广西象州县中学2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题理

PAGE15-广西象州县中学2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题理满分：150分；考试时间：120分钟留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限2．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．3．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（）A． B．C． D．5．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题①值域为；②的一个对称轴是；③一个对称中心是；④存在两条相互垂直切线，其中正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.46．已知满意，，则（）A． B． C． D．7．已知向量，满意，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．8．设等差数列的前项和为若，是方程的两根，则()A． B． C． D．9．已知为等比数列,,,则（）A． B． C． D．10．若正数满意，则的最小值为A．B．C．D．311．抛物线上到其焦点距离为5的点有（）个．A.1B.2C.3D.412.已知双曲线：，为双曲线的右焦点，过点作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点.则（）A． B． C． D．4第||卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，请把正确答案填在题中横线上)13．__________．14．若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是__________．15.已知曲线，上一点到定点的最小距离为，则_____.16．已知函数，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.18．（12分）已知等比数列的各项均为正数，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，是棱上的一点.（1）证明：平面平面；（2）若，是的中点，，，且二面角的正弦值为，求的值.20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，，离心率过点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆E的右焦点，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.以下两题为选做题，请选择一题，并将其题号填涂到答题卡上假如多做，则按所做的第一题计分．22．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于点，点的坐标为（3，1），求.23．（12分）函数．(1)当时，不等式的解集；(2)若时，不等式成立，求的取值范围。2024年高二理科数学开学考参考答案1．D详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时留意审清题意，切勿不行因简洁导致马虎丢分.2．A【详解】，，则，故选：A．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．3．C【详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的推断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．4．A【详解】取，解除C取，解除BD故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特别值解除可以简化计算.5．【答案】C【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误；当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；当时,,所以的一个对称中心是,③正确；,则,使得,则在和处的切线相互垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法推断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.6．D【详解】由，得，当时，，又，解得，，则；当时，，不满意题意.综上可得，，故选D.【点睛】本题考察三角函数同角基本关系式及运算实力,基础题.7．D【详解】由题意可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.8．A【详解】由题意，，是方程的两根，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和，其中解答中熟记等差数列的性质，合理利用等差数列的求和公式，精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.9．D【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.10．A【详解】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.11．【答案】B【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.12.A【详解】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：，则过点作与渐近线垂直的直线为：，所以与另一条渐近线方程：的交点，，所以，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简洁性质的应用，是基本学问的考查，属于基础题．13．【解析】14．【详解】因为，函数有两个极值点，即恰有两零点，明显时，不符合题意，当时，令得利用导数可知在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，故有最大值，所以只要即可，故填.15.或【详解】，令，因为，故，令，当时，，故；当时，，故；故答案为：，.【点睛】本题考查椭圆上的动点到定点的距离的最值问题，留意先构建目标函数，再换元转化为含参数的二次函数在给定范围上的最值问题，本题属于中档题.16．【详解】，存在，使得成立等价为．，令，得.当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数，当时，函数在处取得最大值，所以．因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数探讨不等式能成立问题，结合题意转化为与函数最值相等的不等式问题是解答的关键，考查计算实力，属于中等题.17．（1）（2）【详解】（1）由正弦定理，得，即，则，而，又，解得，故.（2）因为，则，因为，故，故，解得，故，则.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解实力以及化归与转化思想，属于中档题.18．（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析，【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，依题意．由得，解得．故．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．故，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以．【点睛】一般地，推断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明；（2）证明：.19．【详解】(1)因为平面,平面,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)以为原点,,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则,,,,,,由(1)知平面,故,又是的中点,,,且,∴平面,∴平面的一个法向量为,∵,∴,∴,设平面的法向量为,则且,∴且,∴,令,则,∴平面的一个法向量,∵二面角的正弦值为,∴,∴,∴或4.【点睛】考查空间中的垂直,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.20．【详解】（1）由于,将代入椭圆方程,即,由题意知,即,又,所以,,所以椭圆E的方程为.（2）当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为,,.由得,则,,所以,所以.当直线l与x轴垂直时,.综上所述,的取值范围为.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.21【详解】（1）因为，故可得，则，，故在点处的切线方程为，整理得.（2）关于的不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，令，只需即可.又，故在单调递减，在单调递增，故可得.则要满意题意，只需即可.故.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，属综合中档题，涉及构造函数法.22．【详解】因为曲线的方程，∴，∴，化简得,曲线的直角坐标方程为：.（2）把直线代入曲线得，整理得，.∵，所以方程有两个不等实根，设为方程的两个实数根，由韦达定理可得,，，∴为异号，又∵点（3，1）在直线上，由参数方程中参数的几何意义可得,