2023年九年级概率知识点总结及题型

概率知识点总结及题型汇总

一、确定事件：包括必然事件和不也许事件

1、在一定条件下必然要发生日勺事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件,

或者说发生日勺也许性是100%；如：从一包红球中，随便取出一种球，一定是红球。

2、在一定条件下不也许发生日勺事件，叫做不也许事件。不也许事件是指一定不能发生

日勺事件，或者说发生日勺也许性是0,如：太阳从西边出来。这是不也许事件。

3、必然事件日勺概率为1,不也许事件日勺概率为0

二、随机事件

在一定条件下也许发生也也许不发生日勺事件，叫做随机事件。

一般地，随机事件发生日勺也许性是有大小日勺，不一样的随机事件发生的也许性日勺大小有也

许不一样.

一种随机事件发生日勺也许性日勺大小用概率来表达。

三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不也许事件，

哪些是确定事件？

①一种玻璃杯从一座高楼日勺第10层楼落到水泥地面上会摔破；

②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；

④某人买彩票，持续两次中奖；⑤今每天气不好，飞机会晚些抵达.

解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不也许事件是②.确定事件是①②

三、概率

1、一般地，对于一种随机事件A,把刻画其发生也许性大小日勺数值，称为随机事件A

发生日勺概率，记为P(A).

(1)一种事件在多次试验中发生的也许性，反应这个也许性大小的数值叫做这个事件

发生的概率。(2)概率指的是事件发生时也许性大小的的一种数值。

2、概率的求法：一般地，假如在一次试验中，有n种也许的成果，并且它们发生时也

许性都相等，事件A包括其中日勺m种成果，那么事件A发生日勺概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有状况日勺总概率之和为lo(2)在一次试验中，也许出现日勺成果有限

多种.

(3)在一次试验中，多种成果发生日勺也许性相等.

(4)概率从数量上刻画了一种随机事件发生日勺也许性日勺大小，事件发生日勺也许性越大,

则它的概率越靠近1；反之，事件发生的也许性越小，则它的概率越靠近0。

(5)一种事件的概率取值：OWP(A)W1

当这个事件为必然事件时，必然事件日勺概率为1,即P(必然事件)=1

不也许事件的概率为0,即P(不也许事件)=0

随机事件的概率：假如A为随机事件，则0<P(A)<1

(6)也许性与概率的关系

事件发生日勺也许性越大，它日勺概率越靠近于1,事件发生的也许性越小，则它的概率越

靠近0.

C事件发生的可能性越来越小,

,.一I概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

3、求概率的环节:

(1)列举出一次试验中的所有成果(n个);

⑵找出其中事件A发生日勺成果（m个）;

⑶运用公式求事件A的概率：P（A）=-

n

5、在求概率时，一定要是发生时也许性是相等的，即等也许性事件

等也许性事件的两种特性:

（1）出现日勺成果有限多种；（2）各成果发生时也许性相等;

例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的也许性相等，图3中日勺第一种图，指针在

转动过程中，转到各区域的也许性不相等,

A盘B盘

图1

红（红，红）

红工、蓝（红，蓝）

开始蓝/红（蓝，红）

览、蓝（蓝，蓝）

图3图4

由上图可知，在求概率时，一定是出现日勺也许性相等，反应到图上来说，一定是等分日勺。

例2、下列事件哪些是等也许性事件？哪些不是?

（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是

（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是

（3）从分别写有1,3,5,7中的一种数的四张卡片中任抽一张成果是1,或3或5或

7o是

6、求概率的通用措施:

在一次试验中，假如也许出现日勺成果只有有限个，且多种成果出现的也许性大小相等，

那么我们可以通过列举试验成果日勺措施，求出随机事件发生日勺概率，这种求概率的措施叫列

举法.

