2024届河南省高考考前模拟考试数学试题（附答案解析）

2024届河南省高考考前模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z的模长为1,则z2的模长是（）

A.1B.J2C.2D.也

2

2.把函数/（£）=cos5久的图象向左平移2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

COS(5*+5)

A.y=cos(5x+1)B.y=

5x

c.y=cos(5x-DD.y=COS(-5)

3.下面四个数中，最大的是（）

A.In3B.In(ln3)c.—D.(ln3)2

ln3

4.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率

为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

5.若等差数列｛仆｝的前〃项和为S,且满足$45＞。，$46＜。，对任意正整数〃，都有

同习湘，则加的值为（）

A.21B.22C.23D.24

6.已知VABC的内角A,8,C的对边分别为。，6,c,若面积s=（"+.一一，贝!|sinC=

3，

（）

24437

A.—B.-C.-D.—

255525

22

7.椭圆会+方=1（。＞6＞0）的离心率为e,右焦点为b（c,0）,方程℃2+灰一°=0的两个实

根分别为4和Z，则点尸（%,9）（）

A.必在圆/+y=2内B.必在圆尤,+产=？上

C.必在圆尤2+9=2外D.与圆/+丁=2的关系与e有关

8.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知

AB=BC=CD=1,AB_LBC,AC_LCD,AC与BD交于点0,若DO=kAB+,则4+4=()

A.V2-1B.1-5/2C.V2+1D.一亚一1

二、多选题

9.若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M—{x\x2<1],N-{x\x>—1}

x

C.M={x\y=电行,N-{y\y-e+5]

D.M={(%,y)Ix2=y2],N={(x,y)\y=x}

10.如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具.它由转

动杆。尸与横杆PQ组成，P,Q为横杆的两个端点.在道闸抬起的过程中，横杆尸2始终保持

水平.如图2所示，以点。为原点，水平方向为x轴正方向建立平面直角坐标系.若点。距

水平地面的高度为1米，转动杆。尸的长度为1.6米，横杆PQ的长度为2米，O尸绕点。在

与水平面垂直的平面内转动,与水平方向所成的角夕目3。°,90°]()

试卷第2页，共6页

644、/348

A.则点P运动的轨迹方程为f+(y+l)2=||(其中xe0,岸，,仁)

B.则点。运动的轨迹方程为(x-2y+£(其中xe2,叱芋|,|)

C.若OP绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，则横杆PQ距水

13

平地面的高度为1米

D.若。尸绕点。从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，则点。运动轨

迹的长度为1/3米

11.同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法

有了较深的研究•设a,b,机为正整数，若a和6被根除得的余数相同，则称a和b对模比

同余，记为awb(modm).则下列选项中正确的是()

A.^\a-b\=km,k,贝［|a三伙mod加)

B.218=56(mod3)

C.若a三(a+l)(modnt),b=(m+2)(modni),则ab=(m+3)(modm)

D.若。三)(mod7")，则a"三6"(mod〃z),7zwN*

三、填空题

12.写出函数j-hu的一条斜率为正的切线方程：.

13.己知$&寸,0<4<£,cos停")=|,sinq+〃q

［与+"-1:一"=］+(a+⑶；则sin(a+⑶的值为.

14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他

的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及

大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数。,“(九.2),若存在一个整数x,使得“

整除Y-a,则称。是〃的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机

抽取一个整数a,记事件A=%与12互质"，8="a是12的二次非剩余”,则尸(A)=

P（B|A）=.

四、解答题

15.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a,b,c计算三角

形面积的公式：S=[p(p-a)(p-c)，这个公式常称为海伦公式.其中,p=；(a+6+c).

我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a,6,c计算三角形

面积的公式：S=|c)2_+，这个公式常称为“三斜求积”公式.

⑴利用以上信息，证明三角形的面积公式S=^acsinB；

RqinA

(2)在VABC中，〃+c=8,tan—=-------,求VABC面积的最大值.

22-cosA

16.已知。力为正实数，构造函数〃若曲线y=〃力在点处的切线方

-

axIL)

程为>.

⑴求4的值；

21

(2)求证：f(x)>-.

