2025高考数学一轮复习：正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.在△4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=誓，则B的大小

ab

为().

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在△ABC中，若4=30。，AB=2,且AaBC的面积为后，则△ABC外接圆的

半径为().

A.这B.手C.2D.4

3

3.(改编)在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若2==码/二

3cosC

2sin力sinB,且b=6,贝!jc=().

A.2B.3C.4D.6

4.在aABC中，角48,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,

则的值为().

bsinB

A-1B-TC.2D.警

5.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若也==(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,则△ABC的形状为().

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

6.(改编)已知AZBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=

a(cosC+《sinC),a—2,c=誓，则。=().

AA.—3TT一

4B.

7.(改编)设在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a=省力=

=三的AZBC不唯一，则实数m的取值范围为().

6

A.弓,V3)B.(O,V3)C.©净D.(1,1)

8.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积

术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为

小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示

如下：S&ABC=J'a2c2_,2+：功2)2],其中附9是△.C的内角2,B,C的对边.

已知在△ABC中，-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值

cccosC

为（）.

A/B,速C.始D.史

2448

综合提升练

9.（多选题）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB（l+

2cosc）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是（）.

A.a=2bB.b=2aC.2=2BD.C=90°

10.（多选题）在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的

是（）.

A.若£=—1=£,则AZBC为等边三角形

cosAcosBcosC

B.若（a+b+c）（a+b—c）—3ab,则C=60°

C.若a=7,b=4®c=V13,则最小内角的度数为30。

D.若a=5,4=60。，b=4,则此三角形有两解

11.在AZBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2块—3c2-ac=0,

sin(4+B)=2sin2,则cosC—.

12.(双空题)在AaBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

b

①的值为

cosA

②若a>c,则匕的取值范围是

应用情境练

13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载

了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，

大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田，

三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为

平方千米.

14.在△4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

（T）a2—c2—be；@b+bcosA—V3asinB；③sinA—V3sinC.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

创新拓展练

15.在a中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c—1=0,a2=|bc,

b>c9贝壮=

c

16.△ABC的内角a,B,C的对边分别为a,b,c.已知(b—c)sinB=bsinQl—C).

(i)求角a；

(2)若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S,求立片的取值范围.

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=?，则B的大小

ab

为（B）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

［解析］由题意知，当cosB

sinB

・•.sinB=cosB,B=45°.故选B.

2.在△ABC中，若4=30。，AB=2,且AaBC的面积为后，则△ABC外接圆的

半径为（C）.

A,也B.手C.2D.4

3

［解析］由题意知，S-BC=1^45--sin71=|x2x^AC=W,解得ZC=2V3,

由余弦定理得Be?=44-12-2X2X273X^=4,故BC=2.

设△ABC外接圆的半径为R,

由正弦定理得2R=2=4,故R=2.故选C.

sinA

3.（改编）在AaBC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,若2=二照竺

3cosC

2sin?lsin5,且力=6,贝！Jc=（C）.

A.2B.3C.4D.6

［解析］由余弦定理得小=b2+c2—2bcx-=b2+c2—be,又3sm0=

2cosC

nr2n2，h2_r2

・,・由正弦定理可得——=-------，即小+b2-2即力+c2—

2sin/sin2ab2ab4c=0,2

be+b2—4c2=0.

又b=6,・•.c2+2c—24=0,解得c=4（负值舍去）.故选C.

4.在aABC中，角力，8,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,

的值为（）.

则bsinBD

A.-B.—C.2D.—

223

2222

［解析］由炉=ac,a+be=c+ac9得炉+c—a=be,

・•・cosA=匕贝【JsinA=—.

2bc22

^b2=ac得sir^B=sin/sinC,=—^—

9sinzBsmA9

」一=sin。==迪故选D.

bsinBsinBsinBsin43

5.在△ABC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,若也=2,(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,则△力BC的形状为(C).

B.等腰非等边三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

［解析］•••嗯a

sinBc

又(b+c+a)(6+c—a)=3bc,

77j.匕2+。2一be1

・・・・

•=be,•cosA=----2--b-c---=——2bc=2

・・・/e(o,7T),.•・力=或••.△/BC是等边三角形.故选c.

6.(改编)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=

a(cosC+gsinC),a—2,c=誓，则。=(D).

A.—B.E或到C.-D.-

44464

［解析『・,b=a(cosC+日sinC),・,・由正弦定理可得sinB=sin力cosC+

今sin/sinC.又sinB=sinQ4+C)=sinAcosC+cosAsinC,・•・cos4sinC=

当sin力sinC.由sinCW0,可得sinA=V3cosA,:.tanA=V3,AX=^.

va=2,c=乎，，由正弦定理可得sinC==中，，由cV可得C=%

故选D.

7.(改编)设在△力BC中，角力，8,C所对的边分别为a,b,c,若满足Q=百乃=

=工的AZBC不唯一，则实数m的取值范围为（A）.

6

A.(y,V3)B.(0,V3)C.D(打)

[解析]由正弦定理^=卷,即烹=会得”=鲁・

2

因为△ABC不唯一，即△ABC有两解，所以E<2<以且4#二即乙<sinA<1,

6622

所以l<2sinZ<2,所以工<」一<1,即立故选A.

22smA2

8.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积

术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为

小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示

如下：S-BC=4[a2c2_,2+：#）2],其中a,b,c是AZBC的内角a,B,C的对边.

已知在△ABC中，-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值

cccosC

为(B).

