2025年高考数学复习：创新定义题型（新高考卷）解析版

专题20创新定义题型

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对创新定义的考查，是新鬲考改解析几何创新问题2024•新高考I卷，11

革出现的题型，一般难度较大。2024

年九省联考出现了概率的新定义问题，

数列新定义2024•新高考I卷,19

而2025年新高考中出现了解析几何、

数列的新定义问题。

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。II卷虽然未

考查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。新定义题型的特点是：通过

给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的

基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义

问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事''逐条分析、验证、运算，

使问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计2025年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。

试题精讲

一、多选题

1.(2024新高考I卷-11)造型b可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点

。.且C上的点满足横坐标大于-2,到点/(2,0)的距离与到定直线x=“(“<0)的距离之积为4,贝IJ()

A.a=—2B.点(26,0)在C上

4

c.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（%,%）在C上时，7

%0+2

【答案】ABD

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求。，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利

用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点P（x,y）,贝!]无>-2且小口一2）2+日2乂4一同=4,

因为曲线过坐标原点，故J（。-2）2+0R0-a|=4,解得。=-2,故A正确.

对于B：又曲线方程为J（x-2）?+y2x|x+2|=4,而尤>-2,

故+y?x（尤+2）=4.

当尤=2£y=0时，夜-2yx仅收+2）=8一4=4,

故（2死0）在曲线上，故B正确.

216/~\23

对于C：由曲线的方程可得y=7­犷一（无一2）,取尤=

（%+2）2

E2641-6411645256-245八

则旷=为一“而希丁］--------------〉0故此时/>1,

49449x4

故。在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

/、216/,16

对于D：当点（%,%）在曲线上时，由C的分析可得得=（尤+2）2一"。-2）%+2广

44

故---:？<为4一^7，故D正确.

x0+2x0+2

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等

来处理.

二、解答题

2.（2024新高考I卷J9）设相为正整数，数列4，出，…，%,“+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项为

和％[</）后剩余的4帆项可被平均分为加组,且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列％,外,…,是

（，,/）-可分数列.

⑴写出所有的（口），14i</46,使数列4"，…，4是化））-可分数列;

⑵当机23时，证明：数列％,出,..”%,“+2是（2,13）-可分数列；

⑶从1,2,...,4%+2中一次任取两个数1和4</）,记数列0“2，-%1+2是（盯）-可分数列的概率为£"，证明：

O

【答案】(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据«,力-可分数列的定义即可；

(2)根据«,/)-可分数列的定义即可验证结论；

(3)证明使得原数列是«,/)-可分数列的(仃)至少有(加+1)2-%个，再使用概率的定义.

【详解】(D首先，我们设数列外，〃2,…，44加+2的公差为d,则dwO.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4=%刍+1亿=1,2,…,4m+2),

得到新数列4=左(左=1,2,…,4加+2),然后对4，&,…,42进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设4=上仅=1,2,...,4〃?+2),此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从L2,3,4,5,6中取出两个数i和/«</),使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的(V)就是(1,2),(1,6),(5,6).

(2)由于从数列L2,...,4相+2中取出2和13后，剩余的4机个数可以分为以下两个部分，共机组，使得每组

成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组;

②(15,16,17,18},{19,20,21,22}{4m-l,4m,4m+l,4m+2},共相_3组.

(如果m-3=0,则忽略②)

故数列1,2,…,4%+2是(2,13)-可分数列.

(3)定义集合A={4上+1%=0,1,2,…，相}={1,5,9,13,…,4加+1},

B={4左+2%=0,1,2”..,，〃}=(2,6,10,14,...,4/M+2).

下面证明，对JV4m+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2...,4加+2一定是(力⑺-可分数列:

命题1:ieA,jeB或A；

命题2：j—i^3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果，eAJcB,且/-23.

此时设，=的+1,J=4&+2,e{0,l,2,...,研.

贝!I由•可知4勺+1<4七+2,即&-勺>-；,故h*.

