初中数学抽象函数的性质及其应用6种常考题型归类及答案解析

重难点02抽象函数的性质及其应用6种常考题型归类求抽象函数值．（2020秋•西城区校级期末）已知函数f(x)的定义域是)，满足f（）1且对于定义域内任意x，yf(xy)f(x)f(y)成立，那么f（）f4）的值为(A．1．2．3D．4)2010yf(x)的定义域为)x，y都2有f(xy)f(x)f(y)f2）1f()的值为()21212A．．．2D．2x2022xRf(x)f(x)fx)1f(x)2f()„x„x1，1251f(x„f(x)f()．122022x，yf(xy)f(x)f(y)f（3）3f6）；f(．．（2022秋•西城区校级期中）函数f(x)的定义域为D，若对于任意x，xDxx1212有f(x„f(x)f(x)在Df(x)在[0，12x111个条件：①f(0)0；②f()f(x)；③fx)1f(x)f()f()()3238122334A．．．1D．2022f(x)的定义域为Rf(xy)f(xy)f(x)f(y)，f221）1A．3f(k)()k1．2．0D．12022yf(x)xNf(xf(x)2fl)3，则f3）．抽象函数的奇偶性问题．（2019秋•东城区校级期中）已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有2f(x)f(y)f(xy)，且当x0f(x)0，f．31f(0)的值；2）求证：f(x)为奇函数；3f(x)在[3，上的最大值与最小值．2021R的单调函数f(x)f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，且f3）6，1f(0)，f（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；13）若对于任意x[,3]f(2)f(2x0成立，求实数k的取值范围．22022f(x)是RabR有f(ab)fa）f（b），且f(1．（Ⅰ）求f(0)，f2（Ⅱ）证明：f(x)是奇函数；（Ⅲ）若实数t满足：ftft)0t的取值范围．．（2021秋•东城区期末）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)②对任意x[0，，f(x)0．（Ⅰ）求f(0)；（Ⅱ）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f（1）0，直接写出f(x)的所有零点（不需要证明）．．（2022秋•朝阳区校级期中）已知f(x)是定义在(，(0，)上的函数，满足下列两个条件：当x0f(x)0恒成立；对任意的x，y(，(0，)，都有f(x)f(y)f(xy)f()．yx1f1f(的值；12）证明：f(x)为奇函数，并且f(x)f()；x13f(x)在区间(0，上单调递减，直接写出关于x的不等式f(x2xf(0的解集．3．（2023秋•东城区期中）已知f(x)是定义在(，(0，)上的函数，满足下列两个条件：当x0f(x)0恒成立；对任意的x，y(，(0，)，都有yf(x)f(y)f(xy)f()．x1f1f(；2）判断f(x)的奇偶性，并证明；13f(x)在区间(0，上单调递减，直接写出关于x的不等式f(xx„f()的解集．23．（2021秋•东城区校级期末）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，均有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)；②f1）0；对任意x[0，，f(x)0．1f(0)f2）的值，并判断f(x)的奇偶性；2）对任意的xR，证明：f(xf(x)；3）直接写出f(x)的所有零点（不需要证明）．抽象函数的单调性问题．（2018秋•门头沟区校级期中）已知f(x)的定义域为)，且满足f4）1，对任意1，x)，都有f(xx)f(x)f(x)xf(x)0．212121f12）证明：f(x)在)上是增函数；3）解不等式f(3xf(2x6)3．12021)上的函数f(x)f()f(x)f(x)x1122f(x)0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f(x)的单调性并予以证明；（Ⅲ）若f（3）1，解不等式f(x)2．2．（2022秋•东城区期末）函数f(x)的定义域为)，若对任意的s，t(0,)，均有f(st)f(s)ft)．（Ⅰ）若f（1）0，证明：f2）0；（Ⅱ）若对x)，f(x)0，证明：f(x)在)上为增函数；（Ⅲ）若f（1）0，直接写出一个满足已知条件的f(x)的解析式．答案不唯一）．．（2020秋•石景山区校级期中）已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(xy)f(x)f(y)，1x0f(x)0，f(．2（Ⅰ）求证：函数f(x)是奇函数；（Ⅱ）利用函数的单调性定义证明，f(x)在R上单调递减；3f(2x)f(xx1对于任意的x[,)m的取值范围．22．（2022秋•海淀区校级期末）已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，yf(xy)f(x)f(y)f(10x1f(x)(0，．1）判断并证明f(x)的奇偶性；2）判断f(x)在)上的单调性，并证明；3x，x[1，，a[1，2|f(x)f(x)|m2恒成立，求实数21212m的取值范围．解抽象不等式2023f(x)在(,0)f(0f(x)0的解集为2019f(x)是定义在(4)(4，上是增函数，．f（a）f（3），则a的取值范围是()A．(．(，，)D．(4，，C．(．（2017秋•西城区校级月考）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0f(x)x4x，2则不等式(x)0的解集为(A．(，(4，)C．(，(0，)．(4，(4，)D．(4)．（2022秋•番禺区期中）f(x)是定义在R上的奇函数，当x0f(x)xx，则不等式2(xf(x)0的解集(A．(,)．(0)．D．)2022f(x)是定义在[1f(x)在[1，上t单调递增，若f(2tf()0，则实数t的取值范围为()22222A．