列举法包括枚举法、列表法、树状图法

(1)枚举法(列举法)：一般在一次事件中也许发生日勺成果比较少时，我们可以把所

有也许产生日勺成果所有列举出来，并且多种成果出现日勺也许性相等时使用。等也许性事件日勺

概率可以用列举法而求得。不过我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

(2)列表法：当一次试验要波及两个原因(例如掷两个骰子)，并且也许出现日勺成果

数目较多时，为不重不漏地列出所有也许日勺成果时使用。

(3)列树形图法：当一种试验要波及3个或更多的原因(例如从3个口袋中取球)时,

列表就不以便了，为不重不漏地列出所有也许日勺成果时使用。

四、频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现日勺次数叫频数

2、频率：某个事件出现日勺次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量反复试验中，假如事件A发生日勺频率-会稳定在某个常数p附

n

近，那么，这个常数p就叫作事件A日勺概率，记为P(A)=Po

五、概率公式中m、n之间日勺数量关系，P(A)日勺取值范围。

在概率公式P(A)=丝中m、n取何值，m、n之间的数量关系，P(A)的取值范围。

n

0WmWn,m、n为自然数

vn

W—1,/.0<P(A)WL

当m=n时,A为必然事件，概率P（A）=1,

当m=0时,A为不也许事件，概率P（A）=O.

OWP（A）

六、几何概率

1、假如每个事件发生日勺概率只与构成该事件区域日勺长度（面积或体积）成比例，则称

这样日勺概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

（1）几何概型的特点：

1）试验中所有也许出现的成果（基本领件）有无限多种.2）每个基本领件出现日勺也许性相

等.

（2）在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

七、例题汇总

（一）确定三事件

p（4）图］下列事梅威摩制曲封贼随醒则输体穆是不确定事件?哪些

一试验的全部结果所构峻）区域长度（面积或体积）

是确定事件？，分析其发生概率日勺大小

（1）抛掷一枚均匀日勺骰子，6点朝上；（2）367人中有2人日勺出生日期相似；

（3）1+3>2；（4）太阳从西边升起.

解析：根据事件发生日勺也许性大小判断对应事件日勺类型即可.（1）抛掷一枚均匀日勺骰

子，1,2,3,4,5,6点均有也许朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天,

故367人中必然有2人的出生日期相似；（3）1+3肯定不小于2；（4）太阳不也许从西边

升起.由以上分析知:

（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不也许事件.

（2）（3）（4）是确定事件

发生概率日勺大小判断，首先需要理解必然事件、不也许事件、不确定事件日勺意义.必然

事件是指一定会发生日勺事件，发生日勺概率是1;不也许事件是指不也许发生日勺事件，发生的

概率是0；不确定事件是指也许发生也也许不发生日勺事件，发生日勺概率介于0和1之间.

例2、下列事件属于必然事件日勺是（）

A.打开电视，正在播放新闻B.我们班日勺同学将会有人成为航天员

C.实数aVO,则2a<0D.新疆的冬天不下雪

解析：A是随机事件，由于也许是播新闻也也许是其他电视节目；B为随机事件，一种

班有几十个学生当然有也许成为航天员；D是不也许事件，由于新疆气温低，每年都会下

雪.故选C

例3、（福建龙岩）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地

后正面朝上；③任取两个正整数，其和不小于1；④长分别为3、5、9厘米日勺三条线段能围

成一种三角形.其中确定事件的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

B解析：③④是确定事件

（二）概率意义的理解

例1、某商场举行购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商

场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，成果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中

奖率为50%?为何？

解析：由于中奖是不确定事件，而计算中奖率应当是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但

这些数据在本题中没有给出，因此不能计算出这次抽奖活动日勺中奖率，因此不能说商场日勺抽奖活

动中奖率为50%.

点评：概率是在做大量反复试验时，伴随试验次数的增长，一种事件出现日勺频率，总在一

种固定常数日勺附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验日勺结论.随机事件每次发生日勺成果是

不可以预见日勺，但每次发生日勺概率是不变日勺.

例2、下列说法对时时是（）

A.某市"明天降雨的概率是75%”,表达明天有75%的时间会降雨

B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上

1

C.在一次抽奖活动中，"中奖的概率是100"表达抽奖100次就一定会中奖

D.在平面内，平行四边形日勺两条对角线一定相交

解析：明天降雨日勺概率是75%是阐明明天有75%日勺也许性会降雨，而不是阐明天有75%日勺

时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上日勺概率是0.5,说日勺是在做大量日勺抛一枚硬币日勺试验中，有二

分之一日勺也许性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的

概率为—L,指的是每抽奖一次均有二一时也许性中奖；故A、B、C都错，因而选D.

100100

（三）运用简朴枚举法求概率

例1某小商店开展购物摸奖活动，申明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸

奖时，购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球（小球之间只有号码不一样，其他均相似）

中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片.