此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出，=4左+1和/=4七+2后，

剩余的4山个数可以分为以下三个部分，共机组，使得每组成等差数列：

①（1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{秋—3,秋一2,4^,-1,4^},共8组；

②{4左+2,4kl+3,他+4,4Al+5},{做+6,4匕+7,的+8,4%+9},…,{4七—2,4kl-1,4玲,4履+1）,共七一匕组；

③{4左2+3,4左2+4,%+5,%+6},{4左2+7,4左2+8,%+9,4k2+10）,...,{4m-l,4??i,4m+l,4m+2},共m-履组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

故此时数列1,2,…,4帆+2是可分数列.

第二种情况：如果且

此时设，=缺+2,j=4k2+l,《，用e{0,1,2,.,明.

则由力〈，可知4勺+2<4%+1,即玲一8>；,故心〉人.

由于J-23,故（4左2+1）-（4勺+2）W3,从而心一发尸1,这就意味着心一勺22.

此时，由于从数列1,2,…,4机+2中取出i=4勺+2和j=4e+1后，剩余的4机个数可以分为以下四个部分，

共加组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},{曲一3,4勺一2,4匕一1,他},共6组；

{4匕+1,3尢+匕+1,2匕+2左2+1,匕+3匕+1},{3匕+匕+2,2尢+2左2+2,勺+3左2+2,4匕+2},^^2组;

③全体{4勺+p,3Al+左2+P，2Al+2k2+p,勺+3&+p},其中。=3,4,—匕，共发尢―2组；

④{4幺+3,4匕+4,4公+5,4左2+6},{4左2+7,4匕+8,4幺+9,4^2+101,...,[4m-1,4m,4m+1,4m+2},共七组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k-4-2个行，4个列的数表

以后，4个列分别是下面这些数：

[4匕+3,4匕+4,…,3K+左2},{3匕+&+3,3匕+匕+4,…,2匕+2匕},{2匕+2b+3,2匕+2k?+3,…，匕+3七},

{匕+3匕+3,々+3匕+4,…,4匕}.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{4匕+1,4匕+2,..”4&+2}中除开五个集合

{4《+1,+2},{3勺+匕+1,3匕+匕+2},{2匕+2k+1,2kl+2k+2},{匕+3抬+1,勺+3匕+2},

{4为+1,4k2+2}中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4%+2和4右+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列12…,4m+2是亿力-可分数列.

至此，我们证明了:对1<i</V4m+2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,…,4%+2一定是（幻）-

可分数列.

然后我们来考虑这样的（V）的个数.

首先，由于Ac3=0,A和B各有根+1个元素，故满足命题1的亿））总共有（加+丁个；

而如果j-i=3,假设则可设i=4《+l,j=4k2+2,代入得（%+2）-（4匕+1）=3.

但这导致矛盾，所以

设i=4勺+2,j=4k2+l,左，&e{0」,2,…，叫，则（4内+1）-（4匕+2）=3,即&-勺=1.

所以可能的（3修）恰好就是（。，1），。，2）,…，（m-1,加），对应的（仃）分别是（2,5）,（6,9）,...,（42,4〃任1）,总

共加个.

所以这（加+1『个满足命题1的（V）中，不满足命题2的恰好有加个.

这就得到同时满足命题1和命题2的（V）的个数为（“7+1）2-〃.

当我们从1,2,…,4加+2中一次任取两个数i和<力时，总的选取方式的个数等于

（4/n+2X4m+l）=（2m+i）（4m+i）j

而根据之前的结论，使得数列生,6f2,..-,^4m+2是1,/）-可分数列的亿j）至少有（"+1）2-加个.

所以数列4,“2,…，〃4租+2是（/,7-）-可分数列的概率匕一定满足

（m+l）2-mm2+m+l疗+相+；（加+j1.

m（2m+l）（4m+l）（2m+l）（4m+l）（2m+lj（4m+2）2（2m+l）（2m+l）8

这就证明了结论.

