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文档简介
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1.在△4BC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=誓,则B的大小
ab
为().
A.30°B.45°C.60°D.90°
2.在△ABC中,若4=30。,AB=2,且AaBC的面积为后,则△ABC外接圆的
半径为().
A.这B.手C.2D.4
3
3.(改编)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若2==码/二
3cosC
2sin力sinB,且b=6,贝!jc=().
A.2B.3C.4D.6
4.在aABC中,角48,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,
则的值为().
bsinB
A-1B-TC.2D.警
5.在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也==(b+c+a)(b+
sinBc
c-a)=3bc,则△ABC的形状为().
A.直角三角形B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
6.(改编)已知AZBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=
a(cosC+《sinC),a—2,c=誓,则。=().
AA.—3TT一
4B.
7.(改编)设在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a=省力=
=三的AZBC不唯一,则实数m的取值范围为().
6
A.弓,V3)B.(O,V3)C.©净D.(1,1)
8.秦九韶是我国南宋数学家,其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积
术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为
小斜、中斜和大斜,三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法,用公式表示
如下:S&ABC=J'a2c2_,2+:功2)2],其中附9是△.C的内角2,B,C的对边.
已知在△ABC中,-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值
cccosC
为().
A/B,速C.始D.史
2448
综合提升练
9.(多选题)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB(l+
2cosc)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能成立的是().
A.a=2bB.b=2aC.2=2BD.C=90°
10.(多选题)在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的
是().
A.若£=—1=£,则AZBC为等边三角形
cosAcosBcosC
B.若(a+b+c)(a+b—c)—3ab,则C=60°
C.若a=7,b=4®c=V13,则最小内角的度数为30。
D.若a=5,4=60。,b=4,则此三角形有两解
11.在AZBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2块—3c2-ac=0,
sin(4+B)=2sin2,则cosC—.
12.(双空题)在AaBC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=
sin2A.
b
①的值为
cosA
②若a>c,则匕的取值范围是
应用情境练
13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载
了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,
大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田,
三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为
平方千米.
14.在△4BC中,角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作
为条件,证明另外一个成立.
(T)a2—c2—be;@b+bcosA—V3asinB;③sinA—V3sinC.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
创新拓展练
15.在a中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c—1=0,a2=|bc,
b>c9贝壮=
c
16.△ABC的内角a,B,C的对边分别为a,b,c.已知(b—c)sinB=bsinQl—C).
(i)求角a;
(2)若△ABC为锐角三角形,且△ABC的面积为S,求立片的取值范围.
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【解析版】
基础巩固练
1.在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,若也=?,则B的大小
ab
为(B).
A.30°B.45°C.60°D.90°
[解析]由题意知,当cosB
sinB
・•.sinB=cosB,B=45°.故选B.
2.在△ABC中,若4=30。,AB=2,且AaBC的面积为后,则△ABC外接圆的
半径为(C).
A,也B.手C.2D.4
3
[解析]由题意知,S-BC=1^45--sin71=|x2x^AC=W,解得ZC=2V3,
由余弦定理得Be?=44-12-2X2X273X^=4,故BC=2.
设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理得2R=2=4,故R=2.故选C.
sinA
3.(改编)在AaBC中,角a,B,C的对边分别为a,b,c,若2=二照竺
3cosC
2sin?lsin5,且力=6,贝!Jc=(C).
A.2B.3C.4D.6
[解析]由余弦定理得小=b2+c2—2bcx-=b2+c2—be,又3sm0=
2cosC
nr2n2,h2_r2
・,・由正弦定理可得——=-------,即小+b2-2即力+c2—
2sin/sin2ab2ab4c=0,2
be+b2—4c2=0.
又b=6,・•.c2+2c—24=0,解得c=4(负值舍去).故选C.
4.在aABC中,角力,8,C所对的边分别为a,b,c,且炉=ac,a2+be=c2+ac,
的值为().
则bsinBD
A.-B.—C.2D.—
223
2222
[解析]由炉=ac,a+be=c+ac9得炉+c—a=be,
・•・cosA=匕贝【JsinA=—.
