三角形的七大全等模型（压轴专练）含解析

三角形的七大全等模型(压轴专练)目录(一)有公共顶点的等边三角形(二)有公共顶点的等腰直角三角形(三)顶角相等的等腰三角形11(1)如图1△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CBAD和BE的数量关系是．(2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE②图2中∠AFB的度数是．(3)如图3△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°AB=BCDE=ECAD和直线BE交于点F∠AFBADBE间的数量关系．(1)AD=BE(2)①AD=BE②60°(3)∠AFB=45°AD=2BE(1)由等腰三角形的性质即可求解；(2)①可证△ACD≅△BCE,可得AD=BE②由全等三角形的性质可得∠ACD=∠CBF解决问题；ADBEACBC(3)结论：∠AFB=45°,AD=2BE,先证明△ACD∼△BCE,可得==2,∠CBF=∠CAF,由此即可解决问题．(1)AD=BE；证明：∵△CAB和△CDE是等边三角形，∴CA=CB,CD=CE,∴AD=BE，故填：AD=BE；(2)①AD=BE；证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中2AC=BC∵∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≅△BCE(SAS),∴AD=BE；②∵△ACD≅△BCE,,∴∠CAD=∠CBF,设BC交AF于点O∵∠AOC=∠BOF,∴∠BFO=∠ACO=60°,∴∠AFB=60°,故答案为：60°；(3)结论：∠AFB=45°,AD=2BE,理由如下：在Rt△CDE中，∵∠CDE=45°,22∴sin∠CDE=,∵∠ABC=∠DEC=90°,AB=BC,DE=EC,∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE,ACBCDCEC1===2,sin∠CDE∴△ACD∼△BCE,ADBEACBC∴==2,∠CBF=∠CAF,∴AD=2BE,∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF,∴∠AFB=∠ACB=45°．(一)等边三角形中120°含60°半角模型(二)等腰直角三角形中90°含45°半角模型31如图1ABCD中，AC=2BD=23ACBD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图260°角的顶点放在菱形ABCD的顶点AA三角板60°角的两边分别与边BCCD相交于点EFEF．判断△AEF明理由．(1)2(2)60°(3)见详解(1)由菱形的性质得出OA=1OB=3(2)得出△ABC是等边三角形即可；(3)由△ABC和△ACDASA可证得△ABE≌△ACFAE=AF是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，1212∴△AOBOA=AC=1,OB=BD=3．∴AB=+OB2=1+(3)2=2；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，由(1)得：AB=AC=BC=2，∴△ABC为等边三角形，∠BAC=60°；(3)△AEF是等边三角形，∵由(1)ABCD的边长是2AC=2，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，4∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF，∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中，AB=AC∠EBA=∠FCA∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．关键是熟练掌握菱形的性质．(一)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)已知直角△ABC和等腰直角△DBCAB+AC=2AD．(二)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)已知直角△ABC和等腰直角△DBCAB-AC=2AD．(三)“等边三角形对120°模型”．△ABC是等边三角形，∠BPC=120°PB+PC=PA；5(四)“120°等腰三角形对60°模型”△ABC∠BAC=120°∠BPC=60°PB+PC=3PA；1如图1Rt△ABC中，∠ABC=90°BA=BCMN是过点A的直线CD⊥MN于点D接BD．(1)DCADBD1B作BE⊥BDMN于点EDC+AD=ꢀꢀBD．(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DCADBD(3)拓展延伸在直线MN绕点A△ABDCD长为1BD的长．(1)2(2)AD-DC=2BD(3)BD=AD=2+1．(1)根据全等三角形的性质求出DCADBD之间的数量关系(2)过点B作BE⊥BDMN于点E．AD交BC于O，证明ΔCDB≌ΔAEBCD=AEEB=BD，根据ΔBEDDE=2BD，再根据DE=AD-AE=AD-CD.(3)根据ABCDD在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．在DA上截取一点H得CD=DH=1CH=AH=2，6由BD=AD即可得出答案.解：(1)如图1中，由题意：ΔBAE≌ΔBCD，∴AE=CDBE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=2BD，∴DC+AD=2BD，故答案为2．(2)AD-DC=2BD．B作BE⊥BDMN于点E．AD交BC于O．∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC，∴∠ABE=∠CBD．∵∠BAE+∠AOB=90°∠BCD+∠COD=90°∠AOB=∠COD，∴∠BAE=∠BCD，∴∠ABE=∠DBC．