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决

问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

名校模拟探源

一、解答题

1.(2024・北京•三模)给定正整数2,设数列…9是12...,〃的一个排列，对，${1,2,为表示

以％为首项的递增子列的最大长度，%表示以巴为首项的递减子列的最大长度.

(1)若〃=4,=1,g=4,。3=2,4=3,求花和为；

22

(2)求证：VZe{l,2,...,n-l},(x.-y.)+(x.+1-yM)w0；

⑶求£上-%|的最小信

i=i

【答案】(1)再=3,＞2=2

⑵证明见解析

⑶当"为偶数时，£上,-叩的最小值是g；当”为奇数时，£人-叩的最小值是一.

z=i2/=12

【分析】(1)直接根据定义求解；

(2)分情况讨论证明玉-ywx1+1-X+1,故可推知玉-%和x,+1-y;+1不能同时为零，进而得到结论；

(3)对"的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.

【详解】(1)以外为首项的最长递增子列是，以出为首项的最长递减子列是生，。3和。2,%.

所以%=3,必=2.

(2)对-1},由于是1,2,...,〃的一个排列，故。产4rf.

若《＜0用,则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个4,

得到一个以为首项的更长的递增子列，所以%；

而每个以为首项的递减子列都不包含4+1,且＜4+1,

故可将替换为4+1,得到一个长度相同的递减子列，所以y

这意味着玉一%＞尤阳-%+i;

若4＞一，同理有%＞%+i，%V%，故%

总之有士-%Rx;+1-y;+1,从而％-y和xM-yM不能同时为零，

故(无厂%)2+(%-%+1)、0.

(3)根据小问2的证明过程知%-%和二+「y+i不能同时为零,故|%-%|+卜+1—%|正1.

情况一：当〃为偶数时，设〃=2人则一方面有

£k，一y,I=£(ZT-|+1"%I)N£1=&=g；

i=li=li=l'

[d^,；,=左一i+1

另一方面，考虑这样一个数列与外，…，〃,：,.,i=12,..,k.

[a2i=k+i

\xrf.,=k—i+2fy；,=k—i+1

则对，2,…水，有''।，29'I」.

[X2.=K-l+l[>2i=4一2+1

故此时f卜-yI=ZL-i-=»=k=g.

i=\i=lz=l/

结合以上两方面，知£k-y,|的最小值是g.

/=i2

情况二：当”为奇数时，设“=2M-1,则一方面有

nn—\m—\m—\几_]

£1%_x-l-2上一W=£(1%-%•」+1%之=加一1=~r~；

i=li=li=li=l乙

ax=m

另一方面，考虑这样一个数列＜a2i=m+i,z=1,1.

a2M=m-i

xx=myi=m

则对，=1,2,...,根一1,有隹/二加一，，<=加一1+1.

xmi

2i+i=~

_n.一!.一!„_1

故此时|£E-%」=i?=7〃T=-r--

z=li=li=l'

结合以上两方面，知tw-卬的最小值是一.

z=i2

综上，当〃为偶数时，tk-刃的最小值是j当”为奇数时，之上7』的最小值是一.

z=i2f=i2

【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某

个数M,再说明该表达式在某种情况下能取到M,就得到了最小（或最大）值是〃，这便是“求最小（或

最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到/的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种

手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出/的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎

逻辑，“如何想到M的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明

结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为

某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原

始定义和本质.

2.（2024・河南.三模）已知数列｛%｝的前〃项和为S",若存在常数〃彳＞0）,使得彳%2S用对任意〃cN*都

成立，则称数列｛%｝具有性质P（㈤.

⑴若数列｛%｝为等差数列，且邑=-9应=-25,求证：数列｛%｝具有性质P⑶;

(2)设数列｛%｝的各项均为正数，且｛4｝具有性质P(㈤.

①若数列｛。“｝是公比为4的等比数列，且彳=4,求9的值；

②求2的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)①4=2；②。的最小值为4.

【分析】(1)根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前"项和，再利用定义判断即得.