(,)．[0,)．(,)D．[0，)5533f(x)2021f(x)(,0)上是减函数，f00x的解集是()A．{x|1x0或0xC．{x|1x0或x．{x|x1或0xD．{x|x1或xx．（2019秋•海淀区校级月考）若f(x)是定义在)上的增函数，且f()f(x)f(y)．y1f1）的值；12f2）1，解不等式f(xf()2．x．（2022秋•丰台区期中）已知定义域为R的函数f(x)满足以下条件：①[f(x)f(x)](xx)0，(x，x(0,)，xx)；12121212②f(x)f(x)0；③f(0．则(x)0成立的x的取值范围是(A．(3，，)C．()．(，(0，D．(，，)2023f(x)满足：①xR，fx)fx)且f(x)f(x)；当x[1，f(x)x．则不等式(x)0的解集为．抽象函数的周期性问题．（2017秋•海淀区校级期末）定义在R上的偶函数f(x)f(xf(x)，且在，2]减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则()A．f(sin)f)C．f(sin)f(sin)．f(sin)f)D．f(cos)f)2021f(x)4f3）2，则f(A．2)．0．2D．4．（2023秋•海淀区校级期中）已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的xR，都有39f(xf(x)，且当x]f(x)x2f()．242023f(x)的定义域为Rf(x2f(x)x(038f(x)x(x，f()x(，m]f(xꢀm的取值范围是．292022秋•丰台区期末）已知函数f(x)的定义域为Rf(x2f(x)x(0，15f(x)x(2x)ftꢀt的最大值是()44511494A．．．D．抽象函数的对称性问题2021R上的函数f(x)①f(0)0②f(x)在区间[2，上单调递减；③f(x)的图象关于直线x2对称，则f(x)可以是．（2022春•朝阳区期末）设函数yf(x)的定义域为R，且满足fx)fx)，f(4x)f(4x)0x(0，2]时，f(x)x2xf3）x7)时，f(x)的取值范围为．（2023春•东城区校级期末）已知函数f(x是偶函数，当1xxf(x)f(x)0恒．2．12211成立，设af(),bf(2),cfa，b，c的大小关系为()2A．abc．cba．bcaD．bac2022秋•西城区校级期中）已知定义域为R的函数yf(x)fx)fx)，且当1，f(x)f(x)1x)xx时，210af()bf（cf3()212212A．abc．cab．bcaD．bac．（2023秋•通州区期中）我们知道，函数yf(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数yf(x)yf(x)的图象关于点H(a,b)成1x1中心对称图形的充要条件是函数yf(xa)b为奇函数，则函数f(x)x的对称中心是()A．(2023f(x)对任意xRf(xf(x)f(x)f(x)，当x(1，f(x)x．则下列结论正确的是(．．(0,0)D．(3)A．函数yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)B．函数yf(x)的图象关于直线x2k(kZ)Cx[2，f(x)(xD．函数y|f(x)|的最小正周期为22021yf(x2)f(xfx)x[0f(x)24(x1，给出下列四个结论：3x①f(x)图像关于(0)对称；②f(x)图像关于直线x1对称；1③f；2④f(x)在区间(2021,2022)单调递减．其中所有正确结论的序号是．．（2021秋•昌平区校级期末）函数f(x)的定义域为[1，，其图象如图所示．函数g(x)义域为R的偶函数，满足g(xg(x)，且当x[1，g(x)f(x)．给出下列三个结论：12①g；g(x)的图象关于直线x1不等式g(x)0的解集为R；g(x)的单调递增区间为[2k，2k，kZ．其中所有正确结论的序号是．2023秋•东城区校级期末）已知定义在{xR|x上的函数f(x)①f(x)是偶函数，②f(x)在)上单调递增，对任意非零实数x、yf(xy)f(x)f(y)，写出符合条件的函数f(x)的一个解析式（写一个即可）．2022R上的偶函数f(x)在[0)f12，f(3，给出下列四个结论：①f(x)在(，上单调递减；②f(x)x(，使得f(xꢀ2；③f(x)有且仅有两个零点；不等式2f(x)3的解集为(2，，．其中所有正确结论的序号是．2023R上的函数f(x)f(xy)f(x)f(y)当x0f(x)0．给出以下四个结论：①f(0)0；②f(x)可能是偶函数；③f(x)在[m，n]上一定存在最大值f(n)；④f(x0的解集为{x|x．其中正确的结论为()A．．．D．2022秋•朝阳区期中）函数f(x)的定义域为Dx，xDxx1212f(x„f(x)f(x)在Df(x)为定义在[0，12足以下三个条件：①f(0)0；②fx)f(x)1，x[0，；当x]f(xꢀx恒成立．则133235f()f()．79．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数f(x)的定义域为)，满足对任意x，y)，f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y)2x1f(x)2．则下列说法正确的是．①f1）2；②f1）1；当xf(x)2；④f(x)在)上是减函数；存在实数k使得函数y|f(x)k|在上是减函数．12021a为常数，f(0)，f(xy)f(x)f(ay)f(y)f(ax)，2则()121A．f(a)．f(x)恒成立2C．f(xy)2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个2021秋•西城区校级月考）已知定义在R上的函数f(x)f(xy)f(x)f(y)x0f(x)0．给出以下四个结论：①f(0)0；②f(x)是奇函数；③f(x)在[m，n]上一定存在最大值f(n)；④f(x0的解集为{x|x．其中所有正确结论的序号为．2021f(x)对任意实数xyf(xy)f(x)f(y)x0，f(x)0f（1）2．