X+1X

17.如图所示，四边形A2CD为梯形，AB//CD,43=2,AD=DC=CB=1,以AC为一

条边作矩形ACFE,且CP=1,平面ACFE_L平面ABC£>.

(1)求证：BCLAF；

(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为£(。<«<90°),

其中一个平面内的图形G在另一个平面上的正投影为G',它们的面积分别记为品和品，，

则SG，=SG<osa.乙同学利用甲的这个结论，发现在线段跖上存在点使得

试卷第4页，共6页

^=--请你对乙同学发现的结论进行证明•

Z-AZMWAZJB2

18.为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.

若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为B；若该区

域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为心.己知该指

定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功

能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定

指定区域有珍稀动物活动.

⑴若A=0.8,=。。2.

（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概

率；

（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率

（精确到0.001）;

（2）若监测系统在监测识别中，当0.84R40.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动

物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该

区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求必的范围（精确到0.001）.

（参考数据：叵巫=0.9866,叵画=0.9861,0.982=0.9604）

66

19.阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：++zm+2份+/=（）,则称点尸（％,

%）和直线/：AYoX+Cy（）y+o（x+Xo）+石（y+%）+/=。是圆锥曲线G的一*对极点和极线.事

实上，在圆锥曲线方程中，以与x替换以血曾替换x（另一变量y也是如此），即可得到

22

点P（x。，%）对应的极线方程.特别地，对于椭圆5+多=1,与点尸（%,%）对应的极线方

ab

程为岑+浮=1;对于双曲线=与点P（X。，%）对应的极线方程为岑-瞿=1；

abbbab

对于抛物线y2=2px,与点P（x0,%）对应的极线方程为%y=2（Xo+x）.即对于确定的圆锥

曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点尸处的切线；

②当尸在G外时，其极线/是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦

所在直线)；

③当尸在G内时，其极线/是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆C：/+：=1(。>6>0)经过点P(4,0),离心率是,，求椭圆C的方程并写

出与点尸对应的极线方程；

(2)已知。是直线/：y=-；x+4上的一个动点，过点。向(1)中椭圆C引两条切线，切点

分别为M,N,是否存在定点T恒在直线上，若存在，当MT=77V时，求直线的方

程；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】设Z=〃+历(a,b£R),根据复数代数形式的乘法运算及复数模的计算公式计算可得.

【详解】设Z=4+历(a,b£R),则回二标+从=1,

即a2+b2=l,

又z?=(a+bp?=a2-b2+2aby

所以归卜《(az―廿了十(2而)2=y/a4+b4-2a2b2+4a2b2

=J/+//+2a2/=J(q2+62)——i•

故选：A

2.A

【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.

【详解】由题意新函数解析式为y=cos5(x+1)=cos(5x+1).

故选：A.

3.D

【分析】先根据对数函数单调性求得1<山3<2,然后可判断最大项.

【详解】因为lne<ln3<Ine2>即l<ln3<2,

所以In(n3)<ln2<l,白<1,故B,C错误；

X(ln3)2-ln3=(ln3-l)ln3>0,所以(3丫>ln3.

故选：D

4.D

【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有A；=5x4x3=60种；

要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，

所以数字为1,2,3时，有A；=3x2xl=6种；数字为1,3,5时，有A；=3x2x1=6种；

数字为2,3,4时，有A；=3x2xl=6种；数字为3,4,5时，有A；=3x2xl=6种；共24

种.

答案第1页，共12页

所以该三位数能被3整除的概率为2胃4=：2.

605

故选：D

5.C

【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前〃项和公式计算推理得解.

【详解】依题意，545=45（%受）=45%>0,则出3>。，

又$46=46（0；%6）=23（%3+g4）<°，则43+%4<0，«24<~ai3<0-

等差数列｛4｝的公差d=a24-a23<o,因此数列｛qj单调递减，

%>3>%2>%3>0>〃24>々25>且|。23|<|。24|，

即任意正整数〃，|%闫%3|恒成立，

所以对任意正整数〃，都有“以湘成立的根=23.

故选：C

6.A

【分析】先利用余弦定理的变形：a2+b2-c2=2abcosC,结合三角形的面积公式

S=1a&sinC,可把条件转化为：4cosC+4=3sinC,再根据同角三角函数的基本关系和三

角形中sinC>0,可求得sinC.

