2025高考数学一轮复习:正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】_第1页
2025高考数学一轮复习:正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】_第2页
2025高考数学一轮复习:正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】_第3页
2025高考数学一轮复习:正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】_第4页
2025高考数学一轮复习:正弦定理与余弦定理 专项训练【含解析】_第5页
已阅读5页,还剩5页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.在△4BC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=誓,则B的大小

ab

为().

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在△ABC中,若4=30。,AB=2,且AaBC的面积为后,则△ABC外接圆的

半径为().

A.这B.手C.2D.4

3

3.(改编)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若2==码/二

3cosC

2sin力sinB,且b=6,贝!jc=().

A.2B.3C.4D.6

4.在aABC中,角48,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,

则的值为().

bsinB

A-1B-TC.2D.警

5.在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也==(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,则△ABC的形状为().

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

6.(改编)已知AZBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=

a(cosC+《sinC),a—2,c=誓,则。=().

AA.—3TT一

4B.

7.(改编)设在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a=省力=

=三的AZBC不唯一,则实数m的取值范围为().

6

A.弓,V3)B.(O,V3)C.©净D.(1,1)

8.秦九韶是我国南宋数学家,其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积

术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为

小斜、中斜和大斜,三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法,用公式表示

如下:S&ABC=J'a2c2_,2+:功2)2],其中附9是△.C的内角2,B,C的对边.

已知在△ABC中,-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值

cccosC

为().

A/B,速C.始D.史

2448

综合提升练

9.(多选题)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB(l+

2cosc)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是().

A.a=2bB.b=2aC.2=2BD.C=90°

10.(多选题)在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的

是().

A.若£=—1=£,则AZBC为等边三角形

cosAcosBcosC

B.若(a+b+c)(a+b—c)—3ab,则C=60°

C.若a=7,b=4®c=V13,则最小内角的度数为30。

D.若a=5,4=60。,b=4,则此三角形有两解

11.在AZBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2块—3c2-ac=0,

sin(4+B)=2sin2,则cosC—.

12.(双空题)在AaBC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

b

①的值为

cosA

②若a>c,则匕的取值范围是

应用情境练

13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载

了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,

大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田,

三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为

平方千米.

14.在△4BC中,角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作

为条件,证明另外一个成立.

(T)a2—c2—be;@b+bcosA—V3asinB;③sinA—V3sinC.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

创新拓展练

15.在a中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c—1=0,a2=|bc,

b>c9贝壮=

c

16.△ABC的内角a,B,C的对边分别为a,b,c.已知(b—c)sinB=bsinQl—C).

(i)求角a;

(2)若△ABC为锐角三角形,且△ABC的面积为S,求立片的取值范围.

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=?,则B的大小

ab

为(B).

A.30°B.45°C.60°D.90°

[解析]由题意知,当cosB

sinB

・•.sinB=cosB,B=45°.故选B.

2.在△ABC中,若4=30。,AB=2,且AaBC的面积为后,则△ABC外接圆的

半径为(C).

A,也B.手C.2D.4

3

[解析]由题意知,S-BC=1^45--sin71=|x2x^AC=W,解得ZC=2V3,

由余弦定理得Be?=44-12-2X2X273X^=4,故BC=2.

设△ABC外接圆的半径为R,

由正弦定理得2R=2=4,故R=2.故选C.

sinA

3.(改编)在AaBC中,角a,B,C的对边分别为a,b,c,若2=二照竺

3cosC

2sin?lsin5,且力=6,贝!Jc=(C).

A.2B.3C.4D.6

[解析]由余弦定理得小=b2+c2—2bcx-=b2+c2—be,又3sm0=

2cosC

nr2n2,h2_r2

・,・由正弦定理可得——=-------,即小+b2-2即力+c2—

2sin/sin2ab2ab4c=0,2

be+b2—4c2=0.

又b=6,・•.c2+2c—24=0,解得c=4(负值舍去).故选C.