1）判断f(x)的奇偶性；2f(x)在区间[3，上的最大值；3）解关于x的不等式f()2f(x)f()4．2．（2021秋•西城区校级期中）已知函数f(x)在(上有意义，且对任意x，y(xyf(x)f(y)f()．1（Ⅰ）求f(0)的值，判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（Ⅱ）若x(0)f(x)0，判断f(x)在(的单调性，并说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总1若f()1，请问是否存在实数a，使得f(x)f（）0恒成立，若存在，给出实数a的2一个取值；若不存在，请说明理由；1记a}abx(|f(x)|x求实数m的取值范围．2m|x|0，4抽象函数的性质及其应用6种常考题型归类求抽象函数值．（2020秋•西城区校级期末）已知函数f(x)的定义域是)，满足f（）1且对于定义域内任意x，yf(xy)f(x)f(y)成立，那么f（）f4）的值为(A．1．2．3D．4)【解析】f（4）f(2f（2）f2）2f2f（4）2．f（2）f4）123，故选：C．2010yf(x)的定义域为)x，y都2有f(xy)f(x)f(y)f2）1f()的值为()21212A．．．2D．2【解析】令x2，y1f2）f(2f（）f1f（1）0，111令xyff(2)f(2)f()，2221f()122令xy2122222f()f()f()f()2f()1，22222221f()22故选：B．x2022xRf(x)f(x)fx)1f(x)2f()„x„x1，1251f(x„f(x)f()．12x【解析】对于xR，f(x)f(x)fx)1，f(x)2f()，5111112令x可得，f()f)1，f()，2222令x0可得，f(0)2f(0)，f(0)0，05105设„x1f(x)1fx)2f()12f()，0000510505105122f()12f()，f()f()，112当x0时，则有f()f(0)，0511112f()f()，512211当„„f(x)，522116251516251又f()f()，f()，202216202222022211121f()．202216132故答案为：．2022x，yf(xy)f(x)f(y)f（3）3f6）；f(．【解析】对于任意两个实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)成立，xy3f（）2f（）6；令xy0f(0)2f(0)f(0)0；yx，可得f(0)f(x)f(x)0f(x)f(x)，f(x)为奇函数．由f3）ff1）f（）f（）f1）f（）3f1）3，则f1）1，f2）2，f4）4，f（6）6，f（）8，f，f(f．故答案为：6；10．．（2022秋•西城区校级期中）函数f(x)的定义域为D，若对于任意x，xDxx1212有f(x„f(x)f(x)在Df(x)在[0，12x111个条件：①f(0)0；②f()f(x)；③fx)1f(x)f()f()()323812233A．．．1D．4【解析】f(x)在[0，上为非减函数，①f(0)0，③fx)f(x)1，1112令x0f（）1xf()．22x1x②f()f(x)，f(x)2f()．3231112令x1，得12f()，f()．33111114令xf()f()；．216121211令xf()f()392341116当xx时，都有f(x„f(x，121298111114f(„f(„f()，f()．91868111434f()f()．382故选：D．2022f(x)的定义域为Rf(xy)f(xy)f(x)f(y)，f221）1A．3f(k)()k1．2．0D．1【解析】令y1f(xf(xf(x)f(xf(x)f(x，f(xf(xf(x)，f(xf(xf(x，f(xf(x)f(xf(xf(x)，f(x)的周期为6，令x1，y0得f（1）f1）f1）f(0)，解得f(0)2，又f(xf(x)f(x，f（2）f（1）f(0)1，f（3）f（2）f1）2，f（4）f（3）f2）1，f（5）f（4）f3）1，f（6）f（5）f4）2，6f(k)1121120，k122f(k)30ff(20)ff(22)f1）f（2）f3）f（4）3．k1故选：A．2022yf(x)xNf(xf(x)2fl)3，则f3）．【解析】根据题意，函数yf(x)，对任意xN，满足f(xf(x)2，若fl)3f（）f（）25，f（）f（）27，故答案为：7．抽象函数的奇偶性问题．（2019秋•东城区校级期中）已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有2f(x)f(y)f(xy)，且当x0f(x)0，f．31f(0)的值；2）求证：f(x)为奇函数；3f(x)在[3，上的最大值与最小值．【解析】（1）解：定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，可得f(0)f(0)f(0f(0)，从而f(0)0；2）证明：定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)f(y)f(xy)，令yx，可得f(x)f(x)f(xx)f(0)0，f(x)f(x)，故f(x)为奇函数；3）解：对任意x，xRxxxx0，于是f(xx)0，12121212则f(x)f(x)f[(xx)x]f(x)f(xx)，12122212f(x)f(x)f(xx)0，1212f(x)在R上为减函数，故函数的最大值为f(，最小值为f6f(f（3）[f（2）f1）][2f1）f（）]3f1）2，f（6）f([f(f(4，f(x)在[3，6]上的最大值为2，最小值为4．2021R的单调函数f(x)f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，且f3）6，1f(0)，f（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；13）若对于任意x[,3]f(2)f(2x0成立，求实数k的取值范围．