-1_n+1

(2)①根据给定条件，可得4a再按g=l,qwl探讨，当gwl时，又按

i-q

0<q<l,q=2,q>l且/2讨论得解；②由定义脑角NS.，消去结合基本不等式得言出，再

oc

迭代得(1)1>寸，借助正项数列建立不等式求解即可.

【详解】(D设等差数列｛%｝的公差为d,由$3=-9,&=-25,得3%+31=一9,5%+101=-25,

解得q=-1,d=-2,则4=T+("-1)(_2)=-2n+1,Sn=+=一/,

22

于是3。n-SN=3(—2n+1)+(n+1)=(n—2)>0,即3atl>Sn+l,

所以数列｛4｝具有性质次3).

(2)①由数列｛q｝具有性质尸(4),得4%2s用，又等比数列｛%｝的公比为q,

若4=1,贝！]4qN(“+l)q,解得“43,与〃为任意正整数相矛盾；

1_n+11_n+1

当gwl时，4%/-匕。「二一，而%>0,整理得的所匕?一，

1-q1-q

若0<夕<1,贝!「二，解得“<l+l°g一^,与"为任意正整数相矛盾；

(q-2)(q-2)

若“1,则—产VI,当4=2时,L(4-2>VI恒成立,满足题意；

当4>1且或2时，qn-l<—i—^,解得"<l+logg厂',与〃为任意正整数相矛盾；

(q-2)(q-2)

所以4=2.

②由得2a“+[NS,+2，即2(S“+]—S“)NS”+2,

s丸s

因此猛途碍+SQ2g二，即丁!十，

品+1-册

2CQc

由数列｛%｝各项均为正数，得S“＜S”从而1＜（1产/，即（1严＞苦，

若0＜彳＜4,则〃＜l+log/亘，与”为任意正整数相矛盾，

4S2

因此当於4时，勺F1"T吟恒成立，符合题意，

所以彳的最小值为4.

【点睛】易错点睛：等比数列｛%｝公比q不确定，其前n项和S“直接用公式3=”二心处理问题，漏掉

1-9

对4的讨论.

3.（2024•河北保定.三模）在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数

整除的数叫做素数，对非零整数。和整数6,若存在整数上使得）=如，则称a整除6.已知0,q为不同的两

个素数，数列他“｝是公差为p的等差整数数列，"为q除%所得的余数，S,为数列｛2｝的前"项和.

⑴若4=1,0=3,q=2,求邑024；

（2）若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列｛2｝的前q项中任意两

项均不相同；

（3）证明：5防+1为完全平方数.

【答案】（1）1012；

⑵证明见解析；

（3）证明见解析.

【分析】（D求出数列｛4｝的通项，进而求出伯“｝的通项公式，再借助分组求和即得.

（2）利用反证法，结合整除及素数的性质导出矛盾即可得证.

（3）利用（2）的信息，求出再利用”的定义可得勿即可求和得证.

【详解】（1）依题意，=3n-2,当n为奇数时，。“为奇数，当n为偶数时，凡为偶数，

[1,”为奇数

而4=2,因此a=「为偶数，

所以％24=1012x1+1012x0=1012.

（2）假设存在々=%,，,je｛l,2,,q｝,i^j,

依题意，%=kq+b”aj=lq+bj,k,leZ,

则q-勺=«-/）。=（上一]）4,因此q整除（i-J）。，

因为p,q为不同的素数，故q不整除P，

又因为Owl'/区4-l＜q,故q不整除（，-/）,

与q整除(i-力。矛盾，故假设错误，

所以数列{"}的前q项中任意两项均不相同.

(3)由(2)得或e{0,l,2,,q-l),且数列电}的前q项中任意两项均不相同，

所以邑=0+1+2++4-1=若1，

设见=幻4+2(geZ),则4+g=(绘+。)4+2，故2+<,=〃，

所以5防+1=8与+1=4式q—1)+1=(2q—I)?为完全平方数.

【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推

理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.所谓矛盾主要指：①与已知条件

矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.

