高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第一册)1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系(第2课时)(练案)原卷版+解析

班级：姓名：日期：《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》(第2课时）练案1.（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，分别是平面，的法向量，则B．若，分别是平面，的法向量，则C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直2.（多选）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（

）A． B．C． D．3.（2022·福建泉州模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面4.（2022·重庆市育才中学高二期中）在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,．(1)若,均在平面内,则与的位置关系是______；(2)的最小值为______．5.已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是________．（把正确的序号都填上）①；②；③；④.6.如图，在正方体中，和相交于点O，求证：．7.如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．8.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD；9.（2022·河南周口高二期末）已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF=λAB(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCEA．12B．23C．310.（多选题）（2022·海南省海南中学高二月考）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A． B．点必在线段上C． D．平面11.如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．求证：（1）；（2）平面．12.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN垂直？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD14.如图1，在直角三角形中，，，.，分别是，的中点.现将三角形沿边折起，记折起后的点位于点的位置，且平面平面（如图2所示），点为边上的一点，且.（1）若平面，求的值；（2）是否存在，使平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.班级：姓名：日期：《1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系》(第2课时）练案1.（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，分别是平面，的法向量，则B．若，分别是平面，的法向量，则C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【答案】ACD【解析】对A，若，分别是平面，的法向量，则，故A正确B错误；对C，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C正确；对D，若两个平面垂直时，它们的法向量垂直是真命题，所以它的逆否命题“若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直”也是真命题，故D正确.故选ACD.2.（多选）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，要使，只需∥.对于A：.因为，所以、不平行.故A错误；对于B：.因为，所以∥.故B正确；对于C：.因为，所以∥.故C正确；对于D：.因为，所以、不平行.故D错误.故选BC.3.（2022·福建泉州模拟）在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】取、、的中点分别记为、、，连接、、、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面.故选A.4.（2022·重庆市育才中学高二期中）在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,．(1)若,均在平面内,则与的位置关系是______；(2)的最小值为______．【答案】平行；【解析】(1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴,如下图所示：,因为若,均在平面内,所以设,因为,,所以,解得,,,所以与的位置关系是平行；(2)由(1)可知：当时,有最小值,最小值为.5.已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是________．（把正确的序号都填上）①；②；③；④.【答案】②【解析】设①②③④中的点分别为、、、.对于①中的点，，，则；对于②中的点，，，则；对于③中的点，，，则；对于④中的点，，，则.因此，②中的点在平面内.6.如图，在正方体中，和相交于点O，求证：．【证明】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，所以，，所以，所以，即7.如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．【证明】不妨设，则，由空间向量数量积的定义可得，因为且，所以，，所以，，，又因为，，因此，平面.8.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD；【证明】∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，0，0），N（1，1，1），∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2）.设（x，y，z）是平面MND的一个法向量，可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得（0，1，1）是平面PCD的一个法向量.∵•2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD.9.（2022·河南周口高二期末）已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF=λAB(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCEA．12B．23C．3【答案】C【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA,AB,AC两两垂直，且PA//BE，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为PD=8，CE=6，所以P0,0则F4λ,0,0,DE=4,−4,2,DF=4λ,−4,0,CE=0,−4,2,EP=−4,0,2，设平面因为平面DEF⊥平面PCE，所以m·n=1+λ+22λ−2=5λ−3=0，解得10.（多选题）（2022·海南省海南中学高二月考）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A． B．点必在线段上C． D．平面【答案】BD【解析】对于，在平面上，平面平面，到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，，错误；对于，以为坐标原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系：则，，，，，，，，，，，即，，，即三点共线，必在线段上，正确；对于，，，，与不垂直，错误；对于，，，，，，设平面的法向量，，令，则，，，，即，平面，正确.故选.11.如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．求证：（1）；（2）平面．【证明】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，所以．（2）由（1），得，，．设向量是平面的法向量，则，即，取，则，所以，所以，所以平面．12.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN垂直？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解析】以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)．eq\o(BC1,\s\up15(→))＝(－2,0,2)，eq\o(FP,\s\up15(→))＝(－1,0，λ)，eq\o(FE,\s\up15(→))＝(1,1,0)．(1)证明：当λ＝1时，eq\o(FP,\s\up15(→))＝(－1，0,1)，因为eq\o(BC1,\s\up15(→))＝(－2,0,2)，所以eq\o(BC1,\s\up15(→))＝2eq\o(FP,\s\up15(→))，即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)存在．设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(FE,\s\up15(→))·n＝0，,\o(FP,\s\up15(→))·n＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－x＋λz＝0.))于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN垂直，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±eq\f(\r(2),2).故存在λ＝1±eq\f(\r(2),2)，使面EFPQ与面PQMN垂直.13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD【答案】D【解析】以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D0,1,则A1B=(1,0,1),A1D=0设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=x+z=0,n·A1D=y+12z=0.取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且B1Q=λB则1-λ但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.14.如图1，在直角三角形中，，，.，分别是，的中点.现将三角形沿边折起，记折起后的点位于点的位置，且平面平面（如图2所示）