2【解析】（1x0f(0y)f(0)f(y)，即f(y)f(0)f(y)，f(0)0，f（3）ff（）f2）f1）ff（）f1）f（f3）63f（1）6，可得f（）2；2）函数f(x)是奇函数，证明如下：取yxf(0)f[x(xf(x)f(x)0，移项得f(x)f(x)，f(x)是奇函数；13）f(x)是奇函数，且f(2)f(2x0在x[,3]上恒成立，21f(2)f2x)在x[,3]上恒成立，2f(x)是定义域在R的单调函数，且f(0)0f1）2，f(x)是定义域在R上的增函数，1212x在x[,3]上恒成立，2111k()2()在x[,3]上恒成立，2xx2111令g(x)()22()(21，xxx111„3，„2．23x1g(x)maxg()0．k0．2则实数k的取值范围为)．2022f(x)是RabR有f(ab)fa）f（b），且f(1．（Ⅰ）求f(0)，f2（Ⅱ）证明：f(x)是奇函数；（Ⅲ）若实数t满足：ftft)0t的取值范围．【解析】（Ⅰ）令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0；令a1，b1，则有f(0)f1）f(0f（1）1，所以f（）1，令ab1，则有f（2）f（1）f1）2；（Ⅱ）证明：因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，令ba，则有f(0)fa）f(a)，f（a）f(a)0，f(x)f(x)0f(x)f(x)，f(x)是奇函数．（Ⅲ）因为f(x)是R上的奇函数且是减函数，ftft)0ftft)f(t)，1t1t，解得t，21t的取值范围为(，)．2．（2021秋•东城区期末）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)②对任意x[0，，f(x)0．（Ⅰ）求f(0)；（Ⅱ）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f（1）0，直接写出f(x)的所有零点（不需要证明）．【解析】（Ⅰ）令x0，y0f(0)f(0)2f(0)f(0)，f(0)[f(0)0，因为对任意x[0，，f(x)0，f(0)1．（Ⅱ）f(x)是偶函数，证明如下：令x0，y为任意实数，则f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，即f(y)f(y)，所以f(x)是偶函数．（Ⅲ）若f（1）0y0f(xf(x2f(x)f1）0，即f(xf(x，则f(xf(x)，f(xf(xf(x)，f(x)4为周期的周期函数，又f(f1）0，f(x)的所有零点为2n1，nZ．．（2022秋•朝阳区校级期中）已知f(x)是定义在(，(0，)上的函数，满足下列两个条件：当x0f(x)0恒成立；对任意的x，y(，(0，)，都有f(x)f(y)f(xy)f()．yx1f1f(的值；12）证明：f(x)为奇函数，并且f(x)f()；x13f(x)在区间(0，上单调递减，直接写出关于x的不等式f(x2xf(0的解集．3【解析】（1）解：令xy1f1）f1）f1）f（1f（1）0或f（）2．若f1）0x1，y1f1）f(f(f(，得f(0x0f(x)0矛盾，故f1）0舍去．取xy1f(f(f1）f（）4，得f(f(；12）证明：取y1f(x)f(f(x)f()，x1将xx，yf(x)f1）f(x)f()，x则f(x)f(f(x)f1），2f(x)2f(x)，即f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数．1令y1f(x)f(f(x)f()，x12f(x)f(x)f()，x111则f(x)f()f()f(x)f()；xxx113）解：设xx101，12121由f(x)f()f(x)在区间(0，上单调递减，x11f()f()f(x)f(x)，可得f(x)在，)上单调递增，1212111由f(x2xf(0f(x2x„f()f()f333311不等式f(x2xf(0„x2x1或1x2x3，331．1x的不等式f(x2xf(0的解集为[2，．3．（2023秋•东城区期中）已知f(x)是定义在(，(0，)上的函数，满足下列两个条件：当x0f(x)0恒成立；对任意的x，y(，(0，)，都有yf(x)f(y)f(xy)f()．x1f1f(；2）判断f(x)的奇偶性，并证明；13f(x)在区间(0，上单调递减，直接写出关于x的不等式f(xx„f()的解集．23【解析】（1xy1f若f1）0xy1f与x0f(x)0矛盾，故f（）0舍去．f（1）2，f(2f（1）4x0f(x)0，f(2；2（）2f（），f（）0或f1）2，2(2f（）0得f(0，22）函数f(x)为奇函数，证明：取yx，x1f(f(x)f(x)f(x)，则2f(x)2f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数；13y1f(x)ff(x)f()，x11f（1）2，可得2f(x)f(x)f()f(x)f()，xx1ff()，31由函数f(x)在区间(0，上单调递减，且f(x)f()，x1111设x，x)且xx，可得01f()f()，1212122111f(x)f(x)f()f()0f(x)f(x)，121212所以函数f(x)在区间)上单调递增，1x所以不等式转化为22xꢀ3，解得1，xx3所以不等式的解集为[2，．．（2021秋•东城区校级期末）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，均有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)；②f1）0；对任意x[0，，f(x)0．1f(0)f2）的值，并判断f(x)的奇偶性；2）对任意的xR，证明：f(xf(x)；3）直接写出f(x)的所有零点（不需要证明）．