【详解】因为S=〈a6sinC,所以LAinC=（"+"）2—c2=/+1一.+2",

2233

又由，二片+廿-2"COSCnM+炉_。2=2abeosC,

匚172abcosC+2ab一/c,「

所以一Q人smC=--------------------n4cosC+4=3sinC.

23

所以4cosc=3sinC—4=^>（4cosC）2=（3sinC-4）2=^>16cos2C=9sin2C-24sinC+16n

16（l-sin2C）=9sin2c-24sinC+16

24

所以25sin2。—24sinC=0,又因为在VABC中，sinCwO,所以sinC=^.

故选：A

7.A

【分析】由恒等式好+好=（%+&¥-2%1%2以及韦达定理即可得到才+其关于e的表达

答案第2页，共12页

式，然后证明X；+,一定小于2,即可得到A正确.

【详解】根据题目条件有62="—02,e=£

a

1）r

由X］和％是方程以2+勿―c=0的两个根，故由韦达定理得石+兀2=---，XrX2=

aa

=

从而淄+%2（%1+冷尸—2Kl%2=5+）=b曹，

22

=a2-c；+2ac=i+££_=i+2e-e=2-（1-e）<2.

a2aa2

这表明点P（%i，X2）一定在圆V+y2=2内，A正确.

故选：A.

8.A

【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据九AB+NAC,

结合向量坐标运算，即可求得答案.

【详解】以C为坐标原点，C2C4所在直线分别为％'轴建立如图所示的坐标系,

由题意得AC=拒,

则A（O,0）,2T，*,C（O,O）,AB=与一与,AC=（0,-72）.

\7\7

因为C8=O）=l,/OC2=90+45=135，故ZBDC=22.5,

因为345=盗费=1'所以心53一\（负值舍去）,

所以OC=OC-tan22.5=&-1,

故。（0,夜-1）.又。（-1,0）,则加=（1,忘-1）,

1-巴

2

因为DO=：\A3+piAC,所以<

叵一\=一号九一后

答案第3页，共12页

解得卜=0,所以彳

故选：A.

【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标

运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.

9.ACD

【分析】根据Venn图可知NM,依次判定选项即可.

【详解】根据Venn图可知NM，

对于A,显然NM,故A正确；

对于B,M={%|-1<%<1],/V={x|x>-1},则MUN,故B错误；

对于C,M={%|x>0},/V={y|y>5},则NM,故C正确；

对于D,M={（%,y）\y=x,或y=-x},N={（%,y）\y=x},

则NM,故D正确.

故选：ACD

10.BC

【分析】由题意易判断点P的轨迹是以。为原点，OP为半径的圆，求得方程判断A；点Q

的轨迹是以（2,0）,半径为1.6的圆，求得方程判断B；求得横杆P。距水平地面的高度可判

断C；求得点。运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长判断D.

【详解】对于A：点P的轨迹显然是以。为原点，。尸为半径的圆，

故点P运动轨迹方程为Y+y2=||（其中xe[0，¥^ye[*|]）,故A错误；

对于B：设。（x,y）,P（%,%）,因为尸°平行于无轴，

fx=+2f=x-2,464

所以，所以，又因为尸在加圆/+丁=之上,

所以点。的运动轨迹是以（2,0）为圆心，1.6为半径的圆，

所以点°的轨迹方程为（尤-2）2+V=||（其中xe[2,l°+4括],八[上引）,故B正确;

23555

对于C：若OP绕点O从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，

横杆达到最高点，此时横杆尸。距水平地面的高度为1+1.6=],故C正确；

对于D：因为O尸绕点O从与水平方向成30。角匀速转动到与水平方向成90。角，

答案第4页，共12页

故。绕点(2,0)转动的角度与点尸绕点(0,0)转动的角度一样为90。-30。=；,

所以点。运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于L6x]=1|,故D错误.

故选：BC.

11.AD

【分析】A：根据绝对值的性质，结合已知的定义进行判断即可；

B：运用二项式定理进行判断即可；

C：根据已知通过数学运算计算判断即可；

D：根据已知结合二项式定理进行判断即可.