4.在aABC中,角力,8,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,

的值为().

则bsinBD

A.-B.—C.2D.—

223

2222

[解析]由炉=ac,a+be=c+ac9得炉+c—a=be,

・•・cosA=匕贝【JsinA=—.

2bc22

^b2=ac得sir^B=sin/sinC,=—^—

9sinzBsmA9

」一=sin。==迪故选D.

bsinBsinBsinBsin43

5.在△ABC中,角a,B,C的对边分别为a,b,c,若也=2,(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,则△力BC的形状为(C).

B.等腰非等边三角形

C.等边三角形D.钝角三角形

[解析]•••嗯a

sinBc

又(b+c+a)(6+c—a)=3bc,

77j.匕2+。2一be1

・・・・

•=be,•cosA=----2--b-c---=——2bc=2

・・・/e(o,7T),.•・力=或••.△/BC是等边三角形.故选c.

6.(改编)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=

a(cosC+gsinC),a—2,c=誓,则。=(D).

A.—B.E或到C.-D.-

44464

[解析『・,b=a(cosC+日sinC),・,・由正弦定理可得sinB=sin力cosC+

今sin/sinC.又sinB=sinQ4+C)=sinAcosC+cosAsinC,・•・cos4sinC=

当sin力sinC.由sinCW0,可得sinA=V3cosA,:.tanA=V3,AX=^.

va=2,c=乎,,由正弦定理可得sinC==中,,由cV可得C=%

故选D.

7.(改编)设在△力BC中,角力,8,C所对的边分别为a,b,c,若满足Q=百乃=

=工的AZBC不唯一,则实数m的取值范围为(A).

6

A.(y,V3)B.(0,V3)C.D(打)

[解析]由正弦定理^=卷,即烹=会得”=鲁・

2

因为△ABC不唯一,即△ABC有两解,所以E<2<以且4#二即乙<sinA<1,

6622

所以l<2sinZ<2,所以工<」一<1,即立故选A.

22smA2

8.秦九韶是我国南宋数学家,其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积

术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为

小斜、中斜和大斜,三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法,用公式表示

如下:S-BC=4[a2c2_,2+:#)2],其中a,b,c是AZBC的内角a,B,C的对边.

已知在△ABC中,-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值

cccosC

为(B).

A/B.速C.汹D.四

2448

[解析六:=cosB+V3cosC,a=c(cosB+V3cosC),

・•・sin力=sinC(cosB+V3cosC),

即sinCeosB+V3sinCeosC=sin(B+C)=sinSeosC+cosBsinC,

即V^sinCeosC=sinBcosC,又CE(0,11),且。W

・•・sinB=V3sinC,:・b=V3c.

V3aa-y[3cosA^.八

v——=----------,・•・V3(acosC+ccosA)=ac,

ccosC

则同安+修)=卬即ac—y/3b,a—3,

•••S="2一(W^

=[«一9)2+竽

当C=3时,Smax=%.故选B.

4

综合提升练

9.(多选题)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB(l+

2cosc)=2sinAcosC+cosZsinC,则下列结论可能成立的是(AD).

A.a=2匕B.匕=2aC.A=2BD.C=90°

[解析]因为sinB(1+2cosC)—2sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinZcosC+cosAsinC—2sinBcosC+sin(4+C)=2sinBcosC+

sinAcosC+cosAsinC,

所以sinZcosC—2sinBcosC=0,即cosC(sinA-2sinB)—0,

所以cosC=0或sinZ=2sinB.因为0°<C<180°,所以C=90°或a=25.故

选AD.

10.(多选题)在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的

是(ABC).

A.若高=—、=£,则△ABC为等边三角形

cosAcosBcosC

B.若(a+b+c)(a+b—c)=3ab,则C=60°

C.若。=7,=4V3,C=713,则最小内角的度数为30°

D.若a=5,2=60。,5=4,则此三角形有两解

b_csinAsinB

[解析]对于A,若总=,则把上,即tanA=tanB=

cosBcosCcosAcosBcosC

tanC,即4=B=C,即△力BC是等边三角形,故A正确.