（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？

（2）一次，小聪购置了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一

定能摸中"，你同意他日勺想法吗？说说你日勺想法.

解析：（1）每次摸奖时，有5种状况，只有摸到号码是2日勺球才中奖，于是得到一张精美

图片的概率是P=1；

（2）不一样意，由于小聪第5次得到一张精美图片日勺概率仍是去因此他第5次不一定中奖.

点评：此题考察概率日勺求法：假如一种试验有n种等也许日勺成果，事件A包括其中日勺m种

成果，那么事件A的概率P（A）=弋，解题时注意对概率意义日勺理解.

例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中日勺方格中（每个方格除颜色外完全同样），那么这

粒豆子停在黑色方格中的概率是.

解析：1、这粒豆子落在每一种方格中的也许性是同样的，因此这粒豆子停在方格中的也许

性共有12种，黑色方格的也许性有四种，因此黑色方格中的概率等于汽=工

123

2、黑色方格中日勺概率等于黑色方格日勺面积与所有方格日勺面积比.设每个方格日勺面积是1,

则P（这粒豆子停在黑色方格）=---.

123

点评：概率日勺大小与面积大小有关.事件发生日勺概率等于此事件所有也许成果所构成日勺图形

面积除以所有也许成果构成日勺图形面积.

例3、掷两枚硬币，求下列事件的概率

（1）两枚硬币正面所有朝上；（2）两枚硬币背面所有朝上

（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币背面朝上。

解：用枚举法（列举法）列出也许日勺成果是：正正、正反、反正、反反。所有成果共有4种。

并且这四个成果出现的也许性相等。

用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有也许成果如表所示：

正反

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

（1）所有日勺成果中，满足两枚硬币所有正面朝上（记为事件A）的成果只有一种，即“正

正”因此P（A）=1/4

（2）所有日勺成果中，满足两枚硬币所有背面朝上（记为事件B）日勺成果只有一种，即“反

反”因此P（B）=1/4

（3）所有日勺成果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币背面朝上（记为事件C）的成果共

有2个，即“正反”“反正”因此P（C）=2/4=1/2

例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm,3cm,4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长

度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答问题：

（1）求这三根细木棒能构成三角形日勺概率；

（2）求这三根细木棒能构成直角三角形日勺概率；

（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形日勺概率.

解析：从四根木棒中任选两根，共有如下六种状况：（1,3）、（1,4）、（1,5）、（3,

4）、（3,5）、（4,5）,其中与3cm长的线段构成三角形的有（1,3,3）、（3,3,4）、

（3,3,5）、（3,4,5）四种；构成直角三角形的有（3,4,5）一种；构成等腰三角形日勺有

（1,3,3）、（3,3,4）、（3,3,5）三种，因此有：

4_21

（1）P（构成三角形）=6-3；（2）P（构成直角三角形）=6；

3_j_

（3）P（构成等腰三角形）=6-2.

（四）列表法求概率

当试验波及两个原因（例如两个转盘）并且也许出现的成果数目较多时，为不重不漏地列出所

有的成果，一般采用“列表法”。

例1、如图，袋中装有两个完全相似日勺球，分别标有专

游戏者每次从袋中随机摸出一种球，并自由转动图中的转盘（转盘被提成相等的三个扇形）.游戏规

则是:假如所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜日勺概率.

解:每次游戏时,所有也许出现的成果如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

总共有6种成果，每种成果出现时也许性相似，而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2

的成果只有一种因此游戏者获胜的概率为1/6.

例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3,乙转盘的四个等分区域分别写

有数字4、5、6、7O现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

解：列表

4567

1(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)区,㊉

2(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)

3(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

共有12种不一样成果，每种成果出现时也许性相似，其中数字和为偶数的有16］种

/.P（数字和为偶数）=6/12=1/2

例3、例、同步掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

⑴两个骰子的点数相似

⑵两个骰子点数之和是9

⑶至少有一种骰子的点数为2

分析：当一次试验要波及两个原因（例如掷两个骰子）并且也许出现的成果数目较多时，

为不重不漏地列出所有也许成果，一般采用列表法。

解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有也许的成果:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

由表可看出，同步投掷两个骰子，也许出现的成果有36种，它们出现的也许性相等。

（1）满足两个骰子点数相似（记为事件A）的成果有6种，P（A）=6/36=l/6

（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的成果有4种，P（B）=4/36=l/9

（3）满足至少有一种骰子的点数为2（记为事件C）的成果有11种，P（C）=ll/36

思索题：假如把刚刚这个例题中的“同步掷两个骰子”改为“把一种骰子掷两次”，所得

的成果有变化吗？没有变化

（五）树形图法求概率

当一种试验要波及3个或更多的原因（例如从3个口袋中取球）时，列表就不以便了，

为不重不漏地列出所有也许日勺成果时使用。

1、既有一项“抖空竹”的演出.已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自

随机选用其中日勺一种空竹.求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率.