又∵AB=CB，∴ΔCDB≌ΔAEB，∴CD=AEEB=BD，∴ΔBD为等腰直角三角形，DE=2BD．∵DE=AD-AE=AD-CD，∴AD-DC=2BD．(3)如图3ABCDD在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．此时DG⊥ABDB=DADA上截取一点HCD=DH=1CH=AH=2，∴BD=AD=2+1．图形特性是解题的关键.71如图，AB=BCAB⊥BCAE⊥BD于FBC⊥CD，求证：EC=AB-CD．见解析利用ASA证明出△ABE≌△BCD证明：∵AB⊥BCCD⊥BC，∴∠ABC=∠ACD=90°∴∠AEB+∠A=90°∵AE⊥BD∴∠BFE=90°∴∠AEB+∠FBE=90°∴∠A=∠FBE，又∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD，∴AB=BCBE=CD，∴EC=BC-BE=AB-CD思想来间接证明．8∠B=∠2=∠C(BE=AC或EF=AE或BF=EC)△BEF≌△CAE(AAS或ASA)证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠3∠4=180°-∠C-∠3∵∠2=∠C∴∠1=∠4∵∠B=∠CBE=AC或EF=AE或BF=EC△BEF≌△CAE(AAS或ASA)1ABC中，AB=AC=2∠B=40°D在线段BC上运动(点D不与点BC重合)AD，作∠ADE=40°DE交线段AC于点E．(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=______°∠AED=______°；(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE(3)在点D的运动过程中，△ADE∠BDA说明理由．(1)25°65°(2)2(3)可以，110°或80°.(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当DC=2∠DEC+∠EDC=140°∠ADB+∠EDC=140°∠ADB=∠DECAB=DC=2△ABD≌△DCE．(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．解：(1)∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，9又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∠B=∠C∠ADB=∠DECAB=DC∴△ABD≌△DCE(AAS)；(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．模型讲解AP是∠BAC的平分线，BO⊥APOBO交AC于点D△ABO≌△ADO,AB=ADOB=OD．△ABO与△ADO中，∠BAO=∠DAO,AO=AO,∠AOB=∠AOD,∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD,OB=OD．1ΔABC中，AB=AC∠A=90°∠ACB的平分线CD交AB于点E∠BDC=90°，求证：CE=2BD.10见解析.延长BD交CA的延长线于F△ACE≌△ABFCE=BF△CBD≌△CFD出BD=DF延长BD交CA的延长线于F，∵∠BAC=90°∴∠BAF=∠BAC=90,∠ACE+∠AEC=90°∵∠BDC=90°∴∠BDC=∠FDC=90°∴∠ABF+∠BED=90°∵∠AEC=∠BED∴∠ACE=∠ABF∵AB=AC∴ΔACE≌ΔABF(ASA)∴CE=BF∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∵CD=CD∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)1∴BD=FD=BF212∴BD=CE∴CE=2BD键．SSA(胖瘦模型)胖瘦模型--模型讲解△ABC中，AB=ACP在线段BC上且P不是BC的中点．11(变胖)BC上截取CQ=BPAQ△ABQ≌△ACP(SAS),AP=AQ．6(变瘦)BC上截取CQ=BPAQ△ABP≌ACQ(SAS),AP=AQ．A作AM⊥BCM,△ABM≌△ACM(SAS)．SSA．处理方法：1变胖(加等腰)．2变瘦(减等腰)．1ABCD中，BC>BAAD=CDBD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．见解析先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,AB=EB根据∠ABD=∠EBD,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．BD=BD再根据AD=CD,等量代换可得ED由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．．证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,AB=EB在△ABD和△EBD中,∠ABD=∠EBD,BD=BD∴△ABD≌△EBD(SAS),12∴AD=ED,∠A=∠BED．∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.实践练1△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDCADE在同一条直线上．若∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()A.60°B.65°C.70°75°B根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴△ABC≅△EDC，∴∠DCE=∠ACB=20°∠BCD=∠ACE=90°AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵点ADE在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°AC=CE，13∴∠DAC+∠E=90°∠E=∠DAC=45°，∴∠ADC=65°；故选：B．