【详解】解析：若|々一”=初2,贝1]。=如"+6或匕=+a,故。=6(mod〃z),故A正确；

因为＞8=49=(3+iy=C；39+C%+C；3,++明+1,所以*被3除得的余数为1,56

被除得的余数为2,故B错误；

由。三(根+l)(modni)^a=km+l,由6三(m+2)(modm)得b=tm+2,

ab={km+V)(tm+2)=ktm2+(2k+t)m+2,被优除得的余数为2,而〃z+3被加除得的余

数为3,故C错误；

^a=b(modin),贝I」a==切?+r,

a"=(km+r)"=(km)"+C；(km尸r+C^kni)-2r2++C『(km)1尸+r",

nn1-1n

b=(tm+r)”=(tm)+C：(〃n尸r+C；(加)/++禺一(rm)r"+r,

所以a"三6"(mod〃z),故D正确，

故选：AD

【点睛】关键点睛：读懂同余关系的定义，并转化为数学式子是解题的关键.

Y—22

12.y=±k+l-r-ln2(答案不唯一)

e-e1

【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切

点坐标即可得切线方程.

【详解】=x＞。，贝1]广(无)=4一W-L

、'2e、/2e]

取切点为(2,/⑵)，则斜率为左=*2)=g-?一;=±,

222

X/(2)=---^--ln2=l---ln2,

答案第5页，共12页

则切线方程为：y-l+4+ln2=4(^-2),即y=乎+1-々一1112.

eeee

x-22

故答案为：y=—+1---ln2（答案不唯一）

ee

56

13.

65

【分析】利用平方关系先求出sincos［彳+的值，再利用差角的余弦公式计算

求解.

■、乂••兀3兀八c兀.7171八3兀371c

【角牛】,一<a<—,0<力<—・・—<—a<0,—<---F6<兀

444f2444

cos1+£l-sin4y+/?U-12，

13

sin(a+4)=—cos

故答案为：—.

65

5

7

【分析】根据题意，计算出1-20内与12互质的数，再在这些互质数内，计算出12的二次

非剩余数即可.

7

【详解】在1-20内与12互质的数有1,5,7,11,13,17,19,所以P（A）=与；

根据定义，对于二整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，

12

显然，当4=1时，X=ll;当4=13时，x=7；

当〃=5,7,11,17,19时，工不存在；

75

故答案为：—.

答案第6页，共12页

15.(1)证明见详解

(2)473

【分析】(1)根据题意结合余弦定理分析证明;

(2)利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得2b=a+c,再运用题中公式结合基本不等式

运算求解.

【详解】(1)因为cos(』+LJBPc-+a--b-=accQsB?

2ac2

且5£(0,兀)，则sinB>0,所以S=g〃csinH.

.Bc.BB

sin2sin—cos—

B7sinB

(2)因为tan,=-----方22

1+cosB

cos—2cos2—

22

由题意可得s,"3=sinA,即sjn/2-cosA)=sinA(1+cosB),

1+cosB2—cosA

整理得2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin(A+B)=sinA+sinC,

由正弦定理可得2〃=a+c=8,即b=-^-=4,

因为比〈也m=16,当且仅当〃=。时，等号成立,

4

贝1S=V12ac-144<712x16-144=473，

所以7ABe面积的最大值为4后.

16.(1)2

(2)证明见解析

答案第7页，共12页

【分析】(1)根据切线方程列出关于。力的方程组，解方程组即可.

(2)对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可.

ax-ax\nx+b

【详解】(1)因为/。)=—彳，所以广(x)=

ax+bx(ax+b)2

a+b1

又因为广⑴=/⑴=0,

(〃+力)2a+b

所以曲线产XX)在点处的切线方程为1右。一

由题意可知曲线y=在点处的切线方程为y=g(依-6),

1_a

所以卜了:，解得a5=l(负值舍去)，所以4+6=2.