解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件塑料一A木质一B

措施1：措施2：

/\/\

AAA,AAB,ABA,ABB,-

/\/\/\/\

BAA,BAB,BBA,BBB.一_一_

=；P（"）=冷

2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相似日勺卡片若干，甲盒中装有2张卡片，

分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张卡片,

分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求

（1）取出日勺3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母日勺概率各是多少？

（2）取出日勺3张卡片上全是辅音字母日勺概率是多少？

由树形图可以得到，所有也许出现日勺成果有12个，这些成果出现日勺也许性相等.

（1）只有一种元音字母日勺成果有5个，因此P（一个元音）=上；

有两个元音字母的成果有4个，因此P（/两个元音\）避4=；1；

所有为元音字母的成果有I个，因此P（三个元音）=2=工

126

（2）全是辅音字母的成果有2个，因此p（三个辅音）=2=工.

126

3、小颖为学校联欢会设计了一种“配紫色”日勺游戏：图1是两个可以自由转动日勺转盘,

每个转盘被提成面积相等日勺几种扇形。游戏者同步转动两个转盘，假如转盘A转出了红色,

转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，由于红色和蓝色在一起配成了紫色。

（1）运用树状图或列表日勺措施表达游戏所有也许出现日勺成果。

（2）游戏者获胜日勺概率是多少？

A盘

解析：（1）所有也许出现的成果可用表1或图2表达。

红（红,黄）（红,蓝）（红,绿）

白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）

（红，黄）

（红，蓝）

（红，绿）

（白，黄）

（白，蓝）

（白，绿）

图2

（2）所有也许出现的成果共有6种，配成紫色的成果只有1种，故游戏获胜的概率为工。

6

这道题为两步试验日勺随机事件发生日勺概率计算，采用日勺措施是树状图法和列表法。接下

来仍然以“配紫色”为重要情景进行游戏：，让同学们深入经历用树状图法和列表法处理概

率问题的过程。

用图3所示日勺转盘进行“配紫色”游戏。

小颖制作了图4,并据此求出游戏者获胜日勺概率*。

（红，红）

（红，蓝）

（蓝，红）

（蓝，蓝）

图4

小亮则先把左边转盘的红色区域等提成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制

作了表2,据此求出游戏者获胜日勺概率也是：

红色蓝色

红色1（红1,红）（红1,蓝）

红色2（红2,红）（红2,蓝）

蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）

你认为谁做得对？说说你的理由。

解析：由于左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不一样，因而指针落在这两个区域

日勺也许性不一样，故小颖的做法不对时，而小亮日勺措施则是处理这一类问题日勺一种常用措施。

4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到日勺火车票是同一排相邻日勺三

个座位，那么小明恰好坐在父母中间日勺概率是多少？

解：为了以便起见，我们不妨设三个坐位号为1,2,3o可以看出坐在2

号位上，则为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。

从图中可以看出，不管小明第

几种坐，所有日勺也许能是6种，而

小明坐2号位置日勺状况有2种（记

为事件A）,因此小明恰好坐在父

母中间日勺概率是

/、21

P（A）=-=-

o3

（六）概率与方程

1、（2023广西防城港23,8分）一种不透明的纸盒中装有大小相似日勺黑、白两种颜

色日勺围棋，其中白色棋子3个（分别用白4白3、白C表达），若从中任意摸出一种棋子,

是白色棋子的概率为亡.（1）求纸盒中黑色棋子日勺个数；

4

（2）第一次任意摸出一种棋子（不放回），第二次再摸出一种棋子，请用树状图或列表

日勺措施，求两次摸到相似颜色棋子日勺概率.

3

解答：（1）/一3=1•••黑色棋子有1个.