【解析】（1）对任意实数x，y，均有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，令xy0f(0)f(0)2f(0)f(0)，可得f(0)[f(0)0，对任意x[0，，f(x)0，f(0)0，f(0)1；令xy1f（）f2f12f（2）f(0)0，解得：f（）1，f(0)f2）2；f(x)定义域为R关于原点对称，且令x0f(y)f(y)2f(0)f(y)，f(y)f(y)2f(y)，即f(y)f(y)，f(x)是R上的偶函数；2y1f(xf(x2f(x)f（即f(xf(x0，则f(xf(x)0，f(xf(x)，f(xf[(xf(x[f(xf(x)，即f(xf(x)；3）f1）0f(x)4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得f(0得f(f1）f3）f（5）0，故f(x)的零点为奇数，即f(x)所有零点为2n1，nZ．抽象函数的单调性问题．（2018秋•门头沟区校级期中）已知f(x)的定义域为)，且满足f4）1，对任意1，x)，都有f(xx)f(x)f(x)xf(x)0．212121f12）证明：f(x)在)上是增函数；3）解不等式f(3xf(2x6)3．【解析】（1）对任意x，x)，都有f(xx)f(x)f(x)，121212令xx1，12ff1）f（1则f1）02x，x(0,)且xx，1212对任意x，x)，都有f(xx)f(x)f(x)，12121212则f(x)f(x)f()120xx，12121201，又当xf(x)0，f(x)f(x)f()0，12f(x)在)上是增函数3xx4ff（）f4）2，12令x4，x16f(64)f4）f3，12f(3xf(2x3f(64)f(x)的定义域为)，f(xx)f(x)f(x)恒成立12123x102x60(3xxx，12021)上的函数f(x)f()f(x)f(x)x1122f(x)0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f(x)的单调性并予以证明；（Ⅲ）若f（3）1，解不等式f(x2)2．【解析】（1xx0，代入得f1）f(x)f(x)0f1）0．121112）任取x，x(0,)xx1，由于当x1f(x)0，121221f()0f(x)f(x)0，因此f(x)f(x)．12122所以函数f(x)在区间)上是单调递减函数．1293f()f(x)f(x)得f()fff（3）1，所以f9）2．123由函数f(x)在区间)上是单调递减函数，且f(x2)f9得0x9，3x0或0x3，因此不等式的解集为(3，(0，．2．（2022秋•东城区期末）函数f(x)的定义域为)，若对任意的s，t(0,)，均有f(st)f(s)ft)．（Ⅰ）若f（1）0，证明：f2）0；（Ⅱ）若对x)，f(x)0，证明：f(x)在)上为增函数；（Ⅲ）若f（1）0，直接写出一个满足已知条件的f(x)的解析式．【解析】（Ⅰ）证明：令st1ff1）f（1），所以f（2）2f（1）0．（Ⅱ）证明：设0xx，原式中令sx，txx，12121代入可得f(xxx)f(x)f(xx)，121121即f(x)f(x)f(xx)，2121xx0，所以f(xx)0，2121f(x)f(x)f(xx)0，2121f(x)在)上单调递增．（Ⅲ）解：f(x)x1，x)．（答案不唯一）．．（2020秋•石景山区校级期中）已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(xy)f(x)f(y)，1x0f(x)0，f(．2（Ⅰ）求证：函数f(x)是奇函数；（Ⅱ）利用函数的单调性定义证明，f(x)在R上单调递减；3f(2x)f(xx1对于任意的x[,)m的取值范围．22【解析】证明：（Ⅰ）令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0，令yx，得f(0)f(x)f(x)，即0f(x)f(x)，f(x)f(x)所以函数f(x)是R上的奇函数．（Ⅱ）证明：任取x，xRxx，1212则f(x)f(x)f(x)f(x)f(xx)，121212因为当x0f(x)0，而xx，12即xx0，12f(xx)0，12f(x)f(x)，12f(x)在R上单调递减；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知函数f(x)是奇函数，1f(f，21f，21212f(2)fff1，所以不等式f(x)f(x22x1可化为：f(2x)f(xxf（2f(由(II)f(x)在R上单调递减，xxx3，故问题转化为x2x3对任意x[,)恒成立，对任意x[,)恒成立，2x)f(x2x，223222233即m1xx2212令t,t(0,]，x32故问题可转化为m1tt对任意t]恒成立，23令gt)t2t1，1其对称轴t，3123gt)ming()，323m，2即m的取值范围是(,)．3．（2022秋•海淀区校级期末）已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，yf(xy)f(x)f(y)f(10x1f(x)(0，．1）判断并证明f(x)的奇偶性；2）判断f(x)在)上的单调性，并证明；3x，x[1，，a[1，2|f(x)f(x)|m2恒成立，求实数21212m的取值范围．【解析】（1）函数f(x)为R上的奇函数．证明如下：证明：易知函数f(x)的定义域为R，令y1f(x)f(x)f(，又f(1，f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数；2）f(x)在)上的单调递增，证明如下：证明：由（1）知，f（）f(1，11当x0ff(xf(x)f(xx)f)f(x)f()10，所以f(x)0，xx2(x)0，121212xx0f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f()f(2f(，212122221xx0，所以f(x)01，21220x1f(x)(0，，10f()1，2f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，2121故f(x)在)上的单调递增．3）由（1）知，函数f(x)为奇函数，所以f(0)0，由（）知，当x0f(x)0f(x)在)上的单调递增，f(x)在R上的单调递增，所以当x[1，时，函数f(x)的最大值为f1）1，最小值为f(1，又任意x，x[1，，总有2|f(x)f(x)|m22恒成立，1212f(x)maxf(x)minm由题意可知m22mam0，22am0对a[1，恒成立，令g（a）m6g（）min0，222m0mm，解得„3或6，5m60ꢀ故实数m的取值范围是(，[6，)．