2bc22
^b2=ac得sir^B=sin/sinC,=—^—
9sinzBsmA9
」一=sin。==迪故选D.
bsinBsinBsinBsin43
5.在△ABC中,角a,B,C的对边分别为a,b,c,若也=2,(b+c+a)(b+
sinBc
c-a)=3bc,则△力BC的形状为(C).
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
[解析]•••嗯a
sinBc
又(b+c+a)(6+c—a)=3bc,
77j.匕2+。2一be1
・・・・
•=be,•cosA=----2--b-c---=——2bc=2
・・・/e(o,7T),.•・力=或••.△/BC是等边三角形.故选c.
6.(改编)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且5=
a(cosC+gsinC),a—2,c=誓,则。=(D).
A.—B.E或到C.-D.-
44464
[解析『・,b=a(cosC+日sinC),・,・由正弦定理可得sinB=sin力cosC+
今sin/sinC.又sinB=sinQ4+C)=sinAcosC+cosAsinC,・•・cos4sinC=
当sin力sinC.由sinCW0,可得sinA=V3cosA,:.tanA=V3,AX=^.
va=2,c=乎,,由正弦定理可得sinC==中,,由cV可得C=%
故选D.
7.(改编)设在△力BC中,角力,8,C所对的边分别为a,b,c,若满足Q=百乃=
=工的AZBC不唯一,则实数m的取值范围为(A).
6
A.(y,V3)B.(0,V3)C.D(打)
[解析]由正弦定理^=卷,即烹=会得”=鲁・
2
因为△ABC不唯一,即△ABC有两解,所以E<2<以且4#二即乙<sinA<1,
6622
所以l<2sinZ<2,所以工<」一<1,即立故选A.
22smA2
8.秦九韶是我国南宋数学家,其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积
术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为
小斜、中斜和大斜,三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法,用公式表示
如下:S-BC=4[a2c2_,2+:#)2],其中a,b,c是AZBC的内角a,B,C的对边.
已知在△ABC中,-=cosB+V3cosC,叵=匕立空当则△.C面积的最大值
cccosC
为(B).
A/B.速C.汹D.四
2448
[解析六:=cosB+V3cosC,a=c(cosB+V3cosC),
・•・sin力=sinC(cosB+V3cosC),
即sinCeosB+V3sinCeosC=sin(B+C)=sinSeosC+cosBsinC,
即V^sinCeosC=sinBcosC,又CE(0,11),且。W
・•・sinB=V3sinC,:・b=V3c.
V3aa-y[3cosA^.八
v——=----------,・•・V3(acosC+ccosA)=ac,
ccosC
则同安+修)=卬即ac—y/3b,a—3,
•••S="2一(W^
=[«一9)2+竽
当C=3时,Smax=%.故选B.
4
综合提升练
9.(多选题)在△ABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB(l+
2cosc)=2sinAcosC+cosZsinC,则下列结论可能成立的是(AD).
A.a=2匕B.匕=2aC.A=2BD.C=90°
[解析]因为sinB(1+2cosC)—2sinAcosC+cosAsinC,
所以2sinZcosC+cosAsinC—2sinBcosC+sin(4+C)=2sinBcosC+
sinAcosC+cosAsinC,
所以sinZcosC—2sinBcosC=0,即cosC(sinA-2sinB)—0,
所以cosC=0或sinZ=2sinB.因为0°<C<180°,所以C=90°或a=25.故
选AD.
10.(多选题)在△ABC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的
是(ABC).
A.若高=—、=£,则△ABC为等边三角形
cosAcosBcosC
B.若(a+b+c)(a+b—c)=3ab,则C=60°
C.若。=7,=4V3,C=713,则最小内角的度数为30°
D.若a=5,2=60。,5=4,则此三角形有两解
b_csinAsinB
[解析]对于A,若总=,则把上,即tanA=tanB=
cosBcosCcosAcosBcosC
tanC,即4=B=C,即△力BC是等边三角形,故A正确.