2如图所示的正方形ABCDE在边CD△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF∠FAB=20°．旋转角的度数是()A.110°B.90°C.70°20°B根据正方形的性质得到AB=AD∠BAD=90°△ADE≌△ABF∠FAE=∠BAD=90°∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∠BAD=90°，由旋转得△ADE≌△ABF，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90°，∴旋转角的度数是90°，故选：B．3△ABC中，AB=6BC=10BD是边ACBD的长度可能为()A.1B.2C.58C延长BD至点EBD=DECE△ABD≌△CEDCE=ABBD的取值范围．BD至点EBD=DECE，∵BD是边AC上的中线，∴AD=CD，又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△CEDSAS，∴CE=AB=6∴BC-CE<BE<BC+CE，14∴10-6<BE<10+6：4<BE<16，∴2<BD<8，故选C．角形全等．4E是△ABC内一点，∠AEB=90°AE平分∠BACD是边ABDE交边BC于点FAB=6EF=1AC的长为()A.7B.8C.910B延长BE交AC于HΔHAE≅ΔBAEAH理解答即可．BE交AC于H，∵AE平分∠BAC，∴∠HAE=∠BAE，∠HAE=∠BAE在ΔHAE和ΔBAE中，AE=AE，∠AEH=∠AEB∴ΔHAE≅ΔBAE(ASA)，∴AH=AB=6HE=BE，∵HE=BEAD=DB，∴DF⎳AC，∵HE=BE，∴HC=2EF=2，∴AC=AH+HC=8，故选：B．理是解题的关键．5ΔABC中，∠ACB=90°AC=BCC的坐标为(-2,0)A的坐标为(-6,3)B的坐标()15A.3,4B.2,3C.2,41,4D由题意过A和B分别作AD⊥OC于DBE⊥OC于E△ADC≌△CEB由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．A和B分别作AD⊥OC于DBE⊥OC于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CBE=90°在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCEAC=BC∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BEAD=CE，∵点C的坐标为(-20)A的坐标为(-63)，∴OC=2AD=CE=3OD=6，∴CD=OD-OC=4OE=CE-OC=3-2=1，∴BE=4，∴则B点的坐标是(14)．故选：D.AAS证B的坐6如图，∠ACB=90°AC=BCAE⊥CE于点EBD⊥CD于点DAE=5cmBD=2cmDE的长是()A.8cmB.4cmC.3cm2cmC∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD∠CAE=∠BCDΔAEC≅ΔCDB后求解．∵∠ACB=90°AC=BCAE⊥CE于EBD⊥CE于D，∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠CAE=∠BCD，又∵∠AEC=∠CDB=90°AC=BC，∴ΔAEC≅ΔCDB．∴CE=BD=2CD=AE=5，∴ED=CD-CE=5-2=3(cm)．故选：C．16∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD∠CAE=∠BCD7如图，△ABC按顺时针方向转动40°得△AEDD恰好在边BC∠C=°．70由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AEDAD=AC∠EAB=∠CAD=40°由三角形内角和定理即可求出答案．∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，∴△ABC≌△AED，∴AD=AC∠EAB=∠CAD=40°，180°-∠CAD180°-40°∴∠C===70°．22故答案为：70．8△ABC中，∠ACB=90°△ABC绕点A逆时针旋转到△AEFBC交EF于点DBD=5BC=4DE=．3AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC(HL)DF=DC=1AD．AD=AD在Rt△ADF和Rt△ADC中，，AF=AC∴Rt△ADF≌Rt△ADC(HL)，∴DF=DC，∵BD=5BC=4，∴CD=DF=5-4=1，∵EF=BC=4，∴DE=EF-DF=4-1=3．故答案为：3．179OABC放在平面直角坐标系中，OC的坐标是(32)A的坐标是．(-23)作AD⊥y轴于点DCE⊥x轴于点E△AOD≌△COEC(32)以OD=OE=3AD=CE=2A在第二象限求出点A的坐标．作AD⊥y轴于点DCE⊥x轴于点E∠ADO=∠CEO=90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=∠DOE=90°OA=OC，∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠ADO=∠CEO在△AOD和△COE中，∠AOD=∠COE，OA=OC△AOD≌△COE(AAS)，∵C(32)，∴OD=OE=3AD=CE=2，∵点A在第二象限，∴A(-23)，故答案为：(-23)．键．10在△ABC中，AB=8AC=6BC边上的中线AD的取值范围是1<AD<7．延长AD至EDE=AD△ABD≌△ECDSASCE=ABAE得解．AD至EDE=ADCE．DE=AD在△ABD和△ECD中，∠ADB=∠CDEDB=DC∴△ABD≌△ECDSAS，∴CE=AB，在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC，即2<2AD<14故1<AD<7．18故答案为：1<AD<7．角形是解题的关键．