3)点尸是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△9的面积为1,请干脆写出点尸的横坐

22.(10分)【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种协助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某

一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)如图1,△Z6C是等边三角形，点〃是边宽下方一点，/BDC=120°,探究线段的、DB、

2c之间的数量关系.

解题思路：延长如到点£,根CE=BD,连接依据/的3，可证//%?=//*

易证得△/及匡△/〃，得出△/庞是等边三角形，所以4)=庞，从而探寻线段曲、DB、次7之间

的数量关系.

依据上述解题思路，请干脆写出物、DB、%之间的数量关系是；

【拓展延长】

(2)如图2,在中，ZBAC=90°,AB=AC.若点，是边比1下方一点，/BDC=90°,

探究线段的、DB、2c之间的数量关系，并说明理由；

【学问应用】

(3)如图3,两块斜边长都为14面的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶

点之间的距离PQ的长分别为cm.

23.(11分)如图，直线y=-x+4与抛物线尸-导+6x+c交于48两点，点/在y轴上，点6

在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴下方的抛物线上存在一点R使得N/%90°,求出点户坐标；

(3)点£是抛物线对称轴上一点，点户是抛物线上一点，是否存在点£和点少使得以点£,F,B,

。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.【分析】先在数轴上表示出各数，依据数轴的特点即可得出结论.

【解答】解：如图所示，

-2019:A'12019■*

•2C192C1S,

故最小的是：-2024.

故选：A.

【点评1本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键.

2.【分析】依据科学记数法的方法可以将题目中的数据用科学记数法表示出来.

【解答】解：69520000000=6.952X1O10,

故选：C.

【点评】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确题意，利用科学记数法的

方法解答.

3.【分析】利用棱柱及其表面绽开图的特点解题.

【解答】解：A,6、。中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、

下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面绽开图.〃围成三棱柱时，两个三角形重合为

同一底面，而另一底面没有.故，不能围成三棱柱.

故选：D.

【点评】本题考查几何体的绽开图，记住棱柱表面绽开图中，上、下两底面应在侧面绽开图长方

形的两侧.

4.【分析】依据负整数指数幕、算术平方根定义、合并同类项法则、塞的乘方的运算法则逐一推断

即可得.

【解答】解：4、2-岩，此选项错误；

B、«=2,此选项正确；

c、2a3与3a2不是同类项，不能合并，此选项错误；

D、(a5)2=a10,此选项错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是驾驭负整数指数累、算术平方根定义、合并同

类项法则、幕的乘方的运算法则.

5.【分析】先解每一个不等式，再依据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围.

【解答】解：解不等式x-a》O,得：xNa,

解不等式5-2x>l,得：x<2,

则不等式组的解集为aWx<2,

..•不等式组的整数解只有5个，

不等式组的整数解为-3、-2、-1、0、1,

则-4<aW-3,

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解.关键是先解每一个不等式，再依据整数解的个

数，确定含a的代数式的取值范围.

6.【分析】依据平行线分线段成比例定理，可得/正确.

【解答】解「：DE/IBC,DF//AC,

.AEADFCAD

,,EC=DB'FB=DB,

.AECF

,,EC=BF-

故选：A.

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.解题的关键是留意依据题意作图，利用数形结合

思想求解.

7.【分析】依据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为100、80、50、30、20元的同学人数，

再依据众数、中位数的定义即可求解.

【解答】解：由扇形统计图可知，

购买课外书花费为100元的同学有：20X10%=2（人），

购买课外书花费为80元的同学有：20X25%=5（人），

购买课外书花费为50元的同学有：20X40%=8（人），

购买课外书花费为30元的同学有：20X20%=4（人），

购买课外书花费为20元的同学有：20义5%=1（人），

20个数据为100,100,80,80,80,80,80,50,50,50,50,50,50,50,50,30,30,30,

30,20,

在这20位同学中，本学期安排购买课外书的花费的众数为50元，

中位数为(50+50)4-2=50(元)；

故选：A.