4.(2024海南•二模)设数列A：%,02M3,…,4(〃23,〃eN*),如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就

得到一个有序数组「3也也，…,2).若有序数组「:他也也，…，仅)满足

|&一可<|&一%|(ie{l,2,3,，〃-2})恒成立,则称「:伯也也，…也)为〃阶减距数组;若有序数组

「:(4也也，…也)满足|4-可引d-%|(矣{1,2,3,・.・,〃-2})恒成立,则称「：3也,伪，…也)为〃阶非减距数

组.

(1)已知数列A：-1,3,2,-3,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；

⑵设「：(伪也也，…，2)是数列A：l,3,5,...,2"-1(心4,〃wN*)的一个有序数组，若r：(〃也…也)为〃阶非

减距数组，且「：(伪也,…,%)为n-1阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组F；

⑶已知等比数列Aq,%，/，…，。“(心3)的公比为q,证明：当。>。时，「(%,外,%,…吗)为〃阶非减距数

组.

【答案】⑴口：(-1,2,3,-3),r2:(2,-1,-3,3),r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3-1).

(2)(2w-1,2/1-3,2n-5,,5,3,l),(2/z-l,2n-3,2n-5,--,5,1,3)

(1,3,5,,2〃-5,23,2〃-1,),(1,3,5,…,2〃-5,21,277-3,).

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据题中〃阶减距数组的定义，写出4阶减距数组，只需要保证有序数组「他也也也)中，

®-可<®-/和向-&<®-勾恒成立即可，分别令”为数列A中的每一个值即可得出结果；

(2)根据题干中”阶非减距数组的定义，只需要保证有序数组「3,也,4，…，々)中，满足

\bn-b\>\b,-bM\(iG{1,2,3,，〃—2})和有序数组「:倡也也，…，%)中，满足

—伪以%—G{1,2,3,…，及-3})恒成立即可.

(3)利用分析法进行逐步反向递推，最后得证.

【详解】(1)4阶减距数组有：1:(-!,2,3,-3),r2:(2,-l,-3,3),r3:(3,-l,-3,2),乙:(-3,2,3,-1).

(2)满足条件的有序数组「：

(2n-l,2w-3,2n-5,,5,3,l),(2n-l,2n-3,2n-5,,5,1,3)

(1,3,5,,2n-5,2/z-3,2n-l,),(l,3,5,■■,2n-5,2n-l,2n-3,).

(3)证明：设要证)为”阶非减距数组，

需证明1%-⑷可%-力e(1,2,3,一2｝)恒成立，

即证,

需证丽/产-1-小即|尸-啊尸-4

需证(六一1)&(叶_/，

即证(qf(2日-4一1户0.

当。时，因为〃-贝!jq-1W0,

ninini

2q--q-l=q--l+q--q<0f

所以(4一1乂2卡一4一1户0；

当">1时，因为〃一，22,则4一1>0,

2q〃T_q_]=q〃T_]+q"T_q>0,

所以(4-1乂2产-“-1)>0；

综上：当4>0时，「：(《,%,名,..•,%)为n阶非减距数组.

5.(2024•江西九江•三模)已知数列｛%｝共有加(mN2)项，且%eZ,若满足院包一%|<1。4依加-1),

则称｛%｝为“约束数歹.记“约束数列”｛%｝的所有项的和为S“.

⑴当机=5时，写出所有满足q=%=1，$5=6的“约束数列”；

(2)当机=2000吗=25时，设。:的颂=2024;q:“约束数歹！]”｛外｝为等差数歹U.请判断"是q的什么条件，并说

明理由；

⑶当q==°[1W%W与左eN+4寸，求|S,J的最大值.

【答案】⑴①1/，2,1」；(2)1,1,1,2,1；③L2,1,1,1

(2)。是q的充分不必要条件，理由见解析

【分析】(D由“约束数列”的定义，可得所求.

(2)由“约束数列”和充分必要条件的定义，结合等差数列的知识，可得结论.

(3)由q=l,阳=0144崇左6$｝要使|S/最大，推出《20,讨论等差数列的公差，用求和公式可

解.