4

一、结果白A白B白c黑

摸\

白A(A,B)(A,C)（A,黑）

白8(B,A)(B,C)（B,黑）

白C(C,A)(GB)（C,黑）

（黑，）

黑（黑，A）B（黑，C）

(2)

・••共12种状况，有6种状况两次摸到相似颜色棋子，因此概率为

2

此外，本题还可以用树状图解答如下:

开始

第一摸：白A白3白C黑

白小/K/K/K

第二摸：白B白c黑白A白C黑白A白B黑白A白B白C

姑臬（白A，白8）（白A,白C）（白A,黑）（白白A）

（白8,白C）（白8,黑）（白C,白A）（白C,白8）

（白C,黑）（黑，白A）（黑，白B）（黑，白C）

由于由上面树状图可知：共12种状况，有6种状况两次摸到相似颜色棋子，因此概率为

2

2、湘潭是我家，爱惜靠大家”.自本市开展整改"六乱"行动以来，本市学生愈加自

觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上课时都要通过一种十字路口，该十字路口有

11

红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口碰到红灯日勺概率为；，碰到黄灯日勺概率为§，那么他

12士5

碰至收录灯日勺概率为（）A.3B.3C.9D.9

解：碰到绿灯的概率为11/3-1/9=5/9

【点评】所有状况日勺概率之和为1,用1减去其他状况日勺概率就是碰到绿灯日勺概率。

3、（2023?武威模拟）袋子里有10个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸

球，共摸100次，其中摸到红球次数是25次，则袋子里蓝球大概有（）

A.20B.30C.40D.50

251

【解析】•••共摸100次，其中摸到红球次数是25次，.•.摸到红球日勺概率为讪=4

10_1

•袋子里有10个红球和若干个蓝球，，设篮球有X个，则丽=4解得：x=30,故选B.

4、（2023铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不一样外，其他都相似的球，放在不透明的

纸箱里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个.若每次只摸一球（摸出后放回），摸出红球的

概率是2,则黄球有I_______个.

5

解析：设黄球有x个，则摸出红球的概率为一--=2,解得》=3

4+3+x5

5、（2023湖南衡阳）在不透明日勺箱子里装有红、黄、蓝三种颜色日勺卡片，这些卡片除

颜色外都相似，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片日勺概率

为;，

⑴试求箱子里蓝色卡片的张数.

⑵第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格

日勺措施，求两次抽到日勺都是红色卡片日勺概率.

112

分析：（1）设箱子里蓝色卡片的张数为x张，由£红色）=—，则一=-------,解有关x的方程即可求出

（3222+i+x

箱子里蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回.

21

解：（1）设箱子里有x张蓝色卡片，则有--------=—,解得：x=l.

2+1+x2

(2)

第一次抽卡片：红।红2黄蓝

小小小小

第二次抽卡片：红2黄蓝红］黄蓝红］红2蓝红1红2黄

从树状图图可知，一共有12种成果，两次抽到的都是红色的有两种.

21

P（两次抽到都是红色卡片）

126

6、（2023湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表达两人各投掷一

次日勺点数.（1）求满足有关x日勺方程/+/+q=0有实数解日勺概率.

（2）求（1）中方程有两个相似实数解的I概率.

分析:通过列表或画树状图，可以求出p、q日勺多种也许日勺取值；方程/+川+4=0有实数解

日勺条件是鉴别式°?-曲川；方程/+px+q=0有两个相似实数解的条件是鉴别式p2_4q=

0.

解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后p、q日勺取值共有36种等也许状况，其中满

□24>n牝若JP=2J°=3Jp=4jp=5jp=6jp=3［p=4jp=5jp=6

足。-4狂0的有，=］、［=］、1=］、L=rL=r1=2'1=2'［=2、［=2、

P=4、卜=5、[P=6/P=4"P=5、,=6/P=5、卜=6、p=5"p=6以上]9种状

q=31q=31q=31q=4[q=4[q=41q=51g=51q=61q=6

况，..・方程/+/+q=0有实数解的概率为《；其中满足p2-4q=0日勺有以上2种

71

状况，•••方程/+px+4=0有两个相似实数解的概率为/=-5-.

7、（2023茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相似的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸

箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3.

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）假设向纸箱中再放进红色球％个，这时从纸箱中任意取出一种球是红色球的概率为0.5,试求X日勺

值.

