10.3直线与平面间的位置关系（第1课时）（八大题型提分练）

10.3直线与平面间的位置关系（第1课时）题型1：判断图形中的线面关系1．直线a与平面的位置关系位置关系直线在平面内相交平行公共点个数符号表示图形表示【答案】无数个1个0个【分析】略【解析】略2．设平面与平面相交于直线，直线，直线，则(用下列符号之一表示：、、、．【答案】【分析】确定，，得到答案.【解析】，故，，故；，故，，故；故故答案为：3．若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是．【答案】或【分析】画出空间图形判断得解.【解析】解：若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是或.故答案为：或题型2：判断线面平行4．直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果一条直线和此的一条直线，那么和平行.该定理常表述为“若线线平行，则线面平行”．图形语言：如图所示．

符号语言：若，且，则．【答案】平面外平面内平行该直线此平面【分析】略【解析】略故答案为：平面外；平面内；平行；该直线；此平面；5．正方体中，与平面平行的面对角线有条．【答案】3【分析】由已知可证得四边形是平行四边形，，进而根据线面平行的判定定理即可得出平面.同理可得出、也与平面平行.又其余对角线均与平面内的直线相交，即可得出答案.【解析】如图，连结、、.由正方体的性质可得，，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得，平面，平面.其余面对角线均与、、有交点，所以，与平面平行的面对角线有3条.故答案为：3.6．下列三个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α；③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行．其中正确的有．【答案】②【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可求解．【解析】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确；对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确；对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误．故答案为：②．7．判断正误．（1）若直线平面，且，则．()（2）若直线l不平行于平面，则直线l就不平行于平面内的任意一条直线．()（3）若直线a，b和平面满足，，则．()【答案】错误错误错误【解析】（1）若直线平面，且，则或异面，故错误；（2）若直线l不平行于平面，当直线l在平面内时存在直线与直线l平行，故错误；（3）若直线a，b和平面满足，，则直线可能平行、异面或相交，故错误.8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1B与面ACD1的位置关系是．【答案】平行【分析】由线面平行的判定理可得答案．【解析】解：∵A1B∥D1C，A1B平面ACD1，D1C平面ACD1，∴A1B∥平面ACD1．故答案为：平行．题型3：证明线面平行9．已知：如图，，，，且．求证：，．【答案】证明见解析【分析】先由线面平行的判定定理证明，再由线面平行的性质定理得到，最后有基本事实得到.【解析】证明：因为，，，所以由线面平行的判定定理可得，又，，所以由线面平行的性质定理可得，又因为，由基本事实可得.10．设点A是所在平面外一点，点M，N分别是和的重心．求证：平面．【答案】证明见解析【分析】利用三角形的重心的性质，可得分别是与的中线的一个三等分点，得，从而有，进而证出结论.【解析】

如图，延长，分别交、于点E、F，连接.分别是和的重心，分别为和的中线，，又平面，平面，所以//平面.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．【答案】证明见详解【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证.【解析】连接交于点，连接，因为ABCD是平行四边形，所以为中点，又M是PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以

题型4：补全线面平行的条件12．下列三个命题在“___________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为直线，a，β为平面），则此条件是.①；②；③【答案】【分析】根据各项中线线、线面关系，由判断所缺少的条件即可.【解析】①由，可得：或，故要使，即；②由，结合线面平行的判定知：要使，需；③由，可得：或，故要使，即；故答案为：13．如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为.【答案】【分析】先取中点得到过的一个平面平行平面，即知.【解析】取中点，连接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.故答案为：.【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题.14．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：时，平面.【答案】答案表述不唯一)【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.【解析】连接交于O，连接OE，平面平面，平面平面，.又底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点,为的中点，故当满足条件:时，面.故答案为:答案表述不唯一)题型5：线面平行的性质15．直线与平面平行的性质定理：文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过的平面和相交，那么这条直线与平行．图形语言：如图所示．

符号语言：若，且，则．【答案】该直线此平面交线【分析】由线面平行的性质定理可得.【解析】由线面平行的性质定理可得：一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面和此平面相交，那么这条直线与交线平行.符号语言表示为：若，且，则.故答案为：该直线；此平面；交线；.16．如图，，，，，则CD与EF的位置关系为．【答案】【分析】由线面平行的性质有，根据线面平行的判定可得，最后再由线面平行的性质即可得.【解析】∵，，，∴，又，，∴，又，，∴.故答案为：17．正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是．【答案】平行【分析】画出图象，结合图象以及线面平行的性质定理进行判断.【解析】根据正方体的几何性质可知，由于平面,平面,所以平面，由于平面，平面平面，所以.故答案为：平行

18．三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为．【答案】2【分析】根据线面平行的性质定理，结合点E为中点可得四边形各边长，然后可得.【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故.同理，所以四边形的周长为2.故答案为：219．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的是.①AC∥面PQMN；②AC＝BD；③BD∥面PQMN；④AC⊥BD【答案】①③④【分析】根据正方形的性质，线面平行的判定和性质，异面直线所成的角，可判断.【解析】①项，截面为正方形，则有且，所以平面，又面ABC，面ABC面=，所以，又平面，平面，所以平面，故①项正确；②项，由④项得出AC⊥BD，但不能得出AC＝BD，故②项是错误的；③项，截面为正方形，则有，所以平面，又面ABD，面ABD面=，所以，又平面，平面，所以平面，故③项正确；④项，由①，③可得，，又，所以AC⊥BD，故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题主要考查空间几何体中线面位置关系,需熟悉空间的线线，线面，面面的位置关系的定义，判定和性质，属于基础题.题型6：由定义判断线面关系、线面关系的综合辨析20．空间中直线与平面的位置关系分为：若直线与平面没有交点，则直线与平面；若直线与平面有且仅有1个交点，则直线与平面；若直线与平面有无数多个公共点，则直线．【答案】平行相交在平面内【分析】略【解析】略21．已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（