【详解】(1)当机=5时，所有满足6=%=1氏=6的“约束数列”有：

①1,1,2,1,1；(2)1,1,1,2,1；(3)1,2,1,1,1.

(2)P是4的充分不必要条件.理由：

①当为ooo=2024时，向用=2,,1999),.•.%+「%W1.

贝%000=(%000—4999)+(4999—%998)+(q998—"1997)+,+(%—%)+々］<1999+%=2024,

当且仅当的顿-%999=%999—%998=%998—4997==一"1二1时f^2000=2024成区,

“约束数列，，｛为｝是公差为1的等差数列

②当“约束数列"R｝是等差数列时，由|见+「⑷V1,

得〃〃+1-4=1，或。〃+1一%=。，或%-4=T，

若。〃+1-。〃=。，则｛〃〃｝的公差为0,，a2000=%=25;

若an+1-an=-1,则｛an｝的公差为T；.a2000=q-1999=-1974；

若an+1-an=l,则｛4｝的公差为I,.'.峻=4+1999=2024,

即当“约束数列”｛4｝是等差数列时，a2000=25或—1974或2024.

由①②，得2是4的充分不必要条件.

(3)%=1,%=。，,要使得闻取最大值，则3.2。,

当且仅当同时满足以下三个条件时，|与|取最大值.

①当2W〃V左时，an-an_x=1；②当左+l〈wV2左时，a„-an_x=-1；

③当2Z+1V〃W7"时，an-anA=1.

.」S,"L=[*x2—O+Jox®—+

女2(加一2%)(加一2左+1)

2

【点睛】关键点睛：本题关键在于对新定义的理解，抓住4eZ和®+|-％区1进行分类讨论可求解第二问；

第三问关键在于根据4=1>。分析|Sj取得最大值的条件，然后分段求和可得..

6.(2024•山东青岛•三模)在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离

22

之和相等，则称,为多边形的一条“等线”，已知0为坐标原点，双曲线当=1(°>0,6>0)的左、右焦

ab

点分别为耳耳,E的离心率为2,点P为E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点尸，且与E的渐近线交

于A,8两点，当轴时，直线y=i为△尸招工的等线.

⑴求E的方程；

⑵若y="x是四边形AFtBF2的等线，求四边形AFtBF2的面积;

（3）设OG=：OP,点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线〃为△AKK的等线

2

【答案】⑴无2上=1

3

⑵12

（3）证明见解析

【分析】（D利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.

（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.

（3）利用给定条件和新定义证明即可.

【详解】（D由题意知+耳（-。,0）,乙（。,0）,显然点尸在直线＞=1的上方,

因为直线，=1为耳心的等线，所以£-1=2,6=£=21=02+〃，

aa

_2

解得。=1,b=0所以E的方程为炉-（=1

2

（2）设切线加：了一%=左（彳-%），代入/-1_=1得：

（3_k~）尤？+2k（kx。—%）x—（XQ+y；_2kx0+3）=0,

22

故［2无（fcr。—%）］+4（3—左~）（左~%0+y0—2kx0y0+3）=0,

该式可以看作关于k的一元二次方程（尤。2-1）公_2%%左+%2+3=0,

k=尤0%X。%_3一

所以一年-1］1+2€|一J%，即m方程为％＞于=1（*）

当加的斜率不存在时，也成立

渐近线方程为、=±八，不妨设A在8上方，

1111

联立得故,…---------1---------

YY|为

。一忑。耳

所以尸是线段A3的中点，因为招，8到过。的直线距离相等,

则过。点的等线必定满足:AB到该等线距离相等，

且分居两侧，所以该等线必过点尸，即。尸的方程为y=

由，丁,解得故P，346.

x=1y=A/6

I3i

所以以=尾=£=^^='3，

。一忑

所以%=一若/=一;^=瓦;="一3，

。国^

所以|力一%|=6,所以％8=（闺%一词=2区一词=12

（3）

设G（x,y）,由OG=goP,所以x°=3x,%=3y,

故曲线「的方程为9X2_3/=«>0）

由（*）知切线为〃，也为半尤-萼=1,即修了一管=；,即3无/一%y-1=。

易知A与F?在〃的右侧,£在"的左侧，分别记耳,耳,A到〃的距离为44,4,

_1%=6--

由（2）知4=一

所以

由不

6%-126x+1

因为4+4=0=4,

所以直线〃为△从耳工的等线.