解抽象不等式2023f(x)在(,0)f(0f(x)0的解集为．【解析】由题意知，奇函数f(x)在(,0)单调递减，f(0，所以函数f(x)在)单调递减，且f2）0，其草图如图：由图可知，f(x)0的解集为{x|2x0或x．故答案为：{x|2x0或x．2019f(x)是定义在(4)(4，上是增函数，f（a）f（3），则a的取值范围是()A．(．(，，)D．(4，，C．(【解析】根据题意，f(x)是定义在(4)上的偶函数，且在(4，上是增函数，则f(x)在区间[0，上为减函数，f（a）f（3），则fa|)f3），则有|a3，解可得：a3或a3；又由函数的定义域为(4)，即a的取值范围为(4，，；故选：D．．（2017秋•西城区校级月考）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0f(x)x4x，2则不等式(x)0的解集为()A．(，(4，)C．(，(0，．(4，(4，)D．(4)【解析】根据题意，设x0x0f(x)(x)2x)x24x，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)x24x，2ꢀx4x,x0则f(x)，x24x,x0x0(x)x(x24x)x2(x，(x)0即x(x0，解可得x4，2x0(x)x(x24x)x2(x，(x)0即x(x0，解可得x4，2故不等式的解集为(，(4，)，故选：A．．（2022秋•番禺区期中）f(x)是定义在R上的奇函数，当x0f(x)xx，则不等式2(xf(x)0的解集(A．(,)．(0)．D．)【解析】根据题意，当x0f(x)x2xxx)，则在区间f(x)0，在区间)f(x)0，f(x)为奇函数，在区间(0)f(x)0，在区间(,f(x)0，x10(xf(x)0x10或，解可得1x0，f(x)0f(x)0即不等式的解集为(0)，故选：B．2022f(x)是定义在[1f(x)在[1，上t单调递增，若f(2tf()0，则实数t的取值范围为()22222A．(,)．[0,)．(,)D．[0，)5533【解析】因为f(x)为奇函数，ttt则f(2tf()0可变形为f(2tf()f()，222f(x)在[1，0]上单调递增，且f(x)是定义在[1，上的奇函数，f(x)在[1，上单调递增，„„1t11t25则„1，解得t，2tt122所以实数t的取值范围为[0,)．5故选：B．2021f(x)(,0)上是减函数，f0的解集是(f(x)0x)A．{x|1x0或0xC．{x|1x0或x．{x|x1或0xD．{x|x1或x【解析】f(x)是奇函数，且在(,0)上是减函数，则f(x)在)上是减函数，f（1）0，则f(0，f(x)不等式0等价于(x)0，x当x0时，则f(x)0f(x)f(，解得x1；当x0时，则f(x)0f(x)f1），解得x1．f(x)综上所述，不等式0的解集为{x|x1或x．x故选：D．x．（2019秋•海淀区校级月考）若f(x)是定义在)上的增函数，且f()f(x)f(y)．y1f1）的值；2f2）1，解不等式f(xf()2．1xx【解析】（1xy0f()f(x)f(y)．可得f（）f(x)f(x)，y则f1）0；2）f（）1x4，y2，f2）f4）f（），即f4）2，1故原不等式为：f(xf()f(4)f(x(xf（4）xx301又f(x)在)上为增函数，故原不等式等价于：0得x．xx(x4．（2022秋•丰台区期中）已知定义域为R的函数f(x)满足以下条件：①[f(x)f(x)](xx)0，(x，x(0,)，xx)；12121212②f(x)f(x)0；③f(0．则(x)0成立的x的取值范围是(A．(3，，)C．()．(，(0，D．(，，)【解析】由条件①f(x)在)单调递增，由条件②f(x)为偶函数，由条件③f(f（3）0f(x)在(,0)单调递减．所以当x3或x3f(x)03x0或0x3f(x)0．x0不等式(x)0等价为x0f(x)0f(x)或，0x0即x0或，3x00x3xx30x3或x3．故选：B．2023f(x)满足：①xR，fx)fx)且f(x)f(x)；当x[1，f(x)x．则不等式(x)0的解集为．【解析】由①f(x)x1对称的奇函数，则f(x)f(2x)f(x)，f[2(xf(2x)f(4x)f(x)f(x)f(x，f(x)为周期为4的函数；由x[1，时f(x)x，易知：x，时f(x)2xf(x)部分图象如下：x0由(x)0x0或，结合图象知：(0)或等区间满足要求；f(x)0f(x)0所以不等式(x)0的解集为(4k2，4k)(4k，4k，kN．故答案为：(4k2，4k)(4k，4k，kN．抽象函数的周期性问题．（2017秋•海淀区校级期末）定义在R上的偶函数f(x)f(xf(x)，且在，2]减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则()A．f(sin)f)C．f(sin)f(sin)．f(sin)f)D．f(cos)f)【解析】根据题意，定义在R上的偶函数f(x)f(xf(x)，f(x)f(x，即函数f(x)的图象关于直线x1对称，又由函数f(x)在，2]上是减函数，则其在[0，上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则，则有，则有sinsin()cos，222又由函数f(x)在[0，上是增函数，则f(sin)f)；故选：A．2021f(x)4f3）2，则f(A．2)．0．2D．4【解析】根据题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)f(x)，f(x)的周期为4，则有ff(3f(f3f（3）2f3）2，故f2；故选：A．．（2023秋•海淀区校级期中）已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的xR，都有39f(xf(x)，且当x]f(x)x2f()．24【解析】根据题意，对任意的xR，都有f(xf(x)，3x]f(x)x2，2933339则f()f(f()f()()2．