对于B,由(a+b+c)(a+h-c)=3ab,可得彦+b2-c2=ab,

2I_62i

则cosC===因为。<C<180。,所以C=60°,故B正确.

2ab2

对于C,因为a=7,b=4A/3,C=V13,所以c<b<a,所以C<B<4所以

cosC=土庐-c?=7?+(4阿-卢j=四,因为0。<C<180°,所以C=30°,故

2ab2X7X4V32

c正确.

对于D,因为a=5,力=60°,b=4,——一,所以卷=」一,解得sinB=—<

sinAsinB宜sinB5

2

弓.因为b<a,所以所以三角形只有一解,故D错误.故选ABC.

11.在AaBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2炉—3c?—ac=0,

sin(i4+B)=2sin2,贝UcosC—手.

[解析]:sin(71+B)=2sin4:.sinC=2sin4,

・・・由正弦定理得c=2a.

v2b2—3c2—ac=0,・•・b2=7a2,b=夕a,

〃+匕2_。2a2+7a2-4a2_2夕

则cosC=

2ab2a♦VYa7

12.(双空题)在△力BC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

①y的值为6;

cosA一

[解析]由sin3=sin2A,得sinB=2sinAcosA,

由正弦定理得b=2acosA,即「一=2a=6.

cosA

②若a>c,则b的取值范围是(3,3或).

[解析]由余弦定理,a2=b2+c2—2bccosA,

结合①得cos力=

6

所以3?=b2+c2—卓,

所以27=(3-C)Z)2+3C2,

即炉=如-3c=9+3c.

3-c

因为a>c,所以0Vc<3,9<9+3c<18,

所以9<b2<18,即3<b<3V2.

应用情境练

13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载

了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,

大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田,

三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为

2L平方千米.

[解析]设在中,a=13里,b=14里,c=15里,

132+142-152140_5

所以cosC=所以sinC=青故△4BC的面积为|x

2X13X142X13X14-13'

13x14x—x5002x-^―=21(平方千米).

1310002

14.在AZBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作

为条件,证明另外一个成立.

①a2—。2=be;(2)b+bcosA—V3asinB;③sinA—V3sinC.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

[解析]选①②作条件,③为结论:

由②得sinB+sinBcosA—V3sinZsinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即KsinA-cosA—1,

根据辅助角公式可得sin0<2<兀,

所以4=则M=/)2+c2-2bccosA=b2+c2-bc

39

由①知。2=。2+A,代入可得b=2c,所以a=V^c,

由正弦定理得sinA=V3sinC.

选①③作条件,②为结论:

由③得Q=V3c,又由①知“2=C2+be,

所以3c2=c2+be,则力=2c,

所以cosA=0<A<7i,所以力=

2bc23

由③sinA=V3sinC,

得sinC=¥^=A又0<C<TT,且。<力,所以。=匕所以8=匕

V3262

所以b+bcosA=2c+c=3c=y/3xV3c=V3a=V3asinB.

选②③作条件,①为结论:

由②得sinB+sinBcosA=V3sin力sinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即gsinA—cosA=1,

根据辅助角公式可得sin(a—印=$又o<a<兀,所以a=最

由③知sin4=V3sinC,

所以sin。=詈=$又0<CVTT且C<力,所以C=所以B=p

所以sin力=V3sinC,sinB=2sinC,则a=V3c,b=2c,

即彦—c2=be.

创新拓展练

15.在aABC中,角43,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c--=0,a2=-be,

b>c9则2=2.

c-

[解析]由QcosB~c0及正弦定理,可得sin力cosB—sinC—三四=0.因为

sinC=sinQ4+B)=sinAcosB+cos力sinB,所以-三—cos力sin3=0.因为

sinBW0,所以cos4=—又0V4<TT,所以4=皆.由余弦定理得M

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论