11(2016育才周测)ΔABC和ΔCDEACE在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点PBE与CD交于点QPQ．①AD=BEPQ∥AEAP=BQDE=DP∠AOB=60°．成立的结论有．并写出3对全等三角形．】①②③⑤△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE；②可通过证明△BCQ≌△ACP△PCQPQ∥AE．③由②中△BCQ≌△ACPAP=BQ；④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQDE>QE④错误；⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论．由前面的证明过程可得出三个全等三角形．△ABC和△DCEACE在同一条直线上，∴AC=BCEC=DC∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△BCE∴AD=BE②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ④∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵CD=CE∠DCP=∠ECQ=60°，∴△CDP≌△CEQ(ASA)．∴DP=EQ，∵DE>QE∴DE>DP⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°19∴由上面证明过程可知△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ．△ACD≌△BCE△BCQ≌△ACP△CDP≌△CEQ．60°的特征判断三角形全等是解题关键．12ABCD中，BC>BAAD=DCBD平分∠ABC∠A+∠C的度数是度．180BC上取一点E使BE=BADE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∵BA=BEBD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠A=∠BEDAD=DE，∵AD=DC，∴DE=DC，∴△DEC为等腰三角形，因此∠C=∠DEC，∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°．故答案为180法．1320(1)如图1∠BAD=90°AB=ADB作BC⊥AC于点CD作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°△ABC≌△DAE．进而得到AC=BC=AEK(2)如图2∠BAD=∠CAE=90°AB=ADAC=AEBC,DEBC⊥AF于点FDE与直线AF交于点GG是DE的中点；(3)如图3ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S△DCE的面积为SS+S=10．1212求出S1的值．(1)DE(2)见解析(3)5(1)由△ABC≌△DAE即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AF用K的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EANDM=EN△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ用K的结论可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP一步可证△AMQ≌△FNQ(1)解：∵△ABC≌△DAE∴AC=DE故答案为：DE；(2)DM⊥AF,EN⊥AFK△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN∴AF=DM,AF=EN∴DM=EN∵∠DMG=∠ENG=90°,∠DGM=∠BGN∴△DMG≌△ENG∴GM=GN即G是DE的中点(3)解PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ∵四边形ABCD和四边形DEGF均为正方形∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DFK△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP∴SADM=S,SDFN=SAM=DP,FN=DP∵∠AMQ=∠FNQ=90°,∠AQM=∠FQN∴△AMQ≌△FNQ∴S=S∴S+S+SDFN=S+S+SDFN=SADM+SDFN=S+S即：S=S2∵S+S=1012∴S=514(1如图1ABCD中，AB=AD∠ABC=∠ADC=90°∠BAD=100°∠EAF=50°21线段BEDFEF(2如图2ABCD中，AB=AD∠ABC+∠ADC=180°∠BAD=2∠EAF．请写出线段BE，DFEF(3如图3(O处)北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/达CD75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．