【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到

d?+4=4,证明即可.

7.(2024•浙江•三模)在平面直角坐标系中，如果将函数y=/(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转e(0<a?1)

后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/(x)为“a旋转函数”.

(D判断函数丁=底是否为“与旋转函数”，并说明理由；

⑵已知函数"X)=山(2x+1)(x>0)是“a旋转函数，，，求tana的最大值；

丫27T

(3)若函数g(x)=m(%-l)e龙-xln%了是旋转函数”，求机的取值范围.

【答案】(1)不是，理由见解析

(3)m>e

【分析】(1)根据函数的定义直接判断即可.

(2)将已知条件转化为函数与直线丫=履+〃最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，

分离b,构造新函数，转化为新函数在(0,+8)上单调，进而求解.

(3)同问题(2)根据已知条件构造新函数，转化为新函数在(0,+6)上单调，求导，分离参数，转化为恒

成立问题求最值即可.

【详解】(D函数y=A不是旋转函数”，理由如下：

O

y=氐逆时针旋转m后与y轴重合，

当x=o时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，

因此函数y=后不是旋转函数”•

0

(2)由题意可得

函数〃x)=ln(2x+l)(x>0)与函数片区+》最多有1个交点，

且左=tang-a1,

所以ln(2x+l)=Ax+Z?(x>0)最多有一个根，

即In(2x+l)-kx^b(x>0)最多有一个根，

因此函数y=ln(2x+l)-辰(x>0)与函数y=bgeR)最多有1个交点，

即函数y=ln(2x+l)—辰在(0,+e)上单调，

29

因为、.云石一右且无＞°,天石«。,2),

22

所以一心°,国，'所以上2,

71tanaK；,即tan。的最大值为

即tan

(3)由题意可得函数8(力=根(%-1度-1111-万与函数y=%+)最多有1个交点,

/工2

即m(x-l)ex—xlnx—^-=x+b=>m(x-l)ex-xlnx---x=b,

即函数y=m(x-l)e、-xlnx-万-冗与函数y=匕最多有1个交点,

丫2

即函数y=m(x-l)e“-xlnx-5-x在(0,+a)上单调，

y'=twcex-Inx-x-2,当x.0时，y'—>+co,

Inx+x+2

所以y'NOn机＞

xex

令姒x)二叱手，则夕，(x)=gl)(；；l),

因为t=-Inx-x-1在(0,+时上单调减,且(J＞。，，⑴＜0,

所以存在使/5)=0,

艮［IIn/+/=-1nIn(%•e与)=-1=＞%•e演=—,

所以。(可在(0,%)单调递增，(%收)单调递减，

所以(Pz(x)=。&)=山哈：-2=3=e,

即加2e.

【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：

函数y=/(x)-g(x)的零点个数。方程/(x)-g(x)=O的根的个数O函数尸/(X)与y=g(x)图象的交点

的个数；

另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若

V无€(0,6),mZf(x)恒成立，只需"22/(x)max,Vxw(a,6),〃z4/(x)恒成立，只需机4了(尤焉.

8.(2024・上海.三模)设f＞0,函数＞=/(尤)的定义域为R.若对满足三-三＞，的任意再、%，均有

f(x2)-f(Xl)＞t,则称函数y=f(x)具有“P⑺性质”.

(1)在下述条件下，分别判断函数y=/(x)是否具有尸(2)性质，并说明理由；

3

①/(无)=]无；②/(x)=10sin2x；

⑵已知，食)=63,且函数丁=/(尤)具有尸⑴性质，求实数。的取值范围；

⑶证明：“函数V=/(尤)-尤为增函数”是“对任意/＞0,函数＞=/(%)均具有尸⑺性质”的充要条件.