44444169故答案为：．162023f(x)的定义域为Rf(x2f(x)x(038f(x)x(x，f()x(，m]f(xꢀm的取值范围是．293111112【解析】由题意得f()f)2f()2(，222221114当x(0，f(x)x(x(x)2[，，241111当x(1，f(x)x(x(x)2，222831当x，2]f(x)2f(x2(xx2)2(x)2，225当x(2，f(x)4(x2)(x4(x)1，22，f(x2f(x)得f(xt)2f(x)，tZ)，t由此作出函数f(x)的大致图象如图：8783当x(2，时，令f(x)4(x2)(x，解得x或x，93878结合图象解不等式f(xꢀ，可得„或ꢀ，93389由于对任意x(，m]，都有f(xꢀ，7故m(,]，317故答案为：，(,]．232022秋•丰台区期末）已知函数f(x)的定义域为Rf(x2f(x)x(0，15f(x)x(2x)ftꢀt的最大值是()44511494A．．．D．【解析】由已知得：自变量每减小2个单位，函数变为原来的2当x(0，2]f(x)x(2x)[0，，则在此基础上，f(x4)[0，4]，11534545114令x(2x)故选：C．，解得x或t的最大值为4．444抽象函数的对称性问题2021R上的函数f(x)①f(0)0②f(x)在区间[2，上单调递减；③f(x)的图象关于直线x2对称，则f(x)可以是．【解析】根据题意，要求函数f(x)的图象关于直线x2对称，且在区间[2，4]上单调递减，可以考虑f(x)为开口向下二次函数，f(0)0，即函数图象经过原点，故f(x)可以是f(x)x故答案为：f(x)x4x（答案不唯一）．．（2022春•朝阳区期末）设函数yf(x)的定义域为R，且满足fx)fx)，f(4x)f(4x)0x(0，2]时，f(x)x2xf3）x7)时，f(x)的取值范围为24x（答案不唯一）；22．【解析】根据题意，函数yf(x)的定义域为R，且满足fx)fx)，令x0可得：f1）f3当x(0，2]f(x)x2xf（1）121f3）1；2f(x)fx)fx)，则有f(x)f(4x)，函数f(x)的图象关于直线x2对称，(4x)f(4x)0f(xf(x)，当x7)x4，此时有f(x)f(x，当x(02]f(x)x2x且f(x)的图象关于直线x21f(x0，2f(x)f(x„f(x)1，当x7)f(x)的取值范围为[0，；故答案为：1，[0，．．（2023春•东城区校级期末）已知函数f(x是偶函数，当1xxf(x)f(x)0恒12211成立，设af(),bf(2),cfa，b，c的大小关系为()2A．abc．cba．bcaD．bac【解析】根据题意，因为当1xxf(x)f(x)0即f(x)f(x)恒成立，122121f(x)在)上单调递增，f(x是偶函数，则f(x)的图象关于x1对称，15af()f()，bf（cf（322523，251f(2)f()ff(2)f()f，22bac．故选：D．2022秋•西城区校级期中）已知定义域为R的函数yf(x)fx)fx)，且当1，f(x)f(x)1x)xx时，210af()bf（cf3()212212A．abc．cab．bcaD．bac【解析】定义域为R的函数yf(x)fx)fx)，则函数yf(x)x1对称，f(x)f(x)当x，x)，xx210恒成立，121221则函数yf(x)在)单调递减，155af()f()，f2）f()f3222bac，故选：D．．（2023秋•通州区期中）我们知道，函数yf(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数yf(x)yf(x)的图象关于点H(a,b)成1x1中心对称图形的充要条件是函数yf(xa)b为奇函数，则函数f(x)x的对称中心是()A．(．．(0,0)D．(1x1【解析】根据题意，设函数f(x)x的对称中心为(,n)，1则f(xm)nxmn，xm111分析可得：函数f(xm)n为奇函数，则有xmn(x)mn0，xm1xm111变形可得：2m2n0，xm1xm1m1，n1，故函数f(x)的对称中心为(．故选：A．2023f(x)对任意xRf(xf(x)f(x)f(x)，当x(1，f(x)x3．则下列结论正确的是()A．函数yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)B．函数yf(x)的图象关于直线x2k(kZ)Cx[2，f(x)(x3D．函数y|f(x)|的最小正周期为2【解析】因为f(xf(x)，所以f(x)f(xf(xf(x，f(x)的周期为4，又f(x)f(x)，所以f(x)f(xf(x)x1对称，又x(1，f(x)x，故画出f(x)的图象如下：3A选项，函数yf(x)的图象关于点0)不中心对称，故A错误；B选项，函数yf(x)的图象不关于直线x2对称，B错误；C选项，当x[2，x2[0，f(x)f(x(x，C错误；3D选项，由图象可知yf(x)的最小正周期为，又|f(x||f(x)||f(x)|y|f(x)|的最小正周期为2，D正确．故选：D．2021yf(x2)f(xfx)x[0f(x)24(x1，给出下列四个结论：x①f(x)图像关于(0)对称；②f(x)图像关于直线x1对称；1③f；2④f(x)在区间(2021,2022)单调递减．其中所有正确结论的序号是．【解析】根据题意，因为yf(x2)为奇函数，yf(x)的图像关于(2,0)对称，即f(2x)f(2x)，fx)fx)，所以函数的图像关于x3对称，f(xf(x，f(2x)f(x)f(4x)f(x)，故函数f(x)是周期T4的周期函数，依次分析4个结论：对于，yf(x)的图像关于(2,0)对称，且f(x)的周期为4yf(x)的图像关于(0)对称，正确；对于，yf(x)fx)fx)且f(2x)f(x)fx)fx)f(x)图像关于直线x1对称，正确；13对于，f(x)是周期T4的周期函数，则ff（1）21，错误；22对于x[0，f(x)24(x1，易得f(x)在[0，为增函数，x而f(x)图像关于直线x1对称，在f(x)在区间2)上为减函数，f(x)是周期T4的周期函数，且202150541，202250542f(x)在区间(2021,2022)单调递减，正确；故答案为：①②④．