1_b

、〃+/72

InY

⑵由第1问可知，

21目口由、/Inx2

要证小)--一,即要证一->一--

Xx+1x+1X

只需证ln%H---120.

x

1Y-]

构造函数g(x)=lnx+—,则g'(x)=—厂,

xx

当xe(0,l)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减;

当xe(L+8)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增,

?1

所以g(x)3=g⑴=1,所以g)，所以〃上第一f

17.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)在等腰梯形ABC。中，过点C,£(分别作CPLAB,DQLAB,垂足为p,Q,

利用锐角三角函数得到NPBC=60。，再由余弦定理求出AC?,即可得到ACLCB,由面面

垂直的性质得到3CL平面AC巫，从而得证；

(2)建立空间直角坐标系，设0,1),(041石)，平面FCB与平面M4B所成的角为6,

利用空间向量法表示出cosd,求出cos，的取值范围，再由FCB是△M4B在平面广CB上

的正投影，求出SycB，结合题中所给结论证明即可.

答案第8页，共12页

【详解】(1)如图所示的等腰梯形ABC。中，过点C,。分别作“LAB,DQLAB,垂

足为P,Q,

则8QP为矩形，PQ=1,在Rt^BCP中，BP=；（AB-DC）=g,BC=1,

ffrl^cosZPBC=—=-,则NPBC=60。，

BC2

在VABC中，AC?=22+a-2x2xlxcos60°=3,

/•AC"+BC1=AB2,AZACS=90°,AC±CB.

又；平面ACFE_L平面A3CD,平面ACFBc平面ABCD=AC,

BCu平面ABC。，

BC_L平面ACFE,又AFu平面ACFE,

所以BCLAF.

(2)由(1)可知BC,平面ACFE,又CFLAC,如图建立空间直角坐标系,

则A（倔0,0）,5（0,1,0）,C（0,0,0）,£（V3,0,l）,F（0,0,1）,设（0W⑹,

则=b后1,0）,AM=1-后0,1）,

n-AB=-ax+y=0

设平面MAB的一个法向量为"=(x,y,z)则1/L\

g,+2=0

又平面RZB的一个法向量为"z=(i,o,o),

m-n11

匚匚【、icosn,m=--j—p-r=-----1==/

所以MMlxjl+(可+Mt)2&-2疯+7,

因为OWfV百，产-2®+7=(f-G『+4,所以24〃_2-+7v/，

设平面bCB与平面M4B所成的角为。，则也WcosdvL,

72

又也<」!<1,所以存在。使得cose=1,

7626

易知MF_L平面尸CB,AC_L平面产CB,

答案第9页，共12页

所以FCB是在平面尸CB上的正投影,

<-111」

S.FCB=-xlxl=-,

由j_=逅*亚，所以SFCBUSMAB-COS。，

262

所以在线段跖上存在点人使得打”半

18.(1)(i)0.96；(ii)0.142

⑵p2G(0,0.013]

【分析】（1）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得;

（2）借助全概率公式与条件概率公式，结合题意可得不等式组，解出该不等式组即可得.

【详解】（1）记事件A为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件3为“监测区域实

际上有珍稀动物活动”,

2

0.2X[1-(1-A)]

⑴尸(9)=磊==0.96；

0.2

(ii)P(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

22

=0.2[l-(l-A)]+0.8[l-(l-/72)]

=0.2[1-(1-0.8)[+0.8[1-(1-0.02)1

=0.22368,

nl/「、P(AB)P(A\B\P(B)

贝IJ尸(8A)=\।)

v17P(A)P(A)

0.8p-(l-0.02)2]

合0.142；

0.22368

答案第10页，共12页

0.2X[1-(1-)2]

⑵尸(B⑷一名网一尸(人⑻/(2)A

⑵气叩卜尸(A)P(A)

0.2[1-(1-pj]+0.8[1-(1-p?)1

_P(而)_P(司孙P⑻__________0.8x(l一口『____________

尸(4)尸(%)1-[0.8]l-(l—必)〔+0.2[1-(1一”)1}

2

0.2XF1-(1-A)1

LJ--------=r>0,9

P(BA)>0.90.2[1—(1一月『]+0.8[1—(1

由题意可得<z-,-x，即

A)>0,92

0.8x(l-p2)

-------------^r>0.9

O2

1-{.8[1-(1-/?2)]+O.2[1-(1-

令1-Pi=x,1-p2=y,得0.8W01W0.9,0<p2<1,故0.1WxV0.2,0<y<l,

2d+35

y>--------

36y2-x2>3536

,即“；c2，贝nl叶

4y>9xz>9r