【点评】本题考查了扇形统计图，中位数与众数，留意驾驭通过扇形统计图可以很清晰地表示出

各部分数量同总数之间的关系.

8.【分析】依据方程的系数结合根的判别式，找出△=(-W2-4X4XA2=16^2-16A2=0,由此

即可得出方程有两个相等的实数根.

【解答】解：在方程4*-4：kx+Ji=0中，

△=(-44)°-4X4X42=1642-16〃=0,

•••有两个相等的实数根，

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=()时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

9.【分析】依据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以干脆得

到答案.

【解答】解：：抛物线尸aV+6x+c(aNO)与x轴交于点4(1,0),对称轴为直线x=-1,

.•.抛物线与x轴的另一交点坐标是(-3,0),

.•.当y>0时，x的取值范围是-3<x<l.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征.解

题时，利用了“数形结合”的数学思想.

10,【分析】作①，于点连接A。，BO,CO,求出/的片30°,得到NA如=2//少=120°,

进而求得//%=120°,再利用阴影部分的面积=28.求出即可.

【解答】解：作aa/c于〃连接力〃、BO、co,

111V3

VOD=^AO=~^X2=1,AD=^AC=,

：.ZOAD=30°,

ZAOC=2ZAOD=120°,

同理NZ如=120°,

：.ZBOC=120°,

【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等学问，解题的关键是确

定//OC=120°.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.【分析】干脆利用事的性质以及零指数幕的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=-1+1

=0.

故答案为：0.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

12.【分析】依据题意，川垂直平分/C所以版7=M1,因此△CW的周长=4分必，可得平行四边

形力8切的周长.

【解答】解：必是平行四边形，

：.OA=OC,

,/OMVAC,

：.AM=MC.

△6W的周长8,

平行四边形被力的周长是2X8=16.

故答案为16.

【点评】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，依据线段垂直平分线的性质，证得/〃=嬷

是解题的关键.

13.【分析】先依据平均数为15列出关于x的方程，解之求得x即可知完整的数据，再依据方差公

式计算可得.

【解答】解：：数据10,15,10,x,18,20的平均数为15,

10+15+10+x+l8+20

-------------------=15,

解得：x=17,

则这组数据为10,15,10,17,18,20,

这组数据的方差是：4[2X(10-15)2+(15-15)2+(17-15)2+(18-15)2+(20-15)2]

b

_j44

=~'

44

故答案为：

【点评】本题主要考查算术平均数、方差，解题的关键是娴熟驾驭算术平均数的定义与方差的计

算公式.

14.【分析】依据正方形的性质可得出切，进而可得出△/即口△在；依据相像三角形的性质

AFAB»

可得出/口=.n=2,结合/G=2可求出A/1、4G的长度，由CG//AB、Z8=2CG可得出CG为J£\EAB

的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出/£的长度，此题得解.

【解答】解：・.•四边形Z颇为正方形，

：.AB=CD,AB//CD,

:./ABF=/GDF,ZBAF=ADGF,

：.AABFs△GDF,

,AF_AB_

,,GF=GD=2,

:.AF=2GF=4,

：.AG=6.

'：CG//AB,AB=2CG,

为△£仍的中位线，

.•.A£=2/G=12.

故答案是：12.

【点评】本题考查了相像三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相像三

角形的性质求出/户的长度是解题的关键.

15.【分析】如图1,当点6关于直线腑的对称点S恰好落在等边三角形A6C的边46上时，于是

得至UMNLAB,BN=BN,依据等边三角形的性质得到NABC=60°,依据线段中点的

定义得到阳£胡=冬如图2,当点方关于直线"V的对称点月恰好落在等边三角形板的边

A,C上时，则例n仍'，四边形E监'"是菱形，依据线段中点的定义即可得到结论.