对于B,由(a+b+c)(a+h-c)=3ab,可得彦+b2-c2=ab,
2I_62i
则cosC===因为。<C<180。,所以C=60°,故B正确.
2ab2
对于C,因为a=7,b=4A/3,C=V13,所以c<b<a,所以C<B<4所以
cosC=土庐-c?=7?+(4阿-卢j=四,因为0。<C<180°,所以C=30°,故
2ab2X7X4V32
c正确.
对于D,因为a=5,力=60°,b=4,——一,所以卷=」一,解得sinB=—<
sinAsinB宜sinB5
2
弓.因为b<a,所以所以三角形只有一解,故D错误.故选ABC.
11.在AaBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2炉—3c?—ac=0,
sin(i4+B)=2sin2,贝UcosC—手.
[解析]:sin(71+B)=2sin4:.sinC=2sin4,
・・・由正弦定理得c=2a.
v2b2—3c2—ac=0,・•・b2=7a2,b=夕a,
〃+匕2_。2a2+7a2-4a2_2夕
则cosC=
2ab2a♦VYa7
12.(双空题)在△力BC中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=
sin2A.
①y的值为6;
cosA一
[解析]由sin3=sin2A,得sinB=2sinAcosA,
由正弦定理得b=2acosA,即「一=2a=6.
cosA
②若a>c,则b的取值范围是(3,3或).
[解析]由余弦定理,a2=b2+c2—2bccosA,
结合①得cos力=
6
所以3?=b2+c2—卓,
所以27=(3-C)Z)2+3C2,
即炉=如-3c=9+3c.
3-c
因为a>c,所以0Vc<3,9<9+3c<18,
所以9<b2<18,即3<b<3V2.
应用情境练
13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载
了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,
大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何这道题讲的是有一块三角形的沙田,
三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为
2L平方千米.
[解析]设在中,a=13里,b=14里,c=15里,
132+142-152140_5
所以cosC=所以sinC=青故△4BC的面积为|x
2X13X142X13X14-13'
13x14x—x5002x-^―=21(平方千米).
1310002
14.在AZBC中,角4B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作
为条件,证明另外一个成立.
①a2—。2=be;(2)b+bcosA—V3asinB;③sinA—V3sinC.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
[解析]选①②作条件,③为结论:
由②得sinB+sinBcosA—V3sinZsinB,而sinB>0,
所以1+cosA=V3sinA,即KsinA-cosA—1,
根据辅助角公式可得sin0<2<兀,
所以4=则M=/)2+c2-2bccosA=b2+c2-bc
39
由①知。2=。2+A,代入可得b=2c,所以a=V^c,
由正弦定理得sinA=V3sinC.
选①③作条件,②为结论:
由③得Q=V3c,又由①知“2=C2+be,
所以3c2=c2+be,则力=2c,
所以cosA=0<A<7i,所以力=
2bc23
由③sinA=V3sinC,
得sinC=¥^=A又0<C<TT,且。<力,所以。=匕所以8=匕
V3262
所以b+bcosA=2c+c=3c=y/3xV3c=V3a=V3asinB.
选②③作条件,①为结论:
由②得sinB+sinBcosA=V3sin力sinB,而sinB>0,
所以1+cosA=V3sinA,即gsinA—cosA=1,
根据辅助角公式可得sin(a—印=$又o<a<兀,所以a=最
由③知sin4=V3sinC,
所以sin。=詈=$又0<CVTT且C<力,所以C=所以B=p
所以sin力=V3sinC,sinB=2sinC,则a=V3c,b=2c,
即彦—c2=be.
创新拓展练
15.在aABC中,角43,C的对边分别为a,b,c,若acosB—c--=0,a2=-be,
b>c9则2=2.
c-
[解析]由QcosB~c0及正弦定理,可得sin力cosB—sinC—三四=0.因为
sinC=sinQ4+B)=sinAcosB+cos力sinB,所以-三—cos力sin3=0.因为
sinBW0,所以cos4=—又0V4<TT,所以4=皆.由余弦定理得M
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