天津市大港油田第三中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGE10PAGE9天津市大港油田第三中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.若向量a=(2,0，-1)，向量b=(0,1，-2)，则2A.(-4,1，-4) B.(-4,1，0) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)2.抛物线y2=-8x的准线方程为(    )A.x=-2 B.x=-1 C.y=1 D.x=23.双曲线4x2-9yA.y=±32x B.y=±24.已知向量a=(-1,2，4)，b=(x,-1,-2)，并且a⊥bA.10 B.-10 C.12 D.5.焦距是10，虚轴长是8，经过点(32,4)的双曲线的标准方程是(    )Ax29-y216若动点满意方程，则动点M的轨迹方程（）ABCD7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若AB=a，A.-12aC.-128.已知双曲线C1：x2a2线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1A.x2=833y9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

(A.2 B.3 C.115 D.10.设图F1、F2分别为双曲线x2a2-y2A.43 B.53 C.二、填空题（本题共6个小题，每题7分，共42分）11.若向量a=(x,-1,3)，向量b=(2,y，6)，且a//b，则x=______，12.若双曲线x29-13.若方程x25-m+14.在空间直角坐标系O-xyz中，A(1,2，-1)，B(0,1，2)，C(1,1，1)，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为______．15.圆与圆的公共弦长为16.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，A三、解答题（本题共3题，每题16分，共48分）

17.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-1,0)，B(1,2)．(Ⅰ)求线段AB的垂直平分线方程；(Ⅱ)求圆C的标准方程；(Ⅲ)过点P(0,2)的直线l与圆C相交于M、N两点，且|MN|=23如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．

(Ⅰ19.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；

②已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；

【答案】解：(1)设椭圆C的方程为x2∵抛物线的焦点为(0∴b由ca=12，∴椭圆C的方程为x2(2)设A(x1①设直线AB的方程为y=代入x216+由Δ>0，解得∴x1+∴|x∴四边形APBQ的面积S=∴当t=0时，S取得最大值，且②若∠APQ=∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y由y-3=k(x-∴x将k换成-k可得x∴x1+∴k∴直线AB的斜率为定值12【解析】本题考查的学问点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中依据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．

(1)依据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线x2=83y的焦点，离心率等于12.由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．

(2)①设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=12x+t，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．

②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k(x-2)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．

(Ⅰ)求证：【答案】解：依据题意，以C为原点，CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C1(0,0，3)，

A1(2,0，3)，B1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，

(Ⅰ)证明：依题意，C1M=(1,1，0)，B1D=(2,-2,-2)，

∴C1M·B1D=2-2+0=0，

∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；

(Ⅱ)依题意，CA=(2,0，0)是平面BB1E的一个法向量，

EB1=(0,2，1)，ED=(2,0，-1)，

设n=(x,y，z)为平面DB1E的法向量，

则n⋅EB1=0【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了运算求解实力，转化与化归实力，逻辑推理实力，属于中档题．

(Ⅰ)建立空间坐标系，依据向量的数量积等于0，即可证明；

(Ⅱ)先求得平面DB1E的法向量n，而CA是平面BB1E的一个法向量，再依据向量的夹角公式求解；

(Ⅲ)求出cos<已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-1,0)，B(1,2)．(Ⅰ)求线段AB的垂直平分线方程；(Ⅱ)求圆C的标准方程；(Ⅲ)过点P(0,2)的直线l与圆C相交于M、N两点，且|MN|=23，求直线l【答案】解：(Ⅰ)设AB的中点为D，则D(0,1)．

由圆的性质，得，

所以kCD×kAB=-1，kAB=2-01+1=1，得kCD=-1．

所以线段AB的垂直平分线CD的方程是y=-x+1.

(Ⅱ)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2，其中C(a,0)，半径为r(r>0).

由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得a=1．

所以圆心C(1,0)，r=|CA|=1+12=2，

所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4;

(Ⅲ)由(1)设F为MN中点，则CF⊥l，得|FM| = |FN|=3．

圆心C到直线的距离d=|CF| =4-(3)2【解析】本题考查直线与圆的有关问题，考查推理