【解答】解：如图1,当点8关于直线蛇的对称点月恰好落在等边三角形/肉的边加上时，

则恻L/6,BN=BN,

是等边三角形，

；.AB=AC=BC,NABC=60°,

:点〃为边理的中点，

11V3

：.BM=-^BC=~^AB=,

1炳

:.BN=~^BM=',

如图2,当点6关于直线撤的对称点S恰好落在等边三角形A6C的边4。上时,

贝IJ仞归_如'，四边形W"是菱形，

【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类探讨是解题的

关键.

三.解答题(共8小题，满分75分)

16.【分析】依据分式混合运算依次和运算法则化简原式，再将a、6的值代入计算可得.

…心、.,11、(a+b)(a-b)b(a+l)

【斛口】斛：原式=(不^+］豆)2-a+1

=2(a-状*b)-b

=a-b,

当a=J5-石，时，

原式=&+逐一次+泥=2掂.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是娴熟驾驭分式混合运算依次和运算法则.

17.【分析】（1）通过列表展示全部9种等可能的结果数；

（2）找出满意点（x,y）落在函数尸-x+1的图象上及点〃在第四象限的结果数，然后依据概

率公式求解

【解答】解：（1）列表如下：

012

-1(0,-1)(L-1)(2,-1)

-2(0,-2)(1,-2)(2,-2)

0(0,0)(1,0)(2,0)

所以点〃的全部等可能的个数是9；

（2）满意点（x,y）落在函数了=-x+1图象上的结果有2个，即（2,-1）,（1,0）,

2

所以点MQx,y）在函数y=-x+1图象上的概率是不，

因为点（1,-1）,（2,-1）,（1,-2）和（2,-2）落在第四象限，

4

所以点〃在第四象限的概率是万.

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示全部等可能的结果n,再从

中选出符合事务/或6的结果数目m,然后利用概率公式计算事务/或事务6的概率.

18.【分析】（1）如图1,连接/。，依据切线的性质得到/以＞90°,依据三角形内角和得到/

A0/』60°,依据等腰三角形的性质得到NC=N窃g30°,即可得到结论；

（2）①由四边形必是菱形，得到/什/〃由于/。=①，推出△/勿是等边三角形，依据等边

三角形的性质得到//勿=60°,易得圆心角为120度或240度.依据弧长公式进行计算即可；

②当四边形/〃即为正方形时，则有为=勿，再结合切割线定理可求得如，可得出答案.

【解答】解：（1）如图1,连接4。，

•.•序是。。的切线，

:./PAg90°,

'：ZAPO=3Q°,

：.ZAOP^60°,

'：OA=OC,

：.ZC^ZCA0^3Q°,

：.ZC=ZAPO,

...△/CP是等腰三角形;

(2)如图2,①：四边形"〃必是菱形,

：.AO=AD,

■:AO=OD,

△力必是等边三角形,

：./A0A6Q。,

则N/@=120°,

.血的长力120冗XI="2401X1="

,•的长为：180—3”180—3

②当四边形/〃即为正方形时，则有序=/A1CR,

:身为。。的切线，

:.P4=PD,PC,且CD^2cm,

：A=PD(77>2),整理可得4+2⑶-1=0,

解得联亚-\或Pg-近-\(舍去)，

：,PD=42-1

(cm),

:,当PD=("^2-1)c勿时，四边形4〃即为正方形;

故答案为：(«-1).

图2

【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质,

等腰直角三角形的性质，正确的作出协助线是解题的关键.

19.【分析】(1)延长加交2%于〃.只要证明即可;

（2）在Rt△比力中，求出敬CH,在RtA42狙中求出■即可解决问题;

【解答】解：（1）延长加交加于〃.

:./BDH=3Q°,

■:/CBH=30°,

N侬=N〃?C=30°,

：.BC=CD=10（米）.

