2023北京二中高一(上)第一次段考数学试卷和答案

2023北京二中高一(上)第一次段考数学一、选择题（每小题5分，共60．设命题p:“xR，|x|20”p为A．xR,x20B．D．xR,x20xR,x20．xR,x20．若函数f(x)的定义域为[2,3]A01．已知集合A{x|x}，BAB，则实数a的取值范围是yf(x)的图象与直线x2的交点个数为2D.不确定A．a|1a．a|1a．a|1aD．a|1a,b，则“(a)a20”是“ab的A．充分不必要条件．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利,,奥特首次使用和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若abc则下列命题正确的是R，11A0且abB0a1a2aabab0，cdDab0a22，那么实数m的取值范围是A[3]，B(m,m，若ARB．已知集合A．1m2B．1．1D．1m2m2m2．“不等式2x25x30成立”的一个充分不必要的条件是1112x3x0．1x63xD．A．B．22a28．已知集合AaN|，B，集合C满足BCA，则所有满足条件的集合C的个数为A.81516D.324ax2c0,,cRbc．若一元二次不等式A．-4的解集为C2x1x2的最大值为a．-2D．4．若关于x的不等式ax24x2只有一个整数解，则实数a的取值范围是12a1．1a2C．1a2D．1a1A．．若集合A同时具有以下三个性质：①0A，1A；②若x,yA，则xyA；③若xA且x0，1则A．则称A“好集”．x已知命题：①集合是好集；②对任意一个好集”x,yAxyA．则以下判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题12．用Card()表示非空集合A中的元素的个数，定义A*B|Card()Card(B)|，若A，Bx|(23x)(xA*B1，设实数a的所有可能取值构成集合SCard(S)2A.345D.6二、填空题（每小题5分，共301f(x)x2x2的定义域为__________.．函数x2x1Bx．若集合Ax|2x1|3，0B__________.Ax3．设A{x|x28x，B{x|1ABBa，则实数的值可以为．（将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）1513①②0③3④(xx)0的解集为__________.．不等式x4．若不等式ax)x23x)恒成立，则实数a的取值范围是．12．定义集合P{x|ax}的“长度是ba，其中a，b．已如集合M{x|m„„}，3N{x|n}M，N都是集合{x|1的子集，则集合MN的“长度”的最小值是5653m，集合MN的的取值范围是__________.“”n5三、解答题（每小题15分，共60．已知集合A{x|2x，集合B{x|m1x2m．（BA，求实数m的取值范围；（AB，求实数m的取值范围．xbbx2．已知关于的不等式a,b的解集为xx1或3x20．（）求实数的值；axby（x0，y0，且满足1时，有2xykk2恒成立，求实数k的取值范围．21）若命题“xR，x22a20”是真命题，求实数a的取值范围；（）求关于的不等式ax2(a2)x20(aR)的解集．x且x}，记集合A所有元素之和为S()S)0．．对于正整数集合A}{x|x,，规定S(A)S(A)，2AA，满足：①2AAAAAx}若xA，存在非空集合，；②；③112121A存在“双拆”xA，均存在，则称任意双拆．A“”A“”（1）判断集合2,3,和7,是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程）；2Aa,a,a,a,a}，证明：A不能“任意双拆；123453A可以“任意双拆A中元素个数的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60Bp【解析】命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题即：xR,x20．．【答案】B【解析】根据题意，由函数的定义知，函数在定义域内具有单值对应，所以当ꢀ=2时，f(x)有唯一值与之对应．A【解析】∵ꢁ∩ꢂ={0,1}，∴0∈，1∈ꢁ∉．∴ꢃ∈{ꢃ|−1≤ꢃ<0．A【解析】由不等式(a)a20，因为a2ab0，可得ab，即充分性成立；0反之：由ab，可得ab0，又因为a20，所以(a)a20，所以必要性不成立，(a)a0是ab的充分不必要条件.2D【解析】A：1211a1bab1，错；：aa2aCabcd2，错；4，错；D：ab0|a||b|0a2b2，对.．【答案】BðB{x|xm1}【解析】因为ðA[3]，B(,m或，Rm3若ABR2.，解得R1．【答案】B【解析】解2x1x325x30，解得．21x3由此可得：选项，是不等式成立的充要条件；21x0B，是不等式成立的一个充分不必要条件；2C，1x6是不等式成立的一个必要不充分条件；13xD，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件．2．【答案】Ca2N，aNa2，A．又C，C或，，，，或，，，，，，或，，，，或故满足条件的集合C有162=16.Aax2c0,,cR的解集为，x1x【解析】因为一元二次不等式a0a0ba12ba，所以，c2ac12a4444a4a所以，bcaaaa2a4，aaa4当且仅当aa0时，即当a2时，等号成立.a4因此，bc的最大值为4.aC【解析】不等式ax24x2ax24ax202x12，012当a0时，不等式化为2x20x，有无数个整数解，不符合题意；122当a0时，由关于x的不等式ax24x2只有一个整数解，可知，a12222x12，由题意，12，解得1a2；0x不等式的解为aa1222x12x或当0时，不等式0的解为x，有无数个整数解，不符合题意．