【答案】(1)①是，②不是，理由见解析

(2)a＞4

(3)证明见解析

【分析】(1)根据函数y=/(x)具有玖2)性质的条件判断①；举反例可判断②；

(2)原问题等价于当口＞1时，丝匚＞1恒成立，即。＞二恒成立，得。24；

4m

(3)利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性.

【详解】(1)①是，对任意尤2-再＞2,/(%)-/&)=](无2-&)＞3＞2,符合定义；

37r7i

②不是，令无2=拳网造，斗—玉=兀＞2,/(x2)—/(xj=10sin3^—lOsin^=0＜2,

故不符合题意.

(2)显然〃＞0,设入2一%=加＞。，

323

贝!|f(x2)-/(M)=＜xx2-aXy=a(3iwc^+3m+m),

当玉=-g时，取/(尤2)-AX)最小值丝匚

24

原问题等价于当勿＞1时，如＞1恒成立，即二恒成立，得。24；

4m

(3)证明：充分性：

若函数y=/(x)-x为增函数，则对任意马＞玉均有/(%)-马之〃玉)-玉，

即/。2)-/(%)2工2-王，因此，对任意f＞0,若三-*1＞乙

则—(％)＞，，函数y=/a)具有尸⑺性质,充分性得证；

必要性：

若对任意t＞o,函数y=/(x)均具有尸⑺性质，

假设函数y=f(x)-x不是增函数，则存在%＞玉，满足了(尤2)-9＜，(占)-占，

即/。2)-/(%)＜马-玉，取/+"五,

则显然于(％)-f(xl)＜t0＜x2-xl,

即对于为，存在3-占〉/。，但是/(%)-/(占)＜3

与“对任意t＞0,函数y=/(x)均具有P⑺性质”矛盾，因此假设不成立，

即函数y=f(x)-x为增函数，必要性得证.

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新

的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的

迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新

定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

9.(2024•新疆喀什•三模)已知定义域为R的函数满足：对于任意的xeR,都有

〃尤+2兀)=〃力+〃2兀)，则称函数f(x)具有性质尸.

⑴判断函数g(x)=x,%(x)=sinx是否具有性质尸；(直接写出结论)

357T

⑵已知函数"x)=sin3x+°)|d<1),判断是否存在。，。，使函数具有性质尸？若

存在，求出。，。的值；若不存在，说明理由；

(3)设函数〃尤)具有性质P,且在区间［0,2可上的值域为［〃0)/(2兀)］.函数g(x)=sin(/(x)),满足

g(x+27i)=g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证："2兀)=2九

【答案】(D〃(x)=sinx具有性质产

(2)存在,a>=2,0=0

(3)证明见解析

【分析】(D利用定义直接判断即可；

(2)假设函数具有性质p,可求出e=0,进而得到④=2,再根据定义验证即可；

(3)分析可知函数“X)在［0,2句的值域为［0,m，由g(x)在区间(0,2兀)上有且仅有一个零点可知%>2时

不合题意，再求解当k=l时，与函数g(x)是以2兀为周期的周期函数矛盾，由此可得％=2,进而得证.

【详解】(1)因为解x)=x,则g(x+27t)=x+2兀，又g(2兀)=2兀，

所以g(%+2兀)=g(x)+g(2兀)，故函数g(x)=x具有性质P；

因为/z(x)=sinx,贝！］/?(尤+27r)=sin(x+27i)=sin_r,又M2;i)=sin2兀=0,

h^x)+h(2it)=sinx=h^x+lit),故〃(无)=sinx具有，性质p.

(2)若函数/⑺具有性质尸，贝!］/(0+2兀)=/(0)+/(2兀)，即/(0)=sin°=0,

因为向苦，所以9=。，所以〃x)=sin(ox)；

若/(2兀)/0,不妨设/(2兀)>0,由/(x+