(1)EF=BE+DF(2)EF=BE+DF(3)85海里(1)延长CD至点GDG=BEAG△ABE≌△ADGAE=AG∠BAE=∠DAG∠BAD=100°∠EAF=50°△AEF≌△AGF，从而得到EF=FG(2)延长CD至点HDH=BEAH△ABE≌△ADHAE=AH∠BAE=∠DAH∠BAD=2∠EAF△AEF≌△AHFEF=FH(3)连接CDACBD交于点M∠AOB=2∠COD∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°(2得：CD=AC+BD(1)EF=BE+DFCD至点GDG=BEAG，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=100°∠EAF=50°，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；(2)EF=BE+DFCD至点HDH=BEAH，∵∠ABC+∠ADC=180°∠ADC+∠ADH=180°，22∴∠ADH=∠ABC，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH∠BAE=∠DAH，∵∠BAD=2∠EAF∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；(3)CDACBD交于点M，∠AOB=20°+90°+40°=150°∠OBD=60°+50°=110°∠COD=75°∠OAM=90°-20°=70°OA=OB，∴∠AOB=2∠COD∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由(2CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．思想的应用．15已知：△ABC≌△DEC∠ACB=90°∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．()(1)64°(2)SBDC=SACE23(1)由全等可知CA=CDD在AB上时，△CAD(2)(1)解：∵△ABC≌△DEC，∴CA=CD，又∵∠ACB=90°∠B=32°，∴∠A=∠ADC=90°-32°=58°，∴在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-2×58°=64°，故答案为：64°．(2)B作△BDC的边CD上的高BGE作△ACE的边AC△ABC≌△DEC知：∠BCG+∠DCF=90°∠ECF+∠DCF=90°CD=AC，∴∠BCG=∠ECF(同角的余角相等)，∴在Rt△BCG与Rt△ECF中有：∠BCG=∠ECF∠BGC=∠EFC=90°BC=EC∴Rt△BCG≌Rt△ECF(AAS)，∴BG=EF，1212∵S=CD⋅BGS=AC⋅EF，∵CD=ACBG=EF，∴SBDC=S故答案为：SBDC=S，．:16如图1△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°C和点D在ABE为AD边上的AC=AECE交直线AB于点GA作AF⊥AD交直线CE于点F．(Ⅰ)求证：△AGE≌△AFC；(Ⅱ)若AB=AC：AD=AF+BD；(Ⅲ)如图2AB=ACC和点D在ABADAFBD的数量关系．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)AF=AD+BD(Ⅰ)先判断出∠ACF=∠AEG∠CAF=∠EAG24(Ⅱ)先用ASA判断出△ACM≌△ABDAM=ADCM=BD(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC∠AGE=∠AFCCM∥AB∠MCF=∠AGCMF=CM(Ⅲ)同(Ⅱ)(Ⅰ)∵AC=AE，∴∠ACF=∠AEG，∵AF⊥AD，∴∠DAF=90°=∠CAB，∴∠DAF-∠FAG=∠CAB-∠FAG，∴∠CAF=∠EAG，∠AEG=∠ACF在△AGE和△AFC中，AE=AC，∠EAG=∠CAF∴△AGE≌△AFC(ASA)；(Ⅱ)如图1C作CM⊥ACAF延长线于点M，∴∠ACM=90°=∠ABD，由(Ⅰ)知，∠CAF=∠EAB，∠CAF=∠BAE在△ACM和△ABD中，AC=AB，∠ACM=∠ABD=90°∴△ACM≌△ABD(ASA)，∴AM=ADCM=BD，由(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC，∴∠AGE=∠AFC，∴180°-∠AGE=180°-∠AFC，∴∠AGC=∠AFG，∵∠CFM=∠AFG，∴∠AGC=∠CFM，∵∠BAC=90°=∠ACM，∴∠BAC+∠ACM=180°，∴CM∥AB，∴∠MCF=∠AGC，∴∠CFM=∠MCF，∴MF=CM，∴AM=AF+CM，∴AD=AF+BD；(Ⅲ)AD=AF-BD；过点C作CM⊥ACAF于点M，∴∠ACM=90°=∠ABD，由(Ⅰ)知，∠CAF=∠EAB，∠CAF=∠BAE在△ACM和△ABD中，AC=AB，∠ACM=∠ABD=90°∴△ACM≌△ABD(ASA)，25∴AM=ADCM=BD，由(Ⅰ)知，△AGE≌△AFC，∴∠G=∠F，∵∠BAC=90°=∠ACM，∴CM∥AB，∴∠MCF=∠G，∴∠F=∠MCF，∴MF=CM，∴AF=AM+CM=AD+BD，故答案为：AF=AD+BD．17已知，△ABC中，∠BAC=90°AB=ACm过点ABD⊥m于DCE⊥m于Em绕点A旋转至图1DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2BD与DECE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BDDECE存在哪几种不同的数量关系？(明)(1)DE=BD-CE(2)DE=BD+CEDE=BD-CEDE=CE-BD．(1)利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；(2)BDDECE存在3种不同的数量关系；(1)2，∵BD⊥mCE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．∠BDA=∠CBA在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAB，AB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CEBD=AE∵DE=AE-AD，∴DE=BD-CE．(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BDDECE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CEDE=26BD-CEDE=CE-BD．如图1时，DE=BD+CE，如图2时，DE=BD-CE，如图3时，DE=CE-BD(证明同理)18△ABC和△AEF中，∠B=∠EAB=AEBC=EF∠EAB=25°∠F=57°BC分别交AFEF于点MN．(1)请说明∠EAB=∠FAC的理由；(2)△A