解：（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100x（1—0.2—0.3）=50（个）

（2）措施一：根据题意得:

=0.5,解得：x=6Q（个）.

100+x

措施二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一种球是红色球的概率为

0.5,因此纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：

x+20=30+50,解得：x=60（个）.

（七）几何概率

1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设置了一种可以自由转动日勺转盘（如图所示,

转盘被平均提成16份），并规定：顾客每购置100元日勺商品，就能获得一次转动转盘日勺机

会，假如转盘停止后，指针恰好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50

元、30元、20元日勺购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，假如顾客不乐意转转盘，那

么可以直接获得购物券10元。

（1）求每转动一次转盘所获50元购物券日勺概率（2）求每转动一次转盘所获30元购物券日勺

概率

（3）求每转动一次转盘所获20元购物券日勺概率（4）求每转动一次转盘所获购物券日勺概率

（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额日勺平均

数；

（7）假如你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？阐明理由。

解：（1）每转动一次转盘所获50元购物券日勺概率为：1/16

(2)每转动一次转盘所获30元购物券的概率为：2/16=1/8

(3)每转动一次转盘所获20元购物券日勺概率为：4/16=1/4

(4)每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16

(5)每转动一次转盘不获购物券日勺概率：1-7/16=9/16(或者是空白区域除以16)

2A

(6)50x16+30x16+20x16=11.875(元)；(7).11.875元>10元，，选择转转盘。

2、某商场为了吸引顾客，设置了一种可以自由转动的转盘(如图9所示)，并规定：顾客每购置100元

的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向时数.获奖措施是：①指针两次都指向8时，顾客可

以获得100元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8,

且所指两数之和又不小于8时，顾客可以获得所指两数之和与8时差的10倍的购物券(如，获40元购物券)；

④其他状况无奖.

(1)试用树状图或列表的措施，给出两次转动转盘指针所有也许指向的成果;

(2)试求顾客可获得100元购物券的概率；(3)试求顾客无奖的概率.

解：(1)列表得:

2468

2

(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)

4

(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)

6

(6,2)(6,4)(6,6)(6,8)

8

(8,2)(8,4)(8,6)(8,8)

(2)由于两次转动转盘指针所有也许日勺成果共有16种，其中两次指针指向8的状况有一种,

因此所求概率为1/16

(3)由于两次转动转盘指针所有也许日勺成果共有16种，其中无奖的I状况有6种，因此所求

概率为6/16=3/8

3、公共汽车在0〜5分钟内随机地抵达车站，求汽车在1〜3分钟之间抵达日勺概率。

分析：将0〜5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度日勺线段，则1〜3分钟是这一线

段中的12个单位长度。

解：设“汽车在1〜3分钟之间抵达”为事件A,则P(A)=(3-l)/5=2/5

因此“汽车在1~3分钟之间抵达”日勺概率为2/5

4、取一根长为3米日勺绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段日勺长都不少于1米日勺概率有

多大？

解：记“剪得两段绳子长都不不不小于1m”为事件A,把绳子三等分，于是当剪断位置处

在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段日勺长度等于绳子长日勺三分之一，因此事件A发生

的概率P(A)=1/30

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM不不小于AC的概率。

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中日勺线段AC'

上时，AMVAC,故线段AC'即为区域d。

解：在AB上截取AC'=AC,于是

P(AM<AC)=P(AM<AC,)=AC'/AB=AC/AB=^2/2

则AM不不小于AC的概率为々2/2

6、取一种边长为2a的正方形及其内切圆（如图），随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆

内的I概率.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

P（A）=圆的（面积/正方形面积=na2/4a2=口/4

7、在边长为a的正方形ABCD内随机取一点P,求：（1）ZAPB>90°的概率.（2）

ZAPB<90°的概率

解：如图，以正方形的边AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，则有当点P在圆

周上时，NAPB=90°,而点P在圆内时，NAPB>90°,当点P在圆外时，NAPB<90°

设AB=a,则正方形日勺面积为a?

因此,zAPB>90。曰勺概率p=(n*(a/2)2/2)4-a2=Ji/8

ZAPB<90°日勺概率为1-n/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸不不

小于2m的概率.