）A． B． C．b与α相交 D．以上都有可能【答案】D【分析】以正方体中为载体，举例说明即可得结果．【解析】在正方体中，，平面，平面；，平面，平面，即平面；，平面，平面．因为，，所以与平面的位置关系是或或与平面相交．故选：D．22．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是（填序号）.①；②；③.【答案】③【分析】由点线、点面关系，根据平面的基本性质判断点面、线面关系即可.【解析】①由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；②由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；③由，则，即为经过点A的一条直线而不是点A，故错误.故答案为：③23．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.【解析】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误；若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误；若，，则与可能平行，也可能，故C错误；若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确；故选：D题型7：由线面平行的性质求线段比例24．已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为．【答案】/【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.【解析】如图，连结交于点，连结.因为，E为AD的中点，则，又因为PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，则PA∥OF，所以.故答案为：.25．如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

【答案】/【分析】根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质进行求解即可.【解析】如图，连结交于点，连结.

因为，所以，因为平面，平面平面平面，所以，所以.故答案为：题型8：由线面平行求线段长度（含取值范围问题）26．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时，．

【答案】4【分析】先根据线面平行性质得出，再根据中位线从而求出，再由重心得到，计算求解即可.【解析】因为平面，平面，平面平面.所以，M是的重心，N是的中线AF上的点，所以E，F分别是BC，CD的中点，N是的重心,所以，又因为M，N分别是和的重心，所以且,所以.故答案为：4.27．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为．【答案】【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值.【解析】过点分别作交于点，交于点，连接，要想平面，则四边形为平行四边形，故，设，则，故，由勾股定理得，其中，当且仅当时，等号成立，故.故答案为：28．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是.【答案】【分析】依题意可得，，设，，求出、的关系式，再求四边形的周长的取值范围即可．【解析】解：四边形为平行四边形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，，，，；又，，，，且；四边形的周长为，；四边形周长的取值范围是．故答案为：29．如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为.

【答案】【分析】利用面面平行的性质，通过平面平面，得出点在线段上，从而求出线段的最大值．【解析】如图，

取的中点，取的中点，连接，，，所以，又面，面，所以平面，又为的中点，所以，又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因为是侧面上一点，且平面，所以在线段上，因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是所以平面，因为平面，所以又M为的中点，所以所以则，又所以线段的最大值为．故答案为：．30．如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是.【答案】【分析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.【解析】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，，此时最短，位于处时最长，，，所以线段长度的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.一、填空题1．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，平面，则的值为.【答案】3【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.【解析】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，由四边形是菱形，可得，则，所以，所以，又因为平面，平面，平面平面，所以，所以.故答案为：3.2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是．（填序号）①直线AB∥直线CD；②直线PQ∥直线ED；③直线PQ∥平面ADE.【答案】②【解析】解析：翻折之后如图所示：因为AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故①成立．连接FD，由以上分析知四边形CDEF为矩形，所以Q为FD的中点．因为P为AF的中点，所以PQ∥AD.因为PQ∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ与ED不平行，故②不成立．因为PQ∥AD，且PQ⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故③成立．故选②.3．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，､分别是侧棱､上的动点，，点在棱上，且，若平面，则.【答案】1【分析】先连接AC交BD于O，进而通过线面平行的性质定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，进而证明∥，得出∥，进一步得到四边形是平行四边形，得出，结合条件的长度关系最后得到答案.【解析】由题意可知，长方体的高为4，底面ABCD是边长为1的正方形，连接AC交BD于O，连接PO，因为EF∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.在上截取PQ，使得PQ=PA=1，连接QC，易知O为AC的中点，所以∥，所以∥，又∥，所以四边形是平行四边形，所以.又，所以，所以CF=1.故答案为：1.4．三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为．【答案】【分析】首先证明截面为长方形，设，将面积表示为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得结果.【解析】如图所示，因为平面，设面，所以，同理：，设，所以，即，所以四边形为平行四边形，即，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，即，且，取中点，连接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以面与三棱锥的交线围成的面积，当，即为中点时，面积最大，最大值为，故答案为：.

5．如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成（不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是.①平面②存在某个位置，使得③线段长度为定值【答案】①③【分析】（1）利用中位线，始终是解决有关中点问题的一个方法，所以要考虑作辅助线；（2）考虑用反证法；（3）图形里面的几何关系要搞清楚，旋转的过程中有一些几何关系是不变的.【解析】设F是AD边的中点，连接CF，与MD交于点E，①：∵四边形ABCD是矩形，∴，，,四边形AMCF是平行四边形，，∵F，N分别是AD，的中点，∴，又∵，，平面，平面，平面，平面，∴平面平面FNC；直线平面FNC，∴平面，故①正确；②：如果，∵，∴平面CND，，即，是直角三角形的斜边，而，这是不可能的，故②错误；③：，在旋转过程中，保持几何关系不变，，又∵，，，，∴，在中，运用余弦定理得：故CN为定值，③正确.故答案为：①③.二、单选题6．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出该几何体，确定直线DE和直线AB为异面直线，再根据平面//平面，结合等体积法求得到平面的距离即可.【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，又//，平面，平面，故//平面.又，故四边形为菱形，则//.平面，