1J3

（2）在Rt△比"中，CH='BC=3,即=5丫"心8.65,

:.DH=\3,

_DH15

在Rt△/用中,/〃=还初『=布=20,

：.AB=AH-BH=2.0-8.65=«11.4（米）.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用协助线，构

造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

20.【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依据等量关系：①2

件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，@3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500

元，列出方程组求解即可；

（2）可设销售甲种商品0万件，依据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等

式求解即可.

【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元

’2x=3y

依据题意,得《

,3x-2y=1500

fx=900

解得

|y=600

答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元

(2)设销售甲种商品0万件，则销售甲种商品(8-加万件

依据题意，得900箱■GOO(8-加，5400

解得022

答：至少销售甲种商品2万件.

【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到

符合题意的不等关系式及所求量的等量关系.

21.【分析】⑴把/(-1,n)代入y=-2x,可得A(-1,2),把d(T,2)代入7=］，

可得反比例函数的表达式为y=-彳，再依据点B与点、A关于原点对称，即可得到6的坐标；

(2)视察函数图象即可求解；

21212

(3)设.P(m,--),依据S糕彩幽>N=SAPOB=\，可得方程不(2+—)(0-1)=1或不(2+一)

IDZIDZID

(1-加=1,求得0的值，即可得到点户的横坐标.

【解答】解：(1)把/(-1,〃)代入y=-2x,可得〃=2,

：.A(-1,2),

k

把d(-1,2)代入,可得k=-2,

.,.反比例函数的表达式为尸-A

:点夕与点/关于原点对称，

：.B(1,-2).

(2)-：A(-1,2),

的取值范围是x<-1或x>0；

(3)作鼠Lx轴于弘QKLx轴于“

•S梯形MBPN=SAPOB=1，

21212

设PQm,--),则可(2+一)Cm-1)=1或不(2+一)(1-/)=1

IDZIDZID

整理得，方-/-1=0或/+研1=0,

后刀汨1+西十娓-1

角牛得m=---或m=---,

±1

・・・—点的横坐标为、一.

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时留意：反比例函数与一次函

数的图象的交点坐标满意两函数的解析式.

22.【分析】(1)由等边三角形知为8=47,/曲(7=60°,结合/初C=120°知/力必•/4切=180°,

由知/ABA/ACE,证△月即出得/BAA/CAE,再证△/庞

是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长小到点£,使CE=BD,连接力£,先证及匕若得加=/£,/BAg/CAE,据此

可得/的£=/为。=90°,由勾股定理知的2+/月=庞，继而可得2期2=QDB+DC)2；

(3)由直角三角形的性质知。及=余¥=7,MQ=VMN2H9N2=7^,利用⑵中的结论知我?0

=的切仁7+7避，据此可得答案.

【解答】解：(1)如图1,延长加到点£,校CE=BD,连接/£,

图1

是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

:/初C=120°,

：.ZABIhZACD=180o,

：.ZABD=ZACE,

：.AABD^AACE(SAS),

：.AD=AE,NBAD=NCAE,

"：ZABC=60°,即/物分/物C=60°,

：.ZDAC+ZCA^=60°,即/物£=60°,

.•.△/庞是等边三角形，

:.DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA^DC+DB,

故答案为：DA=DC+DB-,

(2)^DA=DB+DC,

如图2,延长如到点£,使,CE=BD,连接

E

图2

,：ZBAC=90°,ZBDC=90°,

：.ZABIAZACD^180o,

,：ZACE+ZACD=180°,

：./ABD=4ACE,

"：AB=AC,CE=BD,

：.£\ABD^/\ACE,

：.AD=AE,ABAD=ACAE,

:./DAE=/BAC=9Q°,

:.M+A^=D3

；.2物2={DB^DO2,

:.®DA=DB^DC；

(3)如图3,连接尸0,

VW=14,/QMN=3S,

1

：.QN=-MN=1,

22V142-72=7a,

...W=VMN-CN=

由（2）知血户0=会朝=7+7避，

.pc7+7«?&+7遍

''PQ=~42~=-2-'

痂较安％