解：设事件A“海豚嘴尖离岸边不不小于2m”（见阴影部分）

P(A)=(30X20-26X16)4-30X20=0.31

9、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白红色，靶心为金

色.金色靶心叫“黄心”。奥运会日勺比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,运动员在70m

外射.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等也许日勺，那么射中靶心日勺概率有多大？

P(A)=(1/4JIX12.22)4-(1/4JiX1222)=0.01

10、某人午觉醒来,发现表停了，他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待日勺时间不多于

10分钟的概率.

解：设人=｛等待日勺时间不多于10分钟｝.我们所关怀日勺事件A恰好是打开收音机日勺时刻位于

[50,60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6

(八)设计公平的游戏规则

例1有一种小正方体，正方体的每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字.目前有甲、

乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，假如朝上日勺数字是6,甲是胜利者；假如

朝上日勺数字不是6,乙是胜利者.你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为何？假如不公平,

你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？

解析：看游戏与否公平，重要看双方与否具有均等日勺获胜机会，假如机会是均等日勺，那就

公平，否则，则不公平；可以变化已知条件，使游戏对双方获得日勺机会是均等日勺就可以了.

(1)这个游戏不公平.由于正方体日勺每个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数字，其中

数字6只有1个，也就是甲胜利日勺概率是1不是6日勺数字有5个，也就是说乙胜利日勺概率是京,

OO

双方日勺胜利的机会不是均等日勺，因此说这个游戏不公平.

(2)可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，假如朝上的数字是奇数(1,3,5),甲是

胜利者；假如朝上的数字是偶数(2,4,6),乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平了.

点评：本题考察游戏公平性日勺判断，判断游戏规则与否公平，就栗计算每个参与者取胜日勺

概率日勺大小，概率相等就公平，否则就不公平.

（九）概率的实际应用

例1某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不

超过15分钟日勺概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2345

解析：电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处在两次报时之间.例如在13：00至

14：00之间，并且取各点日勺也许性同样.要等待日勺时间不超过15分钟，只有当他打开收音机的

时间处在13：45至14：00之间才有也许，因此对应的概率应是本题选C.

4

点评：对于一种随机事件来说，它发生也许性大小日勺度量是由它们自身决定日勺，并且是客

观存在日勺，就如同一块土地有面积同样.概率是随机事件发生也许性大小日勺度量，是随机事件自

身日勺一种属性.

误区点拨

一、基本概念的理解有误

例1有下列说法：①随机事件A发生日勺概率是频率日勺稳定值；②任意事件A发生日勺概率P

（A）满足0<P（A）<1；③若事件A发生的概率为0.000001,则事件A是不也许事件.其

中对的的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

错解：选D.

剖析：本题致错原因是不理解某些基本概念.频率是较少数据记录的成果，是一种详细的趋

势和规律.在大量反复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且伴随试验次

数的不停增长，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件日勺概率.随机事件A发生日勺概

率是频率日勺稳定值，①对日勺；由于必然事件发生的)概率为1,不也许事件发生日勺概率为0,随机

事件发生日勺概率不小于0不不小于1,因此任意事件A发生日勺概率P(A)满足OWP(A)W1,

②错误；若事件A发生日勺概率为0.000001,则事件A发生日勺也许性很小，但也有也许发生，③

错误.

正解：选B.

二、错误理解概率

例2某同学掷一枚硬币，成果是一连9次都掷出正面朝上，请问他第10次掷出硬币时出

现正面朝上的概率为()

A.不不小于1B.不小于|C.1D.不能确定

错解：选B.

剖析：无论哪一次抛掷硬币，均有2种状况，即正面、背面，与第几次抛掷硬币无关，故

第io次掷出硬币时出现正面朝上日勺概率为;.

正解：选C.

三、求概率时没有注意等也许性

例3如图，把一种圆形转盘按1：2：3：4的比例提成A,B,C,D四个扇形区域，自由

转动转盘，求转盘停止后落在B区域的概率.

错解：I

剖析：错解中没有注意各部分所占日勺比例，也就是说落到每一部分不是等也许性日勺，解题

时首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区

域日勺概率.

正解：由于该圆形转盘按1：2：3：4日勺比例提成A,B,C,D四个扇形区域，于是圆被等

21

提成10份，其中B区域占2份，因此落在B区域日勺概率=言=".

跟踪训练

1.下列事件中，属于不确定事件日勺是（）

A.一般水加热到100℃时沸腾

B.测量聊城某天日勺最低气温，成果为-150℃