A/B.速C.汹D.四

2448

［解析六:=cosB+V3cosC,a=c(cosB+V3cosC),

・•・sin力=sinC(cosB+V3cosC),

即sinCeosB+V3sinCeosC=sin(B+C)=sinSeosC+cosBsinC,

即V^sinCeosC=sinBcosC,又CE(0,11),且。W

・•・sinB=V3sinC,:・b=V3c.

V3aa-y［3cosA^.八

v——=----------,・•・V3(acosC+ccosA)=ac,

ccosC

则同安+修)=卬即ac—y/3b,a—3,

•••S="2一(W^

=［«一9)2+竽

当C=3时，Smax=%.故选B.

4

综合提升练

9.(多选题)在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB(l+

2cosc)=2sinAcosC+cosZsinC,则下列结论可能成立的是(AD).

A.a=2匕B.匕=2aC.A=2BD.C=90°

［解析］因为sinB(1+2cosC)—2sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinZcosC+cosAsinC—2sinBcosC+sin(4+C)=2sinBcosC+

sinAcosC+cosAsinC,

所以sinZcosC—2sinBcosC=0,即cosC(sinA-2sinB)—0,

所以cosC=0或sinZ=2sinB.因为0°<C<180°,所以C=90°或a=25.故

选AD.

10.(多选题)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的

是(ABC).

A.若高=—、=£,则△ABC为等边三角形

cosAcosBcosC

B.若(a+b+c)(a+b—c)=3ab,则C=60°

C.若。=7,=4V3,C=713,则最小内角的度数为30°

D.若a=5,2=60。，5=4,则此三角形有两解

b_csinAsinB

［解析］对于A，若总=,则把上，即tanA=tanB=

cosBcosCcosAcosBcosC

tanC,即4=B=C,即△力BC是等边三角形，故A正确.

对于B,由(a+b+c)(a+h-c)=3ab,可得彦+b2-c2=ab,

2I_62i

则cosC===因为。<C<180。，所以C=60°,故B正确.

2ab2

对于C,因为a=7,b=4A/3,C=V13,所以c<b<a,所以C<B<4所以

cosC=土庐-c?=7?+(4阿-卢j=四，因为0。<C<180°,所以C=30°,故

2ab2X7X4V32

c正确.

对于D,因为a=5,力=60°,b=4,——一，所以卷=」一，解得sinB=—<

sinAsinB宜sinB5

2

弓.因为b<a,所以所以三角形只有一解，故D错误.故选ABC.

11.在AaBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2炉—3c?—ac=0,

sin(i4+B)=2sin2,贝UcosC—手.

［解析］:sin(71+B)=2sin4:.sinC=2sin4,

・・・由正弦定理得c=2a.

v2b2—3c2—ac=0,・•・b2=7a2,b=夕a,

〃+匕2_。2a2+7a2-4a2_2夕

则cosC=

2ab2a♦VYa7

12.（双空题）在△力BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

①y的值为6；

cosA一

［解析］由sin3=sin2A,得sinB=2sinAcosA,

由正弦定理得b=2acosA,即「一=2a=6.

cosA

②若a>c,则b的取值范围是(3,3或).

［解析］由余弦定理，a2=b2+c2—2bccosA,

结合①得cos力=

6

所以3?=b2+c2—卓，

所以27=(3-C)Z)2+3C2,

即炉=如-3c=9+3c.

3-c

因为a>c,所以0Vc<3,9<9+3c<18,

所以9<b2<18,即3<b<3V2.

应用情境练

13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载

了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，

大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田，

三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为

2L平方千米.

［解析］设在中，a=13里，b=14里，c=15里，

132+142-152140_5

所以cosC=所以sinC=青故△4BC的面积为|x

2X13X142X13X14-13'

13x14x—x5002x-^―=21（平方千米）.

1310002

14.在AZBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①a2—。2=be；（2）b+bcosA—V3asinB；③sinA—V3sinC.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

［解析］选①②作条件，③为结论：

由②得sinB+sinBcosA—V3sinZsinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即KsinA-cosA—1,

根据辅助角公式可得sin0<2<兀，

所以4=则M=/)2+c2-2bccosA=b2+c2-bc

39

由①知。2=。2+A，代入可得b=2c,所以a=V^c,

由正弦定理得sinA=V3sinC.

选①③作条件，②为结论：

由③得Q=V3c,又由①知“2=C2+be,

所以3c2=c2+be,则力=2c,

所以cosA=0<A<7i,所以力=

2bc23

由③sinA=V3sinC,

得sinC=¥^=A又0<C<TT,且。<力,所以。=匕所以8=匕

V3262

所以b+bcosA=2c+c=3c=y/3xV3c=V3a=V3asinB.

选②③作条件，①为结论：

由②得sinB+sinBcosA=V3sin力sinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即gsinA—cosA=1,

根据辅助角公式可得sin(a—印=$又o<a<兀，所以a=最

由③知sin4=V3sinC,

所以sin。=詈=$又0<CVTT且C<力,所以C=所以B=p

所以sin力=V3sinC,sinB=2sinC,则a=V3c,b=2c,

即彦—c2=be.

创新拓展练

15.在aABC中，角43,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c--=0,a2=-be,

b>c9则2=2.

c-

［解析］由QcosB~c0及正弦定理，可得sin力cosB—sinC—三四=0.因为

sinC=sinQ4+B)=sinAcosB+cos力sinB,所以-三—cos力sin3=0.因为

sinBW0,所以cos4=—又0V4<TT，所以4=皆.由余弦定理得M