a综上，实数a的取值范围是1a2．D【解析】对于①，因为1∈{1,0,−1},−1∈{1,0,−1}，而−1=−2∉{1,0,−1}，所以集合{1,0,−1}不是好集，故①错误；对于②，因为集合“好集”，所以0∈ꢁ,0−ꢄꢄ∈ꢁ，所以ꢀ−(−ꢄ)=ꢀ+ꢄ∈，故②正确，综上，①为假命题，②为真命题.．【答案】C【解析】由于(23x)(x20，等价于23x0，①或x2ax20，②A*B1，B要么是单元素集合，要么是三元素集合.B是单元素集合，则方程①有一个实根，②无实数根，BA{a0；此时，符合条件；B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，a0即，解得a22，a80232432当a22B,2}a22B,2}；符合条件；4（3）集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，方程②有一个与①的相同的实根，以及一个异于3a0，则方程①的两个实根为x0，x，a3x0不可能是方程②的实根，则x是方程②的实根，a393axa20a3，将代入方程②，可得，解得B{0,1,；符合条件；a2a当a3Ba3综上所述a0或a22或a3，Card(S)．【答案】[0)2]x0填空题（本大题共6小题，共302，解得：x0x2x0)2]．【解析】由题意得：，x01214.【答案】【解析】根据已知|2x1|3可得：32x13解得：A{x|1x1，2x10(2xx0B{xx3x或．，解得：x321AB．215.【答案】①②④【解析】集合A{x|xB和28xAB或或，a0BBBA，当B时，满足即可；13当B时，满足a10，解得：a；1B时，满足a10-=，解得：a；当5当B时，显然不符合条件，11,a的值可以为，35或．【答案】{x|x41x(xx2)(x0x【解析】原不等式等价于2分别令各个因式为0，可得根依次为1，，或则不等式的解集为{x|x41x．(,2]2【解析】原不等式可化为，设ꢅꢀ=，2−2ꢀ−2+4则ꢅꢀ=，4当且仅当ꢀ+1=，即ꢀ=1时，函数ꢅꢀ有最小值为2.恒成立，所以.181795105．【答案】；,,2123【解析】集合M{x|mxm„„}，N{x|n}MN都是集合{x|1的子集，51332n185由1，可得„5，可得2．m222MN“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立.753232751n2MNx„当m1，，，“长度为，383285831mnMNx„当，，，长度”为“，25521故集合MN的的最小值是“”；65651710mMx„若，，331710363要使集合MN的“长度nn,或5555598581795105即n或n,又2n,,2.5三、解答题（本大题共4小题，共60）①当ꢂ=∅时，ꢂ⊆ꢁ，此时ꢆ+1>2ꢆ−，解得ꢆ<2，②当ꢂ≠∅m2，为使ꢂ⊆ꢆ需满足2m12m15，2m3．综上所述，实数ꢆ的取值范围为m|m．2）先求ꢁ∩ꢂ=∅时，实数ꢆ的取值范围，再求其补集，当ꢂ=∅时，由（）知ꢆ<2，当ꢂ≠∅m2，为使ꢁ∩ꢂ=∅ꢆ需满足m15或2m12，解得ꢆ>4，综上知，当ꢆ<2ꢆ>4时，ꢁ∩ꢂ=∅，所以若ꢁ∩ꢂ≠∅，则实数的取值范围是m|2m．1）因为不等式ax23x20的解集为xx1或1和b是方程ax23x20的两个实数根且a0，xbb，31b,a1，解得b2a2a.1ba12）由（b2121，，于是有xy12yx4xy4x故2xy2xy4428，xyyxyx2yx4x121时，即当且仅当，时，等号成立.yxyy4依题意有(2xy)mink2k28k2k2，得k2k60，解得3k2，所以k的取值范围为[3,2.]xR，xa20为真命题，2则函数yxa2与x轴有交点，2a24a20∴，即a2a20，解得aa2．1或a2．∴实数的取值范围是a1或a2）求关于的不等式ax2(a2)xx20(aR)的解集．【解析】当a0时，不等式等价于2x20x1；2ax1当a0时，原不等式化为x0，221时，即a2时，解原不等式可得x或x1；当aa2当1时，即a2时，原不等式即为x120，解得xR；a22当1时，即0a2时，解得x或x1．aa2a2x11x当0时，原不等式化为x0，．a2综上所述，当a2时，不等式的解集为x|x或x；当a2时，不等式的解集为R；当a20a2时，不等式的解集为{x|xx；当a0时，不等式的解集为xx；或a2当a0时，不等式的解集为x1x.a1）对于集合1,2,3,4∈1,2,3,4,ꢁ=1,2,ꢁ=3，1,2,3,4−4=1,2,3，12且1+2=3，所以，集合1,2,3,4可，若在集合中去掉元素，因为2+3≠2+4≠33+4≠，故集合1,2,3,4不可“任意分拆”；若集合1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合，若存在集合ꢂ、ꢂ使得ꢂ∩ꢂ=⌀，ꢂ∪ꢂ=ꢂ，ꢇꢂ=ꢇ2，则ꢇꢂ=ꢇ1+ꢇ2=12121211，即集合中所有元素之和为偶数，事实上，集合中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合1,3,5,7,9,11不可“双拆”．（2）证明：不妨设ꢃ<ꢃ<ꢃ<ꢃ<ꢃ．12345反证法：如果集合可以“任意双拆”，若去掉的元素为ꢃ，将集合ꢃ,ꢃ,ꢃ,ꢃ分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，12345则有ꢃ+ꢃ=ꢃ+ꢃ，①，或ꢃ=ꢃ+ꢃ+ꢃ②，25345234若去掉的元素为ꢃ，将集合ꢃ,ꢃ,ꢃ,ꢃ分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，21345则有ꢃ+ꢃ=ꢃ+ꢃ，③，或ꢃ=ꢃ+ꢃ+ꢃ④，15345134①−③可得ꢃ=ꢃ，矛盾；12②−