（2021秋•昌平区校级期末）函数f(x)的定义域为[1，，其图象如图所示．函数g(x)义域为R的偶函数，满足g(xg(x)，且当x[1，g(x)f(x)．给出下列三个结论：1①g；2g(x)的图象关于直线x1不等式g(x)0的解集为R；g(x)的单调递增区间为[2k，2k，kZ．其中所有正确结论的序号是．1【解析】对于，g(x)是定义域为R的偶函数，g1）g(f(，故①正确，2对于，g(x)是定义域为R的偶函数，g(x)g(x)，g(xg(x)，g(x)的图象关于直线x1对称，又因为g(x)g(xg(x)，所以g(x)为周期为2的周期函数，g(x)的图象关于直线x1对称，故②正确，对于，由题意可知，g(0)f(0)0，故错误，对于，由题意可知，g(x)在[1，上单调递减，又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，g(x)在[0，上单调递增，又因为g(x)为周期为2的周期函数，所以函数g(x)的单调递增区间为[2k，2k，kZ，故正确，故答案为：①②④．2023秋•东城区校级期末）已知定义在{xR|x上的函数f(x)①f(x)是偶函数，②f(x)在)上单调递增，对任意非零实数x、yf(xy)f(x)f(y)，写出符合条件的函数f(x)的一个解析式（写一个即可）．【解析】函数f(x)ln|x|的定义域为{xR|x，对任意的x{xR|x，f(x)ln|xln|xf(x)，即函数f(x)ln|x|为偶函数，f(x)ln|x|满足；当x0f(x)lnx，则函数f(x)ln|x|在)上为增函数，f(x)ln|x|满足；对任意的非零实数x、y，f(xy)ln||ln|x|ln|y|f(x)f(y)，f(x)ln|x|满足③，故满足条件的一个函数解析式为f(x)ln|x|．故答案为：f(x)ln|x|（答案不唯一）．2022R上的偶函数f(x)在[0)f12，f(3，给出下列四个结论：①f(x)在(，上单调递减；②f(x)x(，使得f(xꢀ2；③f(x)有且仅有两个零点；不等式2f(x)3的解集为(2，，．其中所有正确结论的序号是．【解析】R上偶函数f(x)，f2）f(2)3f1）2f（）f（又f(x)在[0，)上单调，因此函数f(x)在[0，)上单调递增，必有f(x)在(，上单调递减，正确；因偶函数f(x)在[0，)上单调递增，f（1）2f(x)2，即fx|)f（1），即|x1，1x1，不正确；因f2）0，f1）0，函数f(x)在[0，)上单调递增，则函数f(x)在[0，)上有唯一零点12)，又f(x)是偶函数，则f(x)在(，上有唯一零点2(，f(x)有且仅有两个零点，③正确；不等式2f(x)3f1）fx|)f2即1|x2，解得2x1或1x2，因此不等式2f(x)3的解集为(2，，④正确，所以所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．2023R上的函数f(x)f(xy)f(x)f(y)当x0f(x)0．给出以下四个结论：①f(0)0；②f(x)可能是偶函数；③f(x)在[m，n]上一定存在最大值f(n)；④f(x0的解集为{x|x．其中正确的结论为(A．)．．D．【解析】对于x0f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，故正确；对于yxf(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，x0f(x)0，所以f(x)不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；对于xyxy0，则f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y)0，f(x)f(y)，所以f(x)是减函数，f(x)在[m，n]上一定存在最大值f(m)，故③错误；对于，因为f(x)为减函数，f(0)0，由f(x0f(0)x10，解得x1，f(x0的解集为{x|x，故④正确．故选：C．2022秋•朝阳区期中）函数f(x)的定义域为Dx，xDxx1212f(x„f(x)f(x)在Df(x)为定义在[0，12足以下三个条件：①f(0)0；②fx)f(x)1，x[0，；当x]f(xꢀx恒成立．则133235f()f()．79112【解析】f(x)满足：fx)f(x)1，x[0，f()，213x]f(xꢀx恒成立，32112则f(ꢀ，3f(x)为定义在[0，上的非减函数，111当x[，]f(x)，恒成立，3223141512故f()，f()f()，7329295则f()f()179故答案为1．．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数f(x)的定义域为)，满足对任意x，y)，f(xy)f(x)f(y)f(x)f(y)2x1f(x)2．则下列说法正确的是①f1）2；．②f1）1；当xf(x)2；④f(x)在)上是减函数；存在实数k使得函数y|f(x)k|在上是减函数．【解析】对①②xy1f（）f（）f（）f1）f（）2，即f（）3f（）20，解得f（）1或f（）2，2当f1）1时，令x1，y2，则f2）f1）f2）f（1）f2）2，解得f2）1，与x1f(x)2矛盾，f（1）2，故正确，错误；11③x时，则1f()2，xx111令yf1）f(x)f()f(x)f()2，xxx1f()111x整理得f(x)f()f(x)f()0f(x)1，xx11f()1f()1xx111f()2f()11，01，xx1f()1x所以1f(x)2，故③正确；④，由可知：f(x)1，x)，2设0xx1，121则xxxxxx，f(x)f(x)f(x)f(x2)f(x)[f(x)f(2)f(1)f(2)2]2f(x)f(x)f(2)f(2)2f(1)][f(2)2]1211x111x1x111x1x1x121210xx1，可知f(1)1，f()2，122则f(1[f()0f(x)f(x)，121所以函数f(x)在)上单调递增，即f(x)在)上是增函数，故④错误；⑤，由可知：函数f(x)在上单调递增，则yf(x)k在上也为增函数，若